Géométrie : figures usuelles, constructions et symétrie axiale

Figures usuelles et droites remarquables

Une figure géométrique plane est formée de points, segments et lignes délimitant une surface. Les droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit ($90^\circ$). Les droites parallèles ne se coupent jamais. Parmi les figures usuelles :
- Le triangle isocèle a deux côtés de même longueur et deux angles égaux à la base.
- Le triangle équilatéral a trois côtés de même longueur et trois angles égaux à $60^\circ$.
- Le triangle rectangle possède un angle droit.
- Le rectangle est un quadrilatère à quatre angles droits (ses diagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu).
- Le losange est un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur (ses diagonales se coupent en leur milieu perpendiculairement).
- Le carré a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

Méthode
Pour reconnaître ou construire une figure, lister ses propriétés caractéristiques (angles droits, longueurs égales).
Coder la figure à main levée avant la construction finale aux instruments (règle graduée, équerre, compas).
Vérifier les égalités de longueurs au compas et les perpendicularités à l'équerre.

Exemple
On considère un quadrilatère $ABCD$ dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu $O$ perpendiculairement, avec $AC = 6\text{ cm}$ et $BD = 4\text{ cm}$. Quelle est la nature exacte de $ABCD$ ?

Corrigé pas à pas
Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Comme ses diagonales sont de plus perpendiculaires, $ABCD$ est un losange. Les diagonales n'ayant pas la même longueur ($6\text{ cm} \neq 4\text{ cm}$), ce n'est pas un carré. La nature exacte de $ABCD$ est donc un losange.

Erreurs fréquentes
Confondre rectangle et losange pour les propriétés des diagonales (le rectangle a des diagonales de même longueur ; le losange a des diagonales perpendiculaires).
Oublier de coder la figure au brouillon avant de réaliser le tracé aux instruments.

Symétrie axiale : définition et tracé

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite $(d)$ (appelée axe de symétrie) si elles se superposent exactement par pliage le long de cette droite.

Le symétrique d'un point $A$ par rapport à $(d)$ est le point $A'$ tel que la droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA']$. Cela signifie que $(d)$ est perpendiculaire à $(AA')$ et coupe $[AA']$ en son milieu. Si un point appartient à l'axe $(d)$, il est son propre symétrique.

Méthode
Pour construire le symétrique $A'$ d'un point $A$ par rapport à $(d)$ à l'équerre et au compas :
1. Tracer la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$.
2. Noter $H$ le point d'intersection de cette perpendiculaire avec $(d)$.
3. Reporter au compas la longueur $AH$ de l'autre côté de $(d)$ sur cette même droite perpendiculaire pour placer $A'$ tel que $HA' = HA$.

Exemple
Le point $M$ est situé à $3{,}5\text{ cm}$ d'une droite $(d)$. Quelle est la distance entre $M$ et son symétrique $M'$ par rapport à $(d)$ ?

Corrigé pas à pas
La droite $(d)$ coupe le segment $[MM']$ perpendiculairement en son milieu $H$. Ainsi, $MH = 3{,}5\text{ cm}$ et $HM' = 3{,}5\text{ cm}$. La distance $MM'$ vaut donc $MM' = MH + HM' = 3{,}5\text{ cm} + 3{,}5\text{ cm} = 7\text{ cm}$.

Erreurs fréquentes
Tracer un segment oblique sans vérifier l'angle droit avec l'axe $(d)$.
Reporter une mauvaise longueur au compas en prenant la mesure depuis un point extérieur plutôt que depuis l'intersection avec l'axe.

Propriétés de conservation et axes de symétrie

La symétrie axiale conserve :
- Les longueurs : si le segment $[A'B']$ est le symétrique de $[AB]$, alors $A'B' = AB$.
- L'alignement : les symétriques de trois points alignés sont trois points alignés.
- Les angles : l'angle symétrique a exactement la même mesure.
- Les aires et les périmètres : une figure et son symétrique ont la même surface et le même contour.

Un axe de symétrie d'une figure est une droite qui partage cette figure en deux parties superposables par pliage.
- Triangle isocèle : 1 axe de symétrie (la médiatrice de sa base).
- Triangle équilatéral : 3 axes de symétrie.
- Rectangle : 2 axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés).
- Losange : 2 axes de symétrie (ses diagonales).
- Carré : 4 axes de symétrie (les médiatrices des côtés et les diagonales).
- Cercle : une infinité d'axes de symétrie (toute droite passant par son centre).

Méthode
Pour démontrer une égalité de longueur ou d'angle grâce à la symétrie :
1. Identifier l'axe de symétrie $(d)$ et les points symétriques.
2. Citer la propriété de conservation appropriée : « La symétrie axiale conserve les longueurs (ou les mesures d'angles) ».
3. Conclure par l'égalité recherchée.

