Nombres entiers et décimaux

1. Les nombres entiers naturels

Les nombres entiers naturels sont les nombres que nous utilisons pour compter des quantités complètes, sans partie décimale. Ils sont toujours positifs ou nuls. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté $\mathbb{N}$.

Exemple
Parmi la liste suivante, identifiez les nombres entiers naturels :
$5 \quad 12,3 \quad 0 \quad 1/2 \quad 100 \quad 4,0$

Corrigé pas à pas
Les nombres entiers naturels sont $5$, $0$, $100$ et $4,0$.

Explication :
• $5$ est un nombre entier naturel.
• $12,3$ a une partie décimale non nulle, ce n'est pas un entier naturel.
• $0$ est le plus petit nombre entier naturel.
• $1/2$ est une fraction qui vaut $0,5$, ce n'est pas un entier naturel.
• $100$ est un nombre entier naturel.
• $4,0$ peut s'écrire $4$, c'est donc un nombre entier naturel.

Erreurs fréquentes
Confondre un nombre entier avec un nombre décimal qui a une partie décimale non nulle (ex: $3,5$ n'est pas un entier).
Oublier que $0$ est un nombre entier naturel.
Oublier qu'un nombre comme $7,0$ est un entier naturel.

2. Les nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Il est composé d'une partie entière (avant la virgule) et d'une partie décimale (après la virgule).

Chaque chiffre dans un nombre décimal a une valeur de position (ou rang) qui dépend de sa place par rapport à la virgule. Par exemple, dans $123,456$ :
• La partie entière est $123$.
• La partie décimale est $456$.

Voici les rangs des chiffres :
• Dans la partie entière, de droite à gauche : unités, dizaines, centaines, milliers, etc.
• Dans la partie décimale, de gauche à droite : dixièmes, centièmes, millièmes, dix-millièmes, etc.

Méthode
1. Identifier la partie entière et la partie décimale : La virgule sépare ces deux parties. La partie entière est à gauche de la virgule, la partie décimale est à droite.
2. Reconnaître la valeur de position de chaque chiffre :
• Pour la partie entière : le chiffre le plus à droite est celui des unités, puis viennent les dizaines, les centaines, etc.
• Pour la partie décimale : le premier chiffre après la virgule est celui des dixièmes (il représente des fractions de type $\frac{1}{10}$), le deuxième est celui des centièmes (fractions de type $\frac{1}{100}$), le troisième est celui des millièmes (fractions de type $\frac{1}{1000}$), et ainsi de suite.
3. Lire et écrire un nombre décimal : On lit d'abord la partie entière, puis on dit 'virgule' et on lit la partie décimale chiffre par chiffre, ou bien on lit la partie entière et on nomme la partie décimale en fonction du rang de son dernier chiffre (ex: 'trois dixièmes', 'vingt-cinq centièmes').

Exemple
Considérons le nombre $78,125$.
1. Quelle est sa partie entière et sa partie décimale ?
2. Quel est le chiffre des dizaines ?
3. Quel est le chiffre des centièmes ?
4. Comment lit-on ce nombre ?

Corrigé pas à pas
1. La partie entière est $78$. La partie décimale est $125$.
2. Le chiffre des dizaines est $7$ (car il est à gauche du chiffre des unités, qui est $8$).
3. Le chiffre des centièmes est $2$ (car c'est le deuxième chiffre après la virgule).
4. On lit ce nombre : 'soixante-dix-huit virgule cent vingt-cinq' ou 'soixante-dix-huit unités et cent vingt-cinq millièmes'.

Erreurs fréquentes
Confondre les 'dizaines' (partie entière) avec les 'dixièmes' (partie décimale), ou les 'centaines' avec les 'centièmes'.
Oublier la virgule en écrivant un nombre décimal.
Ne pas comprendre que $3,5$ est la même chose que $3,50$ ou $3,500$ (ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre).

3. Comparer et ranger des nombres décimaux

Comparer des nombres décimaux signifie déterminer lequel est le plus grand, le plus petit, ou s'ils sont égaux. Ranger des nombres décimaux signifie les classer dans un ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant (du plus grand au plus petit).

Méthode
1. Comparer les parties entières : Le nombre décimal qui a la plus grande partie entière est le plus grand. Si les parties entières sont différentes, vous n'avez pas besoin de regarder la partie décimale.
2. Si les parties entières sont égales, comparer les parties décimales chiffre par chiffre : Commencez par le premier chiffre après la virgule (les dixièmes). Le nombre qui a le plus grand chiffre des dixièmes est le plus grand.
• Si les dixièmes sont égaux, comparez les centièmes. Le nombre qui a le plus grand chiffre des centièmes est le plus grand.
• Continuez ainsi jusqu'à trouver un chiffre différent.
3. Astuce : Ajouter des zéros : Pour faciliter la comparaison, vous pouvez ajouter des zéros à la fin de la partie décimale d'un nombre sans changer sa valeur. Cela permet d'avoir le même nombre de chiffres après la virgule pour tous les nombres à comparer (ex: $3,5 = 3,50$).
4. Utiliser les symboles :
• $<$ signifie 'est plus petit que'
• $>$ signifie 'est plus grand que'
• $=$ signifie 'est égal à'

Exemple
Comparez les nombres suivants en utilisant les symboles $<$, $>$ ou $=$.
1. $5,2$ et $4,9$
2. $7,35$ et $7,4$
3. $12,6$ et $12,600$

Corrigé pas à pas
1. $5,2$ et $4,9$ : La partie entière de $5,2$ est $5$. La partie entière de $4,9$ est $4$. Puisque $5 > 4$, alors $5,2 > 4,9$.
2. $7,35$ et $7,4$ : Les parties entières sont égales ($7$). Comparons les dixièmes : le chiffre des dixièmes de $7,35$ est $3$. Le chiffre des dixièmes de $7,4$ est $4$. Puisque $3 < 4$, alors $7,35 < 7,4$. (On peut aussi écrire $7,4$ comme $7,40$ pour comparer $7,35$ et $7,40$.)
3. $12,6$ et $12,600$ : Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur. Donc $12,6 = 12,600$.

