Mouvement et interactions : forces et vecteurs

Le concept d'interaction et de force

En physique, une interaction décrit l'action réciproque entre deux systèmes. Ces interactions peuvent être de contact (ex: frottement, poussée) ou à distance (ex: gravitation, électrostatique). Une force est la modélisation vectorielle d'une interaction. Elle représente l'action mécanique qu'un système exerce sur un autre et est capable de modifier le mouvement ou la déformation d'un corps. L'unité de la force dans le Système International (SI) est le Newton (N).

Méthode
Identifier les deux systèmes en interaction.
Déterminer la nature de l'interaction (contact ou à distance).
Décrire l'effet de cette interaction (modification de mouvement, déformation).

Exemple
Décrivez l'interaction entre la Terre et un satellite en orbite.

Corrigé pas à pas
Il s'agit d'une interaction à distance, de nature gravitationnelle. La Terre exerce une force d'attraction sur le satellite, et réciproquement, le satellite exerce une force d'attraction sur la Terre. Cette interaction est responsable du maintien du satellite sur son orbite.

Erreurs fréquentes
Confondre une force avec l'énergie ou le travail.
Oublier que les interactions sont toujours réciproques.

Modélisation d'une force par un vecteur

Une force est une grandeur vectorielle, caractérisée par quatre éléments :
1. Point d'application : C'est le point où la force est exercée sur le système (pour une force de contact) ou le centre de gravité du système (pour une force à distance uniforme comme le poids).
2. Direction : C'est la droite le long de laquelle la force agit.
3. Sens : C'est l'orientation de la force le long de sa direction.
4. Valeur (ou intensité) : C'est la grandeur de la force, exprimée en Newtons (N). Elle est représentée par la longueur du vecteur, selon une échelle choisie.
Un vecteur force $\vec{F}$ est représenté par une flèche dont l'origine est le point d'application, la direction et le sens correspondent à ceux de la force, et la longueur est proportionnelle à sa valeur.

Méthode
Choisir le système étudié.
Faire l'inventaire des interactions subies par le système.
Pour chaque interaction, identifier le point d'application, la direction, le sens et la valeur de la force correspondante.
Choisir une échelle de représentation (par exemple, 1 cm pour 10 N).
Tracer le vecteur force en respectant toutes ses caractéristiques.

Exemple
Un livre de masse $m = 1,5 \text{ kg}$ est posé sur une table. Représentez la force de pesanteur $\vec{P}$ s'exerçant sur le livre, en prenant $g = 9,8 \text{ N/kg}$ et une échelle de $1 \text{ cm}$ pour $5 \text{ N}$.

Corrigé pas à pas
1. Système étudié : Le livre.
2. Interaction : Attraction gravitationnelle par la Terre.
3. Caractéristiques de la force $\vec{P}$ :
• Point d'application : Centre de gravité du livre (G).
• Direction : Verticale.
• Sens : Vers le bas.
• Valeur : $P = m \times g = 1,5 \text{ kg} \times 9,8 \text{ N/kg} = 14,7 \text{ N}$.
4. Échelle : $1 \text{ cm}$ pour $5 \text{ N}$.
5. Longueur du vecteur : $\frac{14,7 \text{ N}}{5 \text{ N/cm}} = 2,94 \text{ cm}$.
Le vecteur $\vec{P}$ sera tracé à partir du centre de gravité du livre, verticalement vers le bas, avec une longueur de $2,94 \text{ cm}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de choisir une échelle ou de la mentionner.
Confondre la direction (ex: verticale) et le sens (ex: vers le bas).
Ne pas placer le point d'application correctement.

Principe d'inertie (Première loi de Newton)

Le principe d'inertie, ou première loi de Newton, stipule que si la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur un système est nulle, alors le vecteur vitesse du centre d'inertie de ce système est constant. Réciproquement, si le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système est constant (c'est-à-dire que le système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme), alors la somme vectorielle des forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle.
Mathématiquement, cela s'écrit : $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \iff \vec{v}_G = \text{constante}$.
Un système pour lequel la somme des forces extérieures est nulle est dit pseudo-isolé.

Méthode
Définir le système étudié et le référentiel d'étude (galiléen).
Faire le bilan des forces extérieures s'appliquant sur le système.
Si le mouvement est rectiligne uniforme ou si le système est au repos, alors la somme vectorielle des forces est nulle.
Si la somme vectorielle des forces est nulle, alors le mouvement est rectiligne uniforme ou le système est au repos.

