Fractions : opérations et comparaison

Comprendre et comparer les fractions

Une fraction est un nombre qui représente une ou plusieurs parts égales d'une unité. Elle s'écrit sous la forme $\frac{a}{b}$, où $a$ est le numérateur (le nombre de parts prises) et $b$ est le dénominateur (le nombre total de parts égales qui composent l'unité). Le dénominateur $b$ doit toujours être différent de zéro.

Méthode
Pour comparer deux fractions, on peut utiliser plusieurs méthodes selon leur forme.
Cas 1 : Les fractions ont le même dénominateur.
La fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Cas 2 : Les fractions ont le même numérateur.
La fraction la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (car l'unité est partagée en moins de parts, donc chaque part est plus grande).
Cas 3 : Les fractions n'ont ni le même numérateur, ni le même dénominateur.
Il faut d'abord les réduire au même dénominateur. Pour cela, on cherche un multiple commun (le plus petit est souvent le plus pratique) aux deux dénominateurs. On multiplie ensuite le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le nombre nécessaire pour obtenir ce dénominateur commun. Une fois au même dénominateur, on applique la règle du Cas 1.

Exemple
Compare les fractions suivantes : \\( \frac{3}{5} \text{ et } \frac{2}{5} \\), \\( \frac{3}{7} \text{ et } \frac{3}{4} \\), \\( \frac{1}{2} \text{ et } \frac{3}{8} \\).

Corrigé pas à pas
Comparaison de $\frac{3}{5}$ et $\frac{2}{5}$ :
Ces fractions ont le même dénominateur (5). On compare les numérateurs : $3 > 2$. Donc, $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$.

Comparaison de $\frac{3}{7}$ et $\frac{3}{4}$ :
Ces fractions ont le même numérateur (3). On compare les dénominateurs : $7 > 4$. Puisque le dénominateur de $\frac{3}{7}$ est plus grand, cela signifie que l'unité est partagée en plus de parts, donc chaque part est plus petite. Donc, $\frac{3}{7} < \frac{3}{4}$.

Comparaison de $\frac{1}{2}$ et $\frac{3}{8}$ :
Ces fractions n'ont ni le même numérateur, ni le même dénominateur. Nous allons les réduire au même dénominateur. Un multiple commun de 2 et 8 est 8. Pour transformer $\frac{1}{2}$ en une fraction avec un dénominateur de 8, on multiplie le numérateur et le dénominateur par 4 :
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}$
Maintenant, nous comparons $\frac{4}{8}$ et $\frac{3}{8}$. Elles ont le même dénominateur. On compare les numérateurs : $4 > 3$. Donc, $\frac{4}{8} > \frac{3}{8}$.
Finalement, $\frac{1}{2} > \frac{3}{8}$.

Erreurs fréquentes
Confondre les règles de comparaison : par exemple, penser que si le dénominateur est plus grand, la fraction est plus grande (c'est l'inverse quand les numérateurs sont identiques).
Oublier de multiplier le numérateur ET le dénominateur par le même nombre lors de la mise au même dénominateur. Si on ne multiplie que le dénominateur, la fraction n'est plus équivalente.

Opérations avec les fractions

Les fractions peuvent être additionnées, soustraites et multipliées par un nombre entier. Ces opérations sont essentielles pour résoudre des problèmes de partage ou de proportion.

Méthode
1. Addition et Soustraction de fractions :
Cas 1 : Les fractions ont le même dénominateur.
On additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
Exemple : $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$
Cas 2 : Les fractions n'ont pas le même dénominateur.
Il faut d'abord les réduire au même dénominateur (comme pour la comparaison). Ensuite, on applique la règle du Cas 1.
2. Multiplication d'une fraction par un nombre entier :
Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur de la fraction par ce nombre entier, et on garde le dénominateur inchangé.
Exemple : $k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b}$
3. Prendre une fraction d'une quantité :
Calculer $\frac{a}{b}$ d'une quantité $C$ revient à multiplier la fraction par la quantité : $\frac{a}{b} \times C = \frac{a \times C}{b}$.

Exemple
Calcule : \\( \frac{2}{7} + \frac{3}{7} \\), \\( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \\), \\( 4 \times \frac{3}{5} \\), et \\( \frac{2}{3} \text{ de } 15 \text{ euros} \\).

Corrigé pas à pas
Addition de $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$ :
Les fractions ont le même dénominateur (7). On additionne les numérateurs :
$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$

Soustraction de $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$ :
Les fractions n'ont pas le même dénominateur. On les réduit au même dénominateur. Un multiple commun de 3 et 6 est 6.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$
Maintenant, on soustrait :
$\frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2-1}{6} = \frac{1}{6}$

Multiplication de $4 \times \frac{3}{5}$ :
On multiplie le numérateur par le nombre entier :
$4 \times \frac{3}{5} = \frac{4 \times 3}{5} = \frac{12}{5}$

Calculer $\frac{2}{3}$ de 15 euros :
Cela revient à multiplier la fraction par la quantité :
$\frac{2}{3} \times 15 = \frac{2 \times 15}{3} = \frac{30}{3} = 10$
Donc, $\frac{2}{3}$ de 15 euros représente 10 euros.

