Ondes et signaux : lentilles minces, ondes périodiques et lumière

Ondes périodiques : périodicité temporelle et spatiale

Une onde progressive correspond à la propagation d'une perturbation dans un milieu sans transport de matière mais avec transport d'énergie. Une onde périodique présente un motif élémentaire qui se répète identique à lui-même au cours du temps. La période temporelle $T$ (en s) est la plus petite durée séparant deux états de perturbation identiques en un point donné du milieu. La fréquence $f = \frac{1}{T}$ (en Hz) représente le nombre de répétitions par seconde. La longueur d'onde $\lambda$ (en m) est la périodicité spatiale, c'est-à-dire la plus petite distance séparant deux points vibrant en phase. La relation fondamentale liant ces grandeurs et la célérité $v$ (en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$) de l'onde est : $$\lambda = v \times T = \frac{v}{f}$$

Méthode
1. Déterminer la période temporelle $T$ sur un graphique temporel (élongation en fonction du temps $t$) en mesurant la durée d'un motif complet (ou plusieurs motifs pour réduire l'incertitude).
2. Calculer la fréquence $f = \frac{1}{T}$ en exprimant $T$ en secondes.
3. Déterminer la longueur d'onde $\lambda$ sur un profil spatial (élongation en fonction de la distance $x$) entre deux crêtes successives.
4. Utiliser la relation $\lambda = v \times T$ ou $v = \lambda \times f$ en veillant à la cohérence des unités (mètres, secondes, Hertz).

Exemple
Une onde sonore se propage dans l'air à une célérité $v = 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$. On mesure une fréquence $f = 440\text{ Hz}$ (note La3). Calculer la période $T$ et la longueur d'onde $\lambda$ de ce signal sonore.

Corrigé pas à pas
La période temporelle vaut $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{440} \approx 2{,}27 \times 10^{-3}\text{ s} = 2{,}27\text{ ms}$. La longueur d'onde est donnée par $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{440} \approx 0{,}773\text{ m} = 77{,}3\text{ cm}$.

Erreurs fréquentes
Confondre le graphique temporel $y(t)$ (qui donne la période $T$) et le graphique spatial $y(x)$ (qui donne la longueur d'onde $\lambda$).
Oublier de convertir les millisecondes (ms) en secondes (s) avant d'appliquer la formule de calcul de la fréquence.
Penser qu'une onde transporte de la matière alors qu'elle ne transporte que de l'énergie.

Lentilles minces convergentes : foyers et formation d'images

Une lentille mince convergente est caractérisée par son centre optique $O$, son axe optique orienté dans le sens de propagation de la lumière, son foyer principal objet $F$ et son foyer principal image $F'$. Les deux foyers sont symétriques par rapport à $O$ : $\overline{OF'} = -\overline{OF} = f'$, où $f'$ est la distance focale (en mètres). La vergence $C$ (en dioptries, notée $\delta$) s'exprime par $C = \frac{1}{f'}$. Pour un objet $AB$ perpendiculaire à l'axe optique, les trois rayons caractéristiques issus de $B$ sont : le rayon passant par $O$ qui n'est pas dévié, le rayon parallèle à l'axe optique qui émerge en passant par $F'$, et le rayon passant par $F$ qui émerge parallèlement à l'axe optique.

Méthode
1. Tracer l'axe optique orienté et positionner la lentille perpendiculaire à cet axe en son centre optique $O$.
2. Placer les foyers $F$ (en amont de la lentille) et $F'$ (en aval) tels que $OF = OF' = f'$.
3. Tracer l'objet $AB$ perpendiculaire à l'axe optique avec le point $A$ sur l'axe.
4. Tracer au moins deux des trois rayons particuliers issus du point $B$ : le rayon passant par $O$ (sans déviation) et le rayon parallèle à l'axe optique (qui converge en $F'$).
5. Repérer l'intersection des rayons émergents pour obtenir le point image $B'$, puis projeter orthogonalement sur l'axe optique pour situer $A'$.

Exemple
Une lentille convergente possède une distance focale $f' = 5{,}0\text{ cm}$. Calculer sa vergence $C$.

Corrigé pas à pas
La vergence $C$ est l'inverse de la distance focale exprimée en mètres. On a $f' = 5{,}0\text{ cm} = 0{,}050\text{ m}$. Ainsi : $$C = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0{,}050} = +20\ \delta$$ La vergence de la lentille est de $+20$ dioptries.

Erreurs fréquentes
Oublier de convertir la distance focale $f'$ en mètres avant de calculer la vergence $C$, ce qui conduit à une erreur d'un facteur 100.
Placer le foyer image $F'$ du côté de l'objet au lieu de le placer du côté émergent.
Tracer des rayons sans indiquer leur sens de propagation avec des flèches.

Relations de conjugaison et de grandissement

Les grandeurs algébriques $\overline{OA}$, $\overline{OA'}$, $\overline{AB}$ et $\overline{A'B'}$ sont mesurées le long des axes orientés. La relation de conjugaison de Descartes relie la position de l'objet et de son image : $$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C$$ Le grandissement transversal $\gamma$ est défini par : $$\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$$ Si $\gamma < 0$, l'image est renversée par rapport à l'objet. Si $|\gamma| > 1$, l'image est agrandie ; si $|\gamma| < 1$, elle est rétrécie.