Exemple
Un palet de hockey glisse sans frottement sur une patinoire horizontale à vitesse constante. Que peut-on dire des forces qui s'exercent sur lui ?

Corrigé pas à pas
Le palet est en mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante, trajectoire rectiligne). Selon le principe d'inertie, la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur le palet est nulle. Les forces sont le poids $\vec{P}$ (verticale vers le bas) et la réaction normale de la patinoire $\vec{R}$ (verticale vers le haut). Ces deux forces se compensent exactement, $\vec{P} + \vec{R} = \vec{0}$.

Erreurs fréquentes
Oublier que le principe d'inertie s'applique uniquement dans un référentiel galiléen.
Confondre 'vitesse constante' avec 'vitesse nulle'. Le mouvement rectiligne uniforme est aussi un état d'équilibre des forces.
Ne pas considérer la somme vectorielle des forces.

Somme vectorielle des forces

Lorsqu'un système est soumis à plusieurs forces, l'effet global de ces forces est équivalent à celui d'une unique force appelée résultante des forces ou force nette. Cette résultante est la somme vectorielle de toutes les forces appliquées au système : $\sum \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... + \vec{F}_n$.
La somme vectorielle peut être réalisée graphiquement (méthode du parallélogramme ou méthode 'bout à bout') ou analytiquement (en décomposant les vecteurs sur des axes d'un repère).

Méthode
Méthode graphique (bout à bout) : Placer l'origine du deuxième vecteur à l'extrémité du premier, et ainsi de suite. Le vecteur résultant joint l'origine du premier vecteur à l'extrémité du dernier.
Méthode graphique (parallélogramme) : Pour deux vecteurs $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ ayant la même origine, le vecteur résultant $\vec{F}_{res}$ est la diagonale du parallélogramme formé par ces deux vecteurs.
Méthode analytique : Choisir un repère cartésien (O, $\vec{i}$, $\vec{j}$). Décomposer chaque force $\vec{F}_k$ en ses composantes $F_{kx}$ et $F_{ky}$ selon les axes. La résultante aura pour composantes $F_{res,x} = \sum F_{kx}$ et $F_{res,y} = \sum F_{ky}$. La valeur de la résultante est alors $F_{res} = \sqrt{F_{res,x}^2 + F_{res,y}^2}$.

Exemple
Un objet est soumis à deux forces : $\vec{F}_1$ de $3 \text{ N}$ vers l'Est et $\vec{F}_2$ de $4 \text{ N}$ vers le Nord. Déterminez la valeur et la direction de la force résultante.

Corrigé pas à pas
Les deux forces sont orthogonales. Nous pouvons utiliser la méthode analytique ou le théorème de Pythagore.
En choisissant un repère avec l'axe des x vers l'Est et l'axe des y vers le Nord :
$\vec{F}_1 = (3; 0)$ N
$\vec{F}_2 = (0; 4)$ N
La résultante $\vec{F}_{res} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (3+0; 0+4) = (3; 4)$ N.
La valeur de la résultante est $F_{res} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ N}$.
La direction de la résultante est donnée par l'angle $\alpha$ avec l'axe Est : $\tan(\alpha) = \frac{F_{res,y}}{F_{res,x}} = \frac{4}{3}$. Donc $\alpha = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53,1°$ par rapport à l'Est, vers le Nord.

Erreurs fréquentes
Additionner les valeurs des forces comme des scalaires, sans tenir compte de leur direction et de leur sens.
Oublier que la résultante est aussi un vecteur et doit avoir une direction et un sens.

Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique)

La deuxième loi de Newton, ou principe fondamental de la dynamique, établit une relation fondamentale entre la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur un système, sa masse et l'accélération de son centre d'inertie. Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse $m$ du système par le vecteur accélération $\vec{a}_G$ de son centre d'inertie :
$\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G$
Où :
• $\sum \vec{F}_{ext}$ est la somme vectorielle des forces extérieures (en Newtons, N).
• $m$ est la masse du système (en kilogrammes, kg).
• $\vec{a}_G$ est le vecteur accélération du centre d'inertie du système (en mètres par seconde carrée, $\text{m} \cdot \text{s}^{-2}$).

Méthode
Définir le système étudié et le référentiel d'étude (galiléen).
Faire le bilan de toutes les forces extérieures s'exerçant sur le système.
Représenter ces forces sur un schéma.
Appliquer la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G$.
Projeter cette relation vectorielle sur les axes d'un repère choisi pour obtenir des équations scalaires.
Résoudre les équations pour trouver les grandeurs recherchées (accélération, force, etc.).

