Les quatre opérations et le calcul

1. L'addition et la soustraction

L'addition est l'opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres. Les nombres que l'on additionne sont appelés les termes.
La soustraction est l'opération qui permet de calculer la différence entre deux nombres. Le premier nombre est le minuende et le second est le soustrahende.

Méthode
Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, il faut aligner les virgules (et donc les chiffres des unités, des dizaines, etc.) les uns sous les autres.
On peut ajouter des zéros inutiles à la fin de la partie décimale pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule, si cela aide à l'alignement.
On commence le calcul par la colonne la plus à droite (les plus petites unités), en gérant les retenues pour l'addition ou les emprunts pour la soustraction.

Exemple
Calculez $12,5 + 3,75$ et $25,8 - 13,25$.

Corrigé pas à pas
Pour l'addition $12,5 + 3,75$ :
On aligne les virgules et on ajoute un zéro pour faciliter le calcul :
$\quad 12,50$
$+ \quad 3,75$
-----
$\quad 16,25$

Pour la soustraction $25,8 - 13,25$ :
On aligne les virgules et on ajoute un zéro :
$\quad 25,80$
$- \quad 13,25$
-----
$\quad 12,55$

Erreurs fréquentes
Ne pas aligner correctement les chiffres des unités ou la virgule, ce qui mène à des erreurs de calcul.
Faire des erreurs dans les retenues (addition) ou les emprunts (soustraction).

2. La multiplication

La multiplication est l'opération qui permet de calculer le produit de deux ou plusieurs nombres. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs.

Méthode
Pour multiplier deux nombres décimaux, on effectue d'abord la multiplication comme s'il s'agissait de nombres entiers, sans tenir compte des virgules.
Une fois le produit calculé, on compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs de départ.
On place la virgule dans le résultat final en partant de la droite et en décalant d'autant de positions que le nombre total de chiffres après la virgule comptés à l'étape précédente.

Exemple
Calculez $12,5 \times 3,4$.

Corrigé pas à pas
On pose la multiplication sans les virgules : $125 \times 34$.
$\quad 125$
$\times \quad 34$
-----
$\quad 500$ (qui est $125 \times 4$)
$+ \quad 3750$ (qui est $125 \times 30$)
-----
$\quad 4250$

Maintenant, on compte les chiffres après la virgule :
$12,5$ a un chiffre après la virgule (le 5).
$3,4$ a un chiffre après la virgule (le 4).
Au total, il y a $1 + 1 = 2$ chiffres après la virgule.
On place la virgule dans $4250$ en partant de la droite et en décalant de 2 positions : $42,50$.
Donc, $12,5 \times 3,4 = 42,5$ (car $42,50 = 42,5$).

Erreurs fréquentes
Oublier de décaler les résultats intermédiaires lors de la pose de la multiplication (par exemple, pour le deuxième chiffre du multiplicateur).
Mal placer la virgule dans le produit final.

3. La division

La division est l'opération qui permet de partager une quantité en parts égales.
Le nombre que l'on divise est le dividende. Le nombre par lequel on divise est le diviseur. Le résultat de la division est le quotient. Ce qui reste après la division est le reste.
Il existe deux types de division : la division euclidienne (avec un quotient entier et un reste) et la division décimale (avec un quotient décimal et un reste nul, ou une valeur approchée).

Méthode
Pour poser une division, on écrit le dividende, puis le diviseur à sa droite.
On cherche combien de fois le diviseur 'rentre' dans une partie du dividende. On écrit le chiffre du quotient et on calcule le reste.
On abaisse le chiffre suivant du dividende et on répète l'opération.
Si l'on veut un quotient décimal et qu'il n'y a plus de chiffres au dividende, on place une virgule au quotient et on ajoute des zéros au dividende pour continuer la division.

Exemple
Effectuez la division euclidienne de $125$ par $4$, puis la division décimale de $12,5$ par $4$ (au dixième près).

Corrigé pas à pas
Pour la division euclidienne de $125$ par $4$ :
$\quad 125 \quad |\_4$
$- \quad 12 \quad |\_31$
-----
$\quad 05$
$- \quad 4$
-----
$\quad 1$
Le quotient est $31$ et le reste est $1$. On peut écrire $125 = 4 \times 31 + 1$.

Pour la division décimale de $12,5$ par $4$ :
$\quad 12,50 \quad |\_4$
$- \quad 12 \quad \quad |\_3,125$
-----
$\quad 05$
$- \quad 4$
-----
$\quad 10$
$- \quad 8$
-----
$\quad 20$
$- \quad 20$
-----
$\quad 0$
Le quotient est $3,125$. Au dixième près, le quotient est $3,1$.

Erreurs fréquentes
Faire des erreurs dans les soustractions successives.
Oublier de placer la virgule au quotient au bon moment lors d'une division décimale.
Mal estimer le nombre de fois que le diviseur 'rentre' dans une partie du dividende.

4. Les priorités de calcul

Lorsque l'on doit effectuer une suite d'opérations, il est essentiel de respecter un ordre précis pour obtenir le bon résultat. Cet ordre est appelé l'ordre des priorités de calcul.

Méthode
1. Effectuer d'abord les calculs situés entre parenthèses (ou crochets) en commençant par les plus intérieures.
2. Ensuite, effectuer les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
3. Enfin, effectuer les additions et les soustractions, de gauche à droite.

Exemple
Calculez l'expression suivante : $A = 10 + 4 \times (7 - 2) \div 2$.