Erreurs fréquentes
Comparer uniquement la 'longueur' de la partie décimale. Par exemple, penser que $3,15$ est plus grand que $3,2$ parce que $15$ est plus grand que $2$. C'est faux, il faut comparer chiffre par chiffre en partant des dixièmes.
Oublier de comparer d'abord les parties entières.
Ne pas ajouter de zéros pour faciliter la comparaison, ce qui peut mener à des erreurs.

Lire et écrire un nombre décimal

1. 1. Identifier la partie entière : C'est la partie du nombre située avant la virgule. Lisez-la comme un nombre entier habituel.
2. 2. Identifier la partie décimale : C'est la partie du nombre située après la virgule. Déterminez le rang du dernier chiffre (dixièmes, centièmes, millièmes...).
3. 3. Écrire en toutes lettres :
   • Méthode 1 (la plus courante) : Écrivez la partie entière, puis le mot 'virgule', puis lisez les chiffres de la partie décimale un par un.
   • Méthode 2 : Écrivez la partie entière suivie du mot 'unités et', puis écrivez la partie décimale comme un nombre entier, suivie du nom du rang de son dernier chiffre (ex: 'centièmes', 'millièmes').

Exemple
Écrivez en toutes lettres le nombre $345,678$.

Corrigé pas à pas
Méthode 1 : Trois-cent-quarante-cinq virgule six-sept-huit.
Méthode 2 : Trois-cent-quarante-cinq unités et six-cent-soixante-dix-huit millièmes (car le $8$ est le chiffre des millièmes).

Comparer deux nombres décimaux

1. 1. Comparer les parties entières : Observez les chiffres situés avant la virgule. Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand.
2. 2. Si les parties entières sont égales, comparer les chiffres des dixièmes : Regardez le premier chiffre après la virgule. Le nombre avec le plus grand chiffre des dixièmes est le plus grand.
3. 3. Si les dixièmes sont égaux, comparer les chiffres des centièmes : Regardez le deuxième chiffre après la virgule. Le nombre avec le plus grand chiffre des centièmes est le plus grand.
4. 4. Continuer ainsi : Répétez l'étape 3 pour les millièmes, puis les dix-millièmes, jusqu'à ce que vous trouviez deux chiffres différents.
5. 5. Astuce : Égaliser le nombre de chiffres après la virgule : Vous pouvez ajouter des zéros à la fin de la partie décimale d'un nombre pour qu'il ait le même nombre de chiffres après la virgule que l'autre nombre. Cela ne change pas sa valeur et peut faciliter la comparaison (ex: $4,5$ devient $4,50$ pour être comparé à $4,48$).
6. 6. Conclure : Utilisez les symboles $<$, $>$ ou $=$.

Exemple
Comparez $15,32$ et $15,309$.

Corrigé pas à pas
1. Les parties entières sont égales ($15$).
2. Les chiffres des dixièmes sont égaux ($3$).
3. Les chiffres des centièmes sont différents : $15,32$ a $2$ comme centième, et $15,309$ a $0$ comme centième.
4. Puisque $2 > 0$, alors $15,32$ est plus grand que $15,309$.

On peut aussi écrire $15,32$ comme $15,320$. On compare alors $15,320$ et $15,309$. Le chiffre des millièmes de $15,320$ est $0$ et celui de $15,309$ est $9$. Mais on a déjà trouvé une différence au niveau des centièmes, ce qui suffit pour conclure.
Donc, $15,32 > 15,309$.

Nombres entiers et décimaux : l'essentiel

• Un nombre entier naturel est un nombre sans partie décimale (ex: $0, 1, 2, 15, 100$).
• Un nombre décimal a une partie entière et une partie décimale, séparées par une virgule. La partie décimale est finie (ex: $3,14 \quad 0,5 \quad 12,00$).
• Valeur de position (rang des chiffres) :
  • Partie entière (avant la virgule) : ... centaines, dizaines, unités.
  • Partie décimale (après la virgule) : dixièmes, centièmes, millièmes, ...
• Exemple de rangs : Dans $123,456$ :
  • $1$ est le chiffre des centaines.
  • $2$ est le chiffre des dizaines.
  • $3$ est le chiffre des unités.
  • $4$ est le chiffre des dixièmes.
  • $5$ est le chiffre des centièmes.
  • $6$ est le chiffre des millièmes.

Comparer des nombres décimaux

• 1. Comparer les parties entières : Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand.
• 2. Si les parties entières sont égales : Comparer les chiffres de la partie décimale, un par un, de gauche à droite (dixièmes, puis centièmes, etc.).
• 3. Astuce : On peut ajouter des zéros à la fin de la partie décimale sans changer la valeur du nombre pour faciliter la comparaison (ex: $7,2 = 7,20 = 7,200$).
• Symboles : $<$ (plus petit que), $>$ (plus grand que), $=$ (égal à).