Exemple
Un objet de masse $m = 2 \text{ kg}$ est soumis à une force unique $\vec{F}$ de $10 \text{ N}$ dirigée horizontalement. Quelle est l'accélération de l'objet ?

Corrigé pas à pas
1. Système : L'objet de masse $m = 2 \text{ kg}$.
2. Référentiel : Terrestre, supposé galiléen.
3. Bilan des forces : La force $\vec{F}$ de $10 \text{ N}$ (horizontale). On suppose que le poids et la réaction normale se compensent ou que le mouvement est purement horizontal sans frottement vertical.
4. Deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G$.
Ici, $\vec{F} = m \cdot \vec{a}_G$.
5. Projection : En choisissant un axe horizontal orienté dans le sens de $\vec{F}$ :
$F = m \cdot a_G$
6. Résolution :
$a_G = \frac{F}{m} = \frac{10 \text{ N}}{2 \text{ kg}} = 5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$.
L'accélération de l'objet est de $5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$ dans la même direction et le même sens que la force $\vec{F}$.

Erreurs fréquentes
Oublier que la masse doit être en kilogrammes (kg) dans le SI.
Ne pas traiter l'accélération et la force comme des vecteurs, en oubliant leurs directions et sens.
Confondre la deuxième loi de Newton avec le principe d'inertie (qui est un cas particulier de la deuxième loi où l'accélération est nulle).

Troisième loi de Newton (Principe des actions réciproques)

La troisième loi de Newton, ou principe des actions réciproques, stipule que si un système A exerce une force $\vec{F}_{A/B}$ sur un système B, alors le système B exerce simultanément une force $\vec{F}_{B/A}$ sur le système A. Ces deux forces ont la même direction, la même valeur (intensité), mais des sens opposés, et elles s'appliquent à des systèmes différents.
Mathématiquement : $\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}$.
Il est crucial de noter que ces forces ne s'annulent jamais car elles ne s'appliquent pas au même système. Elles constituent une paire action-réaction.

Méthode
Identifier les deux systèmes en interaction (A et B).
Définir la force exercée par A sur B ($\vec{F}_{A/B}$).
En déduire la force exercée par B sur A ($\vec{F}_{B/A}$) en appliquant les caractéristiques de la troisième loi : même direction, même valeur, sens opposé.

Exemple
Un nageur pousse le mur d'une piscine avec ses pieds. Identifiez la paire action-réaction selon la troisième loi de Newton.

Corrigé pas à pas
1. Systèmes en interaction : Le nageur (A) et le mur (B).
2. Force action : Le nageur exerce une force $\vec{F}_{nageur/mur}$ sur le mur.
3. Force réaction : Le mur exerce une force $\vec{F}_{mur/nageur}$ sur le nageur.
Selon la troisième loi de Newton, ces deux forces ont la même direction, la même valeur, mais des sens opposés : $\vec{F}_{nageur/mur} = -\vec{F}_{mur/nageur}$. C'est la force exercée par le mur sur le nageur qui propulse ce dernier en avant.

Erreurs fréquentes
Appliquer les forces action-réaction sur le même système, ce qui les ferait s'annuler.
Oublier que les forces d'une paire action-réaction sont toujours de même nature (ex: gravitationnelle avec gravitationnelle, contact avec contact).

Représenter un vecteur force

1. 1. Identifier les caractéristiques de la force : Déterminez le point d'application, la direction, le sens et la valeur (intensité) de la force.
2. 2. Choisir une échelle de représentation : Par exemple, $1 \text{ cm}$ pour $X \text{ N}$. Cette échelle doit être adaptée pour que le vecteur soit visible et proportionnel.
3. 3. Calculer la longueur du vecteur : Divisez la valeur de la force par l'échelle choisie (ex: longueur en cm = valeur de la force en N / (X N/cm)).
4. 4. Tracer le vecteur : À partir du point d'application, tracez une flèche de la longueur calculée, dans la direction et le sens corrects. N'oubliez pas la pointe de la flèche et l'étiquette du vecteur (ex: $\vec{F}$).
5. 5. Indiquer l'échelle : Mentionnez l'échelle utilisée à proximité du schéma.

Exemple
Représentez une force de poussée $\vec{F}_P$ de $150 \text{ N}$ exercée horizontalement vers la droite sur un chariot, à partir de son centre de masse. Utilisez une échelle de $1 \text{ cm}$ pour $50 \text{ N}$.

