Probabilités d'un événement

1. Vocabulaire des probabilités

Les probabilités permettent d'étudier les phénomènes liés au hasard. Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles.

Chacun des résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé une issue.

Un événement est un ensemble d'une ou plusieurs issues. On dit qu'un événement est réalisé si l'une des issues qui le composent se produit. Un événement qui ne contient qu'une seule issue est appelé un événement élémentaire.

Un événement certain est un événement qui se produit toujours. Un événement impossible est un événement qui ne se produit jamais.

L'événement contraire d'un événement A, noté $\bar{A}$ (lire "A barre"), est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. Il est composé de toutes les issues qui ne sont pas dans A.

Méthode
Identifier l'expérience aléatoire.
Lister toutes les issues possibles de l'expérience.
Définir l'événement étudié en listant les issues qui le réalisent.

Exemple
On lance une pièce de monnaie équilibrée. Décris l'expérience aléatoire, les issues, et l'événement "obtenir Pile".

Corrigé pas à pas
L'expérience aléatoire est le lancer d'une pièce de monnaie.
Les issues possibles sont : "obtenir Pile" et "obtenir Face".
L'événement "obtenir Pile" est un événement élémentaire. Il est réalisé par l'issue "obtenir Pile".
L'événement contraire de "obtenir Pile" est "obtenir Face".

Erreurs fréquentes
Confondre une issue (un résultat unique) et un événement (un ensemble d'issues).
Oublier des issues possibles lors de la liste exhaustive.

2. Calculer la probabilité d'un événement

Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même chance de se produire, on parle de situation d'équiprobabilité. C'est le cas par exemple avec un dé équilibré ou une pièce de monnaie équilibrée.

Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A, notée $P(A)$, se calcule avec la formule suivante :
$$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à A}}{\text{nombre total d'issues possibles}}$$
La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. Elle peut être exprimée sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.

Méthode
S'assurer que l'on est dans une situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même chance de se produire).
Lister et compter toutes les issues possibles de l'expérience (c'est le dénominateur de la fraction).
Lister et compter les issues qui réalisent l'événement A (ce sont les issues favorables, c'est le numérateur de la fraction).
Calculer la probabilité en utilisant la formule et simplifier la fraction si possible.

Exemple
On lance un dé à six faces équilibré, numéroté de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Corrigé pas à pas
1. L'expérience est le lancer d'un dé équilibré, donc nous sommes en situation d'équiprobabilité.
2. Les issues possibles sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Il y a 6 issues au total.
3. L'événement "obtenir un nombre pair" est réalisé par les issues : 2, 4, 6. Il y a 3 issues favorables.
4. La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc :
$$P(\text{pair}) = \frac{\text{nombre d'issues paires}}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{3}{6}$$Simplifiée, cette fraction donne : $P(\text{pair}) = \frac{1}{2}$.
On peut aussi l'exprimer en décimal : $0,5$ ou en pourcentage : $50\%.$

Erreurs fréquentes
Mal compter le nombre total d'issues ou le nombre d'issues favorables.
Ne pas simplifier la fraction obtenue (il est souvent demandé de donner le résultat sous forme de fraction irréductible).
Utiliser la formule dans une situation de non-équiprobabilité (par exemple, un dé truqué).

3. Propriétés des probabilités

Les probabilités suivent certaines règles fondamentales :
• La probabilité d'un événement est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (inclus) : $0 \le P(A) \le 1$.
• La probabilité d'un événement impossible est 0 : $P(\text{événement impossible}) = 0$.
• La probabilité d'un événement certain est 1 : $P(\text{événement certain}) = 1$.
• La somme des probabilités de toutes les issues élémentaires d'une expérience aléatoire est égale à 1.
• La probabilité de l'événement contraire $\bar{A}$ d'un événement A est donnée par la formule : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Méthode
Utiliser la formule $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ pour calculer la probabilité d'un événement contraire.
Vérifier que les probabilités calculées sont bien comprises entre 0 et 1.
Utiliser la somme des probabilités des issues élémentaires pour vérifier la cohérence des calculs.

Exemple
On lance un dé à six faces équilibré. La probabilité d'obtenir un 6 est $\frac{1}{6}$. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un 6 ?