Corrigé pas à pas
On applique les priorités de calcul :
$A = 10 + 4 \times (7 - 2) \div 2$
1. On commence par le calcul entre parenthèses :
$A = 10 + 4 \times 5 \div 2$
2. Ensuite, les multiplications et divisions, de gauche à droite :
$A = 10 + (4 \times 5) \div 2$
$A = 10 + 20 \div 2$
$A = 10 + (20 \div 2)$
$A = 10 + 10$
3. Enfin, l'addition :
$A = 20$
Le résultat est $20$.

Erreurs fréquentes
Ne pas respecter l'ordre des opérations, par exemple en effectuant une addition avant une multiplication.
Oublier que les multiplications et divisions (ou additions et soustractions) ont la même priorité et doivent être effectuées de gauche à droite.

Poser et effectuer une addition ou une soustraction de nombres décimaux

1. Écrivez les nombres les uns sous les autres en alignant soigneusement les virgules. Si un nombre n'a pas de partie décimale, considérez que sa virgule est après le chiffre des unités (par exemple, $15 = 15,00$).
2. Ajoutez des zéros à la fin de la partie décimale des nombres pour qu'ils aient tous le même nombre de chiffres après la virgule. Cela aide à l'alignement visuel.
3. Effectuez l'opération (addition ou soustraction) colonne par colonne, en commençant par la droite (les plus petites unités).
4. N'oubliez pas de gérer les retenues pour l'addition ou les emprunts pour la soustraction.
5. Placez la virgule dans le résultat final, exactement sous les virgules des nombres de départ.

Exemple
Calculez $7,8 + 14,35$ et $20 - 6,75$.

Corrigé pas à pas
Pour $7,8 + 14,35$ :
$\quad 7,80$
$+ \quad 14,35$
-----
$\quad 22,15$

Pour $20 - 6,75$ :
$\quad 20,00$
$- \quad 6,75$
-----
$\quad 13,25$

Poser et effectuer une multiplication de nombres décimaux

1. Écrivez les deux nombres l'un sous l'autre. Pour l'instant, ignorez les virgules et traitez-les comme des nombres entiers.
2. Effectuez la multiplication comme vous le feriez avec des nombres entiers. Multipliez le premier nombre par chaque chiffre du deuxième nombre, en décalant les résultats intermédiaires vers la gauche à chaque nouvelle ligne.
3. Additionnez tous les résultats intermédiaires pour obtenir le produit brut.
4. Comptez le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux nombres de départ (les facteurs).
5. Dans le produit brut, placez la virgule en partant de la droite et en la décalant d'autant de positions que le nombre total de chiffres après la virgule que vous avez compté.

Exemple
Calculez $4,2 \times 3,12$.

Corrigé pas à pas
On multiplie $42 \times 312$ :
$\quad 312$
$\times \quad 42$
-----
$\quad 624$ (qui est $312 \times 2$)
$+ \quad 12480$ (qui est $312 \times 40$)
-----
$\quad 13104$

$4,2$ a 1 chiffre après la virgule.
$3,12$ a 2 chiffres après la virgule.
Total : $1 + 2 = 3$ chiffres après la virgule.
On place la virgule dans $13104$ : $13,104$.
Donc, $4,2 \times 3,12 = 13,104$.

Appliquer les priorités de calcul dans une expression

1. Étape 1 : Les parenthèses. Repérez et effectuez tous les calculs qui se trouvent à l'intérieur des parenthèses. S'il y a des parenthèses imbriquées (des parenthèses dans des parenthèses), commencez par les plus intérieures.
2. Étape 2 : Multiplications et divisions. Une fois les parenthèses traitées, effectuez toutes les multiplications et les divisions présentes dans l'expression. Si plusieurs multiplications et divisions se suivent, effectuez-les dans l'ordre où elles apparaissent, de gauche à droite.
3. Étape 3 : Additions et soustractions. Enfin, effectuez toutes les additions et les soustractions restantes. Si plusieurs additions et soustractions se suivent, effectuez-les dans l'ordre où elles apparaissent, de gauche à droite.

Exemple
Calculez $C = 15 - (3 + 2 \times 4) \div 11$.

Corrigé pas à pas
On suit les étapes :
$C = 15 - (3 + 2 \times 4) \div 11$
1. Parenthèses : à l'intérieur des parenthèses, il y a une multiplication prioritaire.
$C = 15 - (3 + 8) \div 11$
$C = 15 - 11 \div 11$
2. Multiplications et divisions (de gauche à droite) :
$C = 15 - (11 \div 11)$
$C = 15 - 1$
3. Additions et soustractions (de gauche à droite) :
$C = 14$
Le résultat est $14$.

Vocabulaire des opérations

• Addition : termes $\rightarrow$ somme
• Soustraction : minuende, soustrahende $\rightarrow$ différence
• Multiplication : facteurs $\rightarrow$ produit
• Division : dividende, diviseur, quotient, reste

Ordre des priorités de calcul

• 1. Les calculs entre parenthèses (ou crochets).
• 2. Les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
• 3. Les additions et les soustractions, de gauche à droite.

Alignement des virgules

• Pour l'addition et la soustraction de nombres décimaux, il est obligatoire d'aligner les virgules.

Placement de la virgule en multiplication

• Le nombre de chiffres après la virgule dans le produit est égal à la somme des nombres de chiffres après la virgule dans les facteurs.