Méthode
1. Identifier les valeurs algébriques données : $\overline{OA}$ (négative pour un objet réel situé avant la lentille), $f'$ (positive pour une lentille convergente).
2. Isoler $\frac{1}{\overline{OA'}}$ dans la relation de conjugaison : $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}}$.
3. Effectuer le calcul numérique pour trouver $\overline{OA'}$. Si $\overline{OA'} > 0$, l'image est réelle (située après la lentille et projetable sur un écran).
4. Calculer le grandissement $\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ puis en déduire la taille algébrique $\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}$.

Exemple
Un objet réel $AB$ de hauteur $2{,}0\text{ cm}$ est situé à $30\text{ cm}$ devant une lentille convergente de distance focale $f' = 10\text{ cm}$. Déterminer la position $\overline{OA'}$ et la taille $\overline{A'B'}$ de l'image.

Corrigé pas à pas
On a $\overline{OA} = -30\text{ cm}$, $f' = +10\text{ cm}$, et $\overline{AB} = +2{,}0\text{ cm}$.
1. Position de l'image : $$\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-30} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}\text{ cm}^{-1}$$ Donc $\overline{OA'} = +15\text{ cm}$. L'image est réelle, formée $15\text{ cm}$ après la lentille.
2. Grandissement : $$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{15}{-30} = -0{,}50$$
3. Taille de l'image : $$\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -0{,}50 \times 2{,}0 = -1{,}0\text{ cm}$$ L'image est renversée et mesure $1{,}0\text{ cm}$.

Erreurs fréquentes
Oublier le signe négatif pour la position d'un objet réel : $\overline{OA} < 0$.
Additionner directement $\overline{OA}$ et $f'$ au lieu d'additionner leurs inverses dans la relation de conjugaison.
Confondre la valeur absolue de la taille de l'image et sa valeur algébrique $\overline{A'B'}$ (qui indique le sens, droit ou renversé).

Calculer la position et la taille d'une image avec les formules de conjugaison

1. 1. Écrire les données sous forme algébrique en choisissant une unité de longueur unique (le mètre ou le centimètre) : noter $\overline{OA}$, $\overline{AB}$ et $f'$.
2. 2. Appliquer la formule de conjugaison : $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}}$.
3. 3. Réduire au même dénominateur et inverser le résultat pour trouver $\overline{OA'}$.
4. 4. Calculer le grandissement $\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.
5. 5. En déduire la grandeur $\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}$ et interpréter la nature de l'image (réelle/virtuelle, droite/renversée).

Exemple
Soit une lentille convergente de distance focale $f' = 20\text{ cm}$. Un objet $AB = 4{,}0\text{ cm}$ est placé à $60\text{ cm}$ avant la lentille. Déterminer la position $\overline{OA'}$ et la taille $\overline{A'B'}$.

Corrigé pas à pas
1. Données : $\overline{OA} = -60\text{ cm}$, $f' = +20\text{ cm}$, $\overline{AB} = +4{,}0\text{ cm}$.
2. Relation de conjugaison : $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{20} - \frac{1}{60} = \frac{3-1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}\text{ cm}^{-1}$.
3. On obtient $\overline{OA'} = +30\text{ cm}$.
4. Grandissement : $\gamma = \frac{30}{-60} = -0{,}50$.
5. Taille : $\overline{A'B'} = -0{,}50 \times 4{,}0 = -2{,}0\text{ cm}$. L'image est réelle, renversée et de hauteur $2{,}0\text{ cm}$.

Exploiter la relation fondamentale d'une onde périodique

1. 1. Identifier les grandeurs fournies dans l'énoncé parmi la célérité $v$, la fréquence $f$, la période $T$ et la longueur d'onde $\lambda$.
2. 2. Convertir toutes les grandeurs dans le Système International : $v$ en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, $T$ en $\text{s}$, $f$ en $\text{Hz}$, $\lambda$ en $\text{m}$.
3. 3. Choisir la formule adaptée : $\lambda = v \times T = \frac{v}{f}$ ou $v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \times f$.
4. 4. Isoler la grandeur recherchée et effectuer le calcul.
5. 5. Exprimer le résultat avec le nombre adéquat de chiffres significatifs et son unité.

Exemple
Un laser émet une onde lumineuse de longueur d'onde dans le vide $\lambda = 633\text{ nm}$. La célérité de la lumière dans le vide est $c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$. Calculer la fréquence $f$ de cette onde lumineuse.

Corrigé pas à pas
1. Données : $\lambda = 633\text{ nm} = 633 \times 10^{-9}\text{ m}$, $c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.
2. Relation : $c = \lambda \times f \iff f = \frac{c}{\lambda}$.
3. Calcul : $f = \frac{3{,}00 \times 10^8}{633 \times 10^{-9}} \approx 4{,}74 \times 10^{14}\text{ Hz}$. La fréquence de l'onde est de $4{,}74 \times 10^{14}\text{ Hz}$.

Caractéristiques des ondes périodiques

• Période temporelle $T$ (en s) et fréquence $f = \frac{1}{T}$ (en Hz).
• Longueur d'onde $\lambda$ (en m) : distance parcourue pendant une période temporelle $T$.
• Relation fondamentale : $\lambda = v \times T = \frac{v}{f}$ avec la célérité $v$ en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Lentilles minces convergentes

• Vergence : $C = \frac{1}{f'}$ avec $f'$ en mètres (m) et $C$ en dioptries ($\delta$).
• Formule de conjugaison de Descartes : $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C$.
• Grandissement transversal : $\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ (sans unité).