Circuits électriques : lois fondamentales, tension, courant et puissance

Grandeurs électriques fondamentales : courant, tension et loi d'Ohm

Le courant électrique correspond à un débit de charges électriques à travers une section de conducteur ; son intensité $I$ s'exprime en ampères (A). La tension électrique $U$, ou différence de potentiel (d.d.p.) entre deux points d'un circuit, s'exprime en volts (V). Pour un dipôle ohmique de résistance $R$ (exprimée en ohms, $\Omega$), la tension à ses bornes et l'intensité qui le traverse sont liées par la loi d'Ohm : $U = R \cdot I$ en convention récepteur (où la flèche de tension et la flèche de courant sont en sens opposés).

Méthode
Repérer le dipôle étudié et orienter le circuit en plaçant la flèche du courant $I$ sortant de la borne positive du générateur.
Tracer la flèche de tension $U$ aux bornes du récepteur en sens inverse du courant $I$ (convention récepteur).
Appliquer la relation $U = R \cdot I$, en veillant à exprimer $U$ en volts (V), $I$ en ampères (A) et $R$ en ohms ($\Omega$).
Isoler la grandeur recherchée : $R = \frac{U}{I}$ ou $I = \frac{U}{R}$ selon l'inconnue.

Exemple
Un conducteur ohmique de résistance $R = 220\ \Omega$ est traversé par un courant continu d'intensité $I = 45\text{ mA}$. Calculer la tension $U$ à ses bornes.

Corrigé pas à pas
On commence par convertir l'intensité en ampères : $I = 45\text{ mA} = 45 \times 10^{-3}\text{ A} = 0{,}045\text{ A}$. On applique ensuite la loi d'Ohm : $U = R \cdot I = 220 \times 0{,}045 = 9{,}9\text{ V}$. La tension aux bornes du résistor est de $9{,}9\text{ V}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de convertir les milliampères (mA) en ampères (A) ou les kilo-ohms (k$\Omega$) en ohms ($\Omega$) avant d'appliquer la loi d'Ohm.
Confondre tension et intensité : la tension se mesure en dérivation (voltmètre) aux bornes d'un dipôle, alors que l'intensité se mesure en série (ampèremètre) dans une branche.
Oublier la convention d'orientation : en convention récepteur, les flèches représentant $U$ et $I$ sont opposées.

Lois de Kirchhoff : loi des nœuds et loi des mailles

Les lois de Kirchhoff décrivent la conservation de la charge et de l'énergie dans tout circuit :
- Loi des nœuds : la somme algébrique des intensités des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui en sortent : $\sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}}$.
- Loi des mailles : dans une maille orientée d'un circuit, la somme algébrique des tensions le long de la maille est nulle : $\sum U_k = 0$ (une tension est comptée positivement si sa flèche est dans le sens de parcours choisi, négativement si elle est en sens inverse).

Méthode
Pour la loi des nœuds : repérer les intersections d'au moins trois fils (les nœuds), identifier le sens de chaque flèche de courant et poser l'égalité $\sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}}$.
Pour la loi des mailles : repérer une boucle fermée (une maille), choisir un sens arbitraire de parcours (généralement horaire), faire le tour de la maille en additionnant les tensions orientées dans le sens du parcours et en soustrayant celles orientées dans le sens contraire, puis égaliser à 0.

Exemple
Un nœud $N$ relie quatre conducteurs. Trois courants arrivent au nœud avec les intensités $I_1 = 1{,}2\text{ A}$, $I_2 = 0{,}8\text{ A}$ et $I_3 = 0{,}5\text{ A}$. Un quatrième courant $I_4$ quitte le nœud. Calculer $I_4$.

Corrigé pas à pas
On applique la loi des nœuds au point $N$ : $\sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}}$, soit $I_1 + I_2 + I_3 = I_4$. D'où $I_4 = 1{,}2 + 0{,}8 + 0{,}5 = 2{,}5\text{ A}$.

Erreurs fréquentes
Affecter un signe incorrect à une tension dans la loi des mailles en confondant le sens de la flèche de tension et le sens choisi pour parcourir la maille.
Penser que le courant « s'use » ou diminue le long d'une même branche sans dérivation : dans une branche sans nœud, l'intensité est rigoureusement identique en tout point.

Bilan de puissance et d'énergie électrique

La puissance électrique échangée par un dipôle soumis à une tension $U$ et traversé par un courant $I$ est donnée par la relation $P = U \cdot I$, où $P$ est en watts (W), $U$ en volts (V) et $I$ en ampères (A). Pour un conducteur ohmique de résistance $R$, cette puissance est intégralement dissipée sous forme thermique par effet Joule : $P_J = R \cdot I^2 = \frac{U^2}{R}$. L'énergie électrique transférée pendant une durée $\Delta t$ vaut $E = P \cdot \Delta t$, exprimée en joules (J) pour $\Delta t$ en secondes (s), ou en kilowattheures ($\text{kW}\cdot\text{h}$) pour $P$ en kW et $\Delta t$ en heures.