Corrigé pas à pas
Soit A l'événement "obtenir un 6". On sait que $P(A) = \frac{1}{6}$.
L'événement "ne pas obtenir un 6" est l'événement contraire de A, noté $\bar{A}$.
On utilise la propriété $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
$$P(\text{ne pas obtenir un 6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

Erreurs fréquentes
Donner une probabilité supérieure à 1 ou inférieure à 0.
Oublier que $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ et faire des calculs plus longs que nécessaire.

Identifier les issues et événements d'une expérience aléatoire

1. Comprendre l'expérience : Lisez attentivement l'énoncé pour saisir ce qui est fait (lancer un dé, tirer une carte, etc.).
2. Lister toutes les issues possibles : Énumérez tous les résultats uniques et distincts qui peuvent se produire. Assurez-vous de n'en oublier aucun et de ne pas en compter deux fois. C'est l'ensemble de l'univers des possibles.
3. Identifier les issues favorables à un événement : Pour un événement donné (par exemple, "obtenir un nombre pair"), repérez parmi toutes les issues celles qui réalisent cet événement.

Exemple
Une roue de loterie est divisée en 8 secteurs égaux numérotés de 1 à 8. On la fait tourner et on regarde le numéro sur lequel elle s'arrête. Identifie les issues et les issues favorables à l'événement "obtenir un nombre supérieur à 5".

Corrigé pas à pas
1. Comprendre l'expérience : On fait tourner une roue numérotée de 1 à 8.
2. Lister toutes les issues possibles : Les issues sont les numéros sur lesquels la roue peut s'arrêter : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Il y a 8 issues au total.
3. Identifier les issues favorables à l'événement "obtenir un nombre supérieur à 5" : Les nombres supérieurs à 5 dans la liste des issues sont {6, 7, 8}. Il y a 3 issues favorables.

Calculer la probabilité d'un événement en situation d'équiprobabilité

1. Vérifier l'équiprobabilité : Assurez-vous que chaque issue a la même chance de se produire (par exemple, "dé équilibré", "boules indiscernables"). Si ce n'est pas le cas, cette méthode ne s'applique pas directement.
2. Compter le nombre total d'issues : Déterminez combien de résultats différents peuvent se produire au total. Ce sera le dénominateur de votre fraction de probabilité.
3. Compter le nombre d'issues favorables : Déterminez combien de ces résultats réalisent l'événement dont vous cherchez la probabilité. Ce sera le numérateur de votre fraction.
4. Appliquer la formule et simplifier : Calculez $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$. Simplifiez la fraction obtenue si possible pour la rendre irréductible.

Exemple
Dans un sac, il y a 12 bonbons : 4 à la fraise, 5 au citron et 3 à la menthe. On tire un bonbon au hasard. Quelle est la probabilité de tirer un bonbon au citron ?

Corrigé pas à pas
1. Vérifier l'équiprobabilité : On tire un bonbon "au hasard", ce qui implique que chaque bonbon a la même chance d'être tiré. C'est une situation d'équiprobabilité.
2. Compter le nombre total d'issues : Il y a $4 + 5 + 3 = 12$ bonbons au total. Donc, 12 issues possibles.
3. Compter le nombre d'issues favorables : L'événement est "tirer un bonbon au citron". Il y a 5 bonbons au citron. Donc, 5 issues favorables.
4. Appliquer la formule et simplifier :
$$P(\text{citron}) = \frac{\text{nombre de bonbons au citron}}{\text{nombre total de bonbons}} = \frac{5}{12}$$
La fraction $\frac{5}{12}$ est irréductible.

Vocabulaire essentiel

• Expérience aléatoire : expérience dont le résultat dépend du hasard.
• Issue : un résultat possible d'une expérience aléatoire.
• Événement : un ensemble d'une ou plusieurs issues.
• Événement élémentaire : événement composé d'une seule issue.
• Événement contraire de A (noté $\bar{A}$) : événement qui se réalise quand A ne se réalise pas.

Calcul de probabilité (équiprobabilité)

• Si toutes les issues ont la même chance de se produire (équiprobabilité) :
• $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à A}}{\text{nombre total d'issues possibles}}$$

Propriétés des probabilités

• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : $0 \le P(A) \le 1$.
• $P(\text{événement impossible}) = 0$.
• $P(\text{événement certain}) = 1$.
• La somme des probabilités de toutes les issues élémentaires est égale à 1.
• Probabilité de l'événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.