Racine carrée

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

La racine carrée d'un nombre réel positif $a$ est le nombre réel positif $x$ qui, élevé au carré, donne $a$. On le note $\sqrt{a}$. Autrement dit, si $x = \sqrt{a}$, alors $x^2 = a$.

Méthode
Pour trouver la racine carrée d'un nombre $a$, cherchez un nombre positif $x$ tel que $x \times x = a$.
Le symbole $\sqrt{}$ est appelé le radical.

Exemple
Calculer $\sqrt{49}$.

Corrigé pas à pas
On cherche un nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 49. On sait que $7 \times 7 = 49$, donc $7^2 = 49$. Par conséquent, $\sqrt{49} = 7$.

Erreurs fréquentes
Confondre la racine carrée d'un nombre avec la moitié de ce nombre. Par exemple, $\sqrt{16} = 4$, et non $16 \div 2 = 8$.
Oublier que la racine carrée d'un nombre positif est toujours positive. Par exemple, bien que $(-5)^2 = 25$, on a $\sqrt{25} = 5$ (et non $-5$).
Tenter de calculer la racine carrée d'un nombre négatif. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels.

Propriétés des racines carrées et simplification

Les racines carrées possèdent des propriétés importantes pour les calculs :
• Pour tous nombres positifs $a$ et $b$, $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
• Pour tous nombres positifs $a$ et $b$ (avec $b \neq 0$), $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
• Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Méthode
Pour simplifier une racine carrée $\sqrt{N}$, décomposez $N$ en un produit de deux nombres, dont l'un est le plus grand carré parfait possible.
Utilisez la propriété $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
Calculez la racine carrée du carré parfait.

Exemple
Simplifier l'expression $\sqrt{72}$.

Corrigé pas à pas
On cherche le plus grand carré parfait qui divise 72.
• $72 = 36 \times 2$. Or 36 est un carré parfait ($6^2 = 36$).
• Donc $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}$.
• En utilisant la propriété $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, on obtient $\sqrt{36} \times \sqrt{2}$.
• Puisque $\sqrt{36} = 6$, l'expression simplifiée est $6\sqrt{2}$.

Erreurs fréquentes
Appliquer les propriétés de multiplication/division à l'addition ou la soustraction. Par exemple, $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Donc $\sqrt{9+16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}$.
Ne pas simplifier au maximum une racine carrée. Par exemple, simplifier $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$ est correct, mais laisser $\sqrt{20}$ n'est pas une simplification complète.

Calculer la racine carrée d'un nombre

1. Identifiez le nombre positif dont vous devez calculer la racine carrée.
2. Recherchez le nombre positif qui, multiplié par lui-même (mis au carré), donne le nombre initial.
3. Notez le résultat en utilisant le symbole $\sqrt{}$.

Exemple
Calculer $\sqrt{144}$.

Corrigé pas à pas
1. Le nombre est 144.
2. On sait que $12 \times 12 = 144$, c'est-à-dire $12^2 = 144$.
3. Donc, $\sqrt{144} = 12$.

Simplifier une expression avec racine carrée

1. Décomposez le nombre sous la racine carrée en un produit de deux facteurs. L'un de ces facteurs doit être le plus grand carré parfait possible (par exemple, 4, 9, 16, 25, 36, etc.).
2. Utilisez la propriété de multiplication des racines carrées : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
3. Calculez la racine carrée du facteur qui est un carré parfait.
4. Écrivez l'expression simplifiée.

Exemple
Simplifier $\sqrt{98}$.

Corrigé pas à pas
1. On décompose 98 : $98 = 49 \times 2$. (49 est un carré parfait : $7^2 = 49$).
2. On applique la propriété : $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2}$.
3. On calcule $\sqrt{49} = 7$.
4. L'expression simplifiée est $7\sqrt{2}$.

L'essentiel sur les racines carrées

• Définition : Pour un nombre positif $a$, $\sqrt{a}$ est le nombre positif $x$ tel que $x^2 = a$.
• Produit : Pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$, $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
• Quotient : Pour $a \ge 0$ et $b > 0$, $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
• Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$.
• Simplification : Décomposer $\sqrt{N}$ en $\sqrt{k^2 \times m} = k\sqrt{m}$ où $k^2$ est le plus grand carré parfait divisant $N$.