Méthode
Identifier les grandeurs connues ($U$, $I$, $R$, $\Delta t$) et convertir les unités dans le Système International ($V$, $A$, $\Omega$, $s$).
Calculer la puissance instantanée à l'aide de $P = U \cdot I$ ou $P = R \cdot I^2$.
Calculer l'énergie consommée via $E = P \cdot \Delta t$. Si le résultat est demandé en $\text{kW}\cdot\text{h}$, convertir $P$ en $\text{kW}$ et $\Delta t$ en heures ($1\text{ h} = 3600\text{ s}$, $1\text{ kW}\cdot\text{h} = 3{,}6 \times 10^6\text{ J}$).

Exemple
Un radiateur électrique de résistance $R = 25\ \Omega$ est alimenté par la tension du secteur $U = 230\text{ V}$. Calculer la puissance dissipée par effet Joule, puis l'énergie consommée en 3 heures de fonctionnement en kilowattheures.

Corrigé pas à pas
1. Puissance : $P = \frac{U^2}{R} = \frac{230^2}{25} = \frac{52900}{25} = 2116\text{ W} = 2{,}116\text{ kW}$.
2. Énergie : $E = P \cdot \Delta t = 2{,}116\text{ kW} \times 3\text{ h} = 6{,}348\text{ kW}\cdot\text{h}$ (soit $6{,}348 \times 3{,}6 \times 10^6 = 2{,}29 \times 10^7\text{ J}$).

Erreurs fréquentes
Multiplier des watts par des heures en pensant obtenir des joules : $1\text{ W}\cdot\text{s} = 1\text{ J}$, mais $1\text{ W}\cdot\text{h} = 3600\text{ J}$.
Écrire $P = R \cdot I$ au lieu de $P = R \cdot I^2$ pour l'effet Joule.

Appliquer la loi des mailles pour déterminer une tension inconnue

1. Identifier une maille (boucle fermée) contenant la tension inconnue.
2. Choisir et dessiner un sens de parcours arbitraire sur la maille (par exemple, le sens des aiguilles d'une montre).
3. Parcourir la boucle à partir d'un nœud de départ : affecter un signe positif $(+)$ aux flèches de tension rencontrées dans le même sens que le parcours, et un signe négatif $(-)$ à celles orientées en sens contraire.
4. Écrire l'égalité : somme des tensions = 0.
5. Résoudre l'équation pour isoler la tension inconnue.

Exemple
Dans une maille fermée $ABCDA$, les tensions fléchées sont $U_{AB} = 9\text{ V}$, $U_{BC} = -3\text{ V}$ et $U_{DA} = -4\text{ V}$. Déterminer la tension $U_{CD}$ sachant que le parcours choisi suit l'ordre $A \to B \to C \to D \to A$.

Corrigé pas à pas
En suivant le parcours $A \to B \to C \to D \to A$, la loi des mailles s'écrit : $U_{AB} + U_{BC} + U_{CD} + U_{DA} = 0$. En remplaçant par les valeurs données : $9 + (-3) + U_{CD} + (-4) = 0 \iff 2 + U_{CD} = 0 \iff U_{CD} = -2\text{ V}$.

Calculer l'association de résistances en série et en dérivation

1. Pour des résistors en série : la résistance équivalente est la somme des résistances : $R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n$.
2. Pour deux résistors en dérivation (parallèle) : la résistance équivalente vérifie $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$, soit directement $R_{\text{eq}} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$.
3. Vérification d'ordre de grandeur : la résistance équivalente en série est toujours supérieure à la plus grande des résistances ; en dérivation, elle est toujours inférieure à la plus petite.

Exemple
On associe en dérivation deux résistors de résistances $R_1 = 30\ \Omega$ et $R_2 = 60\ \Omega$. Calculer la résistance équivalente $R_{\text{eq}}$ de cette association.

Corrigé pas à pas
On utilise la relation pour deux dipôles en parallèle : $R_{\text{eq}} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{30 \times 60}{30 + 60} = \frac{1800}{90} = 20\ \Omega$. On vérifie bien que $R_{\text{eq}} = 20\ \Omega < 30\ \Omega$.

Lois fondamentales des circuits

• Loi d'Ohm : $U = R \cdot I$ (avec $U$ en V, $R$ en $\Omega$, $I$ en A).
• Loi des nœuds : $\sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}}$.
• Loi des mailles : $\sum U_k = 0$ le long d'une maille orientée fermée.

Associations de résistances

• En série : $R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n$
• En dérivation (2 dipôles) : $R_{\text{eq}} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Puissance et énergie

• Puissance instantanée : $P = U \cdot I$
• Effet Joule dans un résistor : $P = R \cdot I^2 = \frac{U^2}{R}$
• Énergie électrique : $E = P \cdot \Delta t$ ($1\text{ J} = 1\text{ W}\cdot\text{s}$ et $1\text{ kW}\cdot\text{h} = 3{,}6 \times 10^6\text{ J}$)