Erreurs fréquentes
Lors de l'addition ou la soustraction, additionner ou soustraire les dénominateurs. Le dénominateur commun doit rester inchangé.
Oublier de mettre les fractions au même dénominateur avant d'additionner ou de soustraire.
Lors de la multiplication d'une fraction par un nombre entier, multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par ce nombre. Seul le numérateur est multiplié.

Mettre des fractions au même dénominateur

1. Étape 1 : Identifie les dénominateurs des fractions à comparer ou à opérer.
2. Étape 2 : Cherche un multiple commun à ces dénominateurs. Le plus petit multiple commun (PPCM) est souvent le plus simple à utiliser, mais n'importe quel multiple commun fonctionne.
3. Étape 3 : Pour chaque fraction, détermine par quel nombre tu dois multiplier son dénominateur pour obtenir le dénominateur commun.
4. Étape 4 : Multiplie le numérateur ET le dénominateur de chaque fraction par ce même nombre. La valeur de la fraction ne change pas, mais son écriture est modifiée.

Exemple
Mets les fractions $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$ au même dénominateur.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Les dénominateurs sont 3 et 4.
Étape 2 : Un multiple commun de 3 et 4 est 12 (car $3 \times 4 = 12$).
Étape 3 :
• Pour $\frac{2}{3}$ : pour passer de 3 à 12, il faut multiplier par 4.
• Pour $\frac{3}{4}$ : pour passer de 4 à 12, il faut multiplier par 3.
Étape 4 :
• $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
• $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
Les fractions $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$ sont maintenant écrites avec le même dénominateur : $\frac{8}{12}$ et $\frac{9}{12}$.

Comparer deux fractions

1. Étape 1 : Observe les fractions. Ont-elles le même dénominateur ? Le même numérateur ? Ou sont-elles différentes ?
2. Étape 2 : Applique la règle de comparaison adaptée :
3. • Si les dénominateurs sont identiques : la fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande.
4. • Si les numérateurs sont identiques : la fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande.
5. • Si numérateurs et dénominateurs sont différents : commence par les mettre au même dénominateur (voir fiche 'Mettre des fractions au même dénominateur'), puis applique la règle du cas 'dénominateurs identiques'.

Exemple
Compare $\frac{5}{6}$ et $\frac{7}{9}$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Les fractions $\frac{5}{6}$ et $\frac{7}{9}$ n'ont ni le même numérateur, ni le même dénominateur.
Étape 2 : Nous devons les mettre au même dénominateur. Le plus petit multiple commun de 6 et 9 est 18.
• Pour $\frac{5}{6}$ : $\frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}$
• Pour $\frac{7}{9}$ : $\frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18}$
Maintenant, nous comparons $\frac{15}{18}$ et $\frac{14}{18}$. Elles ont le même dénominateur. Puisque $15 > 14$, alors $\frac{15}{18} > \frac{14}{18}$.
Donc, $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.

Additionner ou soustraire des fractions

1. Étape 1 : Vérifie si les fractions ont le même dénominateur.
2. Étape 2 : Si elles ont le même dénominateur : additionne (ou soustrais) les numérateurs et garde le dénominateur commun.
3. Étape 3 : Si elles n'ont pas le même dénominateur : commence par les réduire au même dénominateur (voir fiche 'Mettre des fractions au même dénominateur').
4. Étape 4 : Une fois au même dénominateur, applique la règle de l'étape 2.
5. Étape 5 (facultatif) : Simplifie la fraction obtenue si possible.

Exemple
Calcule $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Les fractions n'ont pas le même dénominateur (4 et 6).
Étape 3 : Nous les mettons au même dénominateur. Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 12.
• $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
• $\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$
Étape 4 : Maintenant que les fractions ont le même dénominateur, nous les additionnons :
$\frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9+2}{12} = \frac{11}{12}$
Étape 5 : La fraction $\frac{11}{12}$ ne peut pas être simplifiée davantage.

Calculer une fraction d'une quantité

1. Étape 1 : Identifie la fraction et la quantité totale.
2. Étape 2 : Multiplie le numérateur de la fraction par la quantité totale.
3. Étape 3 : Divise le résultat obtenu à l'étape 2 par le dénominateur de la fraction.
4. Étape 4 : Le résultat est la valeur de la fraction de la quantité.

Exemple
Calcule $\frac{3}{4}$ de 20 litres.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : La fraction est $\frac{3}{4}$ et la quantité est 20 litres.
Étape 2 : Multiplie le numérateur (3) par la quantité (20) : $3 \times 20 = 60$.
Étape 3 : Divise ce résultat (60) par le dénominateur (4) : $60 \div 4 = 15$.
Étape 4 : Donc, $\frac{3}{4}$ de 20 litres est 15 litres.

Définition d'une fraction

• Une fraction s'écrit $\frac{a}{b}$ où $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur ($b \neq 0$).
• Elle représente $a$ parts d'une unité divisée en $b$ parts égales.

Comparaison de fractions

• Même dénominateur : $\frac{a}{b} > \frac{c}{b}$ si $a > c$.
• Même numérateur : $\frac{a}{b} > \frac{a}{c}$ si $b < c$.
• Dénominateurs différents : Mettre au même dénominateur avant de comparer.

Opérations sur les fractions

• Addition/Soustraction : $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}$ (si dénominateurs différents, les réduire d'abord).
• Multiplication par un entier : $k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b}$.
• Fraction d'une quantité : $\frac{a}{b}$ de $C$ se calcule par $\frac{a \times C}{b}$.