Corrigé pas à pas
1. Caractéristiques :
• Point d'application : Centre de masse du chariot.
• Direction : Horizontale.
• Sens : Vers la droite.
• Valeur : $F_P = 150 \text{ N}$.
2. Échelle : $1 \text{ cm}$ pour $50 \text{ N}$.
3. Longueur du vecteur : Longueur $= \frac{150 \text{ N}}{50 \text{ N/cm}} = 3 \text{ cm}$.
4. Tracé : Dessinez un point pour le centre de masse du chariot. À partir de ce point, tracez une flèche horizontale de $3 \text{ cm}$ de long vers la droite. Étiquetez-la $\vec{F}_P$.
5. Indication d'échelle : Échelle : $1 \text{ cm} \leftrightarrow 50 \text{ N}$.

Effectuer une somme vectorielle de forces

1. 1. Choisir une méthode :
   • Graphique (bout à bout ou parallélogramme) : Utile pour visualiser et pour un petit nombre de vecteurs.
   • Analytique (par composantes) : Plus précise et systématique, surtout pour plusieurs vecteurs ou des calculs complexes.
2. 2. Si méthode graphique :
   • Dessinez les vecteurs forces à l'échelle, en les plaçant soit bout à bout, soit en partant d'une origine commune pour la méthode du parallélogramme.
   • Tracez le vecteur résultant : de l'origine du premier vecteur à l'extrémité du dernier (bout à bout), ou la diagonale du parallélogramme (parallélogramme).
   • Mesurez la longueur du vecteur résultant et utilisez l'échelle pour trouver sa valeur. Mesurez son angle pour sa direction.
3. 3. Si méthode analytique :
   • Choisir un repère orthogonal : Définissez des axes (ex: x et y) et leur orientation (ex: x horizontal vers la droite, y vertical vers le haut).
   • Décomposer chaque vecteur force : Pour chaque force $\vec{F}_k$, trouvez ses composantes $F_{kx}$ et $F_{ky}$ sur les axes. Attention aux signes !
   • Additionner les composantes : Calculez la somme des composantes sur chaque axe : $F_{res,x} = \sum F_{kx}$ et $F_{res,y} = \sum F_{ky}$.
   • Calculer la valeur de la résultante : $F_{res} = \sqrt{F_{res,x}^2 + F_{res,y}^2}$.
   • Déterminer la direction : L'angle $\alpha$ avec l'axe des x peut être trouvé par $\tan(\alpha) = \frac{F_{res,y}}{F_{res,x}}$. Attention au quadrant pour l'angle.

Exemple
Un objet est soumis à trois forces : $\vec{F}_1 = (5; 0) \text{ N}$, $\vec{F}_2 = (0; 12) \text{ N}$ et $\vec{F}_3 = (-5; -12) \text{ N}$. Calculez la force résultante.

Corrigé pas à pas
Nous allons utiliser la méthode analytique par composantes.
1. Décomposition des vecteurs : Les vecteurs sont déjà donnés par leurs composantes.
• $\vec{F}_1 = (F_{1x}; F_{1y}) = (5; 0) \text{ N}$
• $\vec{F}_2 = (F_{2x}; F_{2y}) = (0; 12) \text{ N}$
• $\vec{F}_3 = (F_{3x}; F_{3y}) = (-5; -12) \text{ N}$
2. Addition des composantes :
• Composante x de la résultante : $F_{res,x} = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 5 + 0 + (-5) = 0 \text{ N}$.
• Composante y de la résultante : $F_{res,y} = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 0 + 12 + (-12) = 0 \text{ N}$.
3. Force résultante : $\vec{F}_{res} = (0; 0) \text{ N}$.
4. Valeur de la résultante : $F_{res} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \text{ N}$.
La force résultante est nulle. Cela signifie que l'objet est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme (selon le principe d'inertie).

Définition et caractéristiques d'une force

• Une force modélise une interaction et peut modifier le mouvement ou la déformation d'un corps.
• Unité SI : Newton (N).
• Caractéristiques d'un vecteur force : Point d'application, direction, sens, valeur (intensité).

Les trois lois de Newton

• 1ère loi (Principe d'inertie) : $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \iff \vec{v}_G = \text{constante}$. (Système au repos ou en MRU).
• 2ème loi (Principe fondamental de la dynamique) : $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G$. (Lien force-accélération).
• 3ème loi (Principe des actions réciproques) : $\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}$. (Paire action-réaction sur des systèmes différents).

Somme vectorielle des forces

• La résultante des forces est la somme vectorielle de toutes les forces : $\vec{F}_{res} = \sum \vec{F}$.
• Méthodes de calcul : graphique (parallélogramme, bout à bout) ou analytique (par composantes).