Exemple
Un triangle $ABC$ a une aire de $14\text{ cm}^2$ et un angle $\widehat{BAC} = 45^\circ$. On construit son symétrique $A'B'C'$ par rapport à une droite $(d)$. Quelles sont l'aire de $A'B'C'$ et la mesure de $\widehat{B'A'C'}$ ?

Corrigé pas à pas
La symétrie axiale conserve les aires et les mesures d'angles. Par conséquent :
- L'aire du triangle $A'B'C'$ est égale à l'aire du triangle $ABC$, soit $14\text{ cm}^2$.
- L'angle $\widehat{B'A'C'}$ a la même mesure que l'angle $\widehat{BAC}$, soit $45^\circ$.

Erreurs fréquentes
Penser que les diagonales d'un rectangle non carré sont des axes de symétrie (les diagonales d'un rectangle ne sont pas des axes de symétrie).
Penser que le parallélogramme non particulier possède des axes de symétrie (il n'en a aucun).

Construire le symétrique d'un point au compas seul par rapport à une droite

1. Choisir deux points distincts $P$ et $Q$ sur l'axe de symétrie $(d)$.
2. Piquer le compas en $P$, ajuster l'écartement jusqu'au point $A$, puis tracer un arc de cercle de l'autre côté de la droite $(d)$.
3. Piquer le compas en $Q$, ajuster l'écartement jusqu'au point $A$, puis tracer un second arc de cercle coupant le premier.
4. L'intersection des deux arcs donne le point $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.

Exemple
Sur une feuille, on a tracé une droite $(d)$ et placé un point $A$ à $4\text{ cm}$ de $(d)$. En utilisant deux points $P$ et $Q$ distants de $6\text{ cm}$ sur $(d)$ avec $PA = 5\text{ cm}$ et $QA = 5\text{ cm}$, expliquer où se situe le point symétrique $A'$.

Corrigé pas à pas
On trace un arc de cercle de centre $P$ et de rayon $5\text{ cm}$ situé du côté opposé à $A$ par rapport à $(d)$. On trace ensuite un arc de cercle de centre $Q$ et de rayon $5\text{ cm}$ du même côté opposé. L'intersection de ces deux arcs définit le point $A'$. Par construction, $PA = PA'$ et $QA = QA'$, donc $(d) = (PQ)$ est la médiatrice de $[AA']$, ce qui prouve que $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.

Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés

1. Tracer à la règle graduée le plus long côté, par exemple $[AB]$.
2. Ouvrir le compas à la longueur du deuxième côté, piquer en $A$ et tracer un premier arc de cercle au-dessus du segment.
3. Ouvrir le compas à la longueur du troisième côté, piquer en $B$ et tracer un second arc de cercle qui coupe le premier.
4. Nommer $C$ le point d'intersection des deux arcs et tracer les segments $[AC]$ et $[BC]$ à la règle.

Exemple
Décrire la construction pas à pas du triangle $RST$ tel que $RS = 7\text{ cm}$, $ST = 5\text{ cm}$ et $RT = 4\text{ cm}$.

Corrigé pas à pas
1. Tracer le segment $[RS]$ de longueur $7\text{ cm}$ à la règle graduée.
2. Régler le compas sur un écartement de $4\text{ cm}$, piquer sur $R$ et tracer un arc de cercle.
3. Régler le compas sur un écartement de $5\text{ cm}$, piquer sur $S$ et tracer un arc coupant le premier arc en un point $T$.
4. Tracer les segments $[RT]$ et $[ST]$. Le triangle $RST$ obtenu vérifie les dimensions demandées.

Figures usuelles et axes de symétrie

• Triangle isocèle : 2 côtés égaux, 1 axe de symétrie.
• Triangle équilatéral : 3 côtés égaux, 3 angles de $60^\circ$, 3 axes de symétrie.
• Rectangle : 4 angles droits, diagonales égales se coupant en leur milieu, 2 axes de symétrie (médiatrices des côtés).
• Losange : 4 côtés égaux, diagonales perpendiculaires se coupant en leur milieu, 2 axes de symétrie (les diagonales).
• Carré : 4 angles droits et 4 côtés égaux, 4 axes de symétrie.

Propriétés de la symétrie axiale

• $(d)$ est la médiatrice du segment reliant tout point $M$ à son symétrique $M'$.
• Conservation : longueurs ($AB = A'B'$), alignement des points, mesures d'angles ($ o$ perpendicularité et parallélisme conservés), aires et périmètres.