Nombres relatifs : opérations

1. Addition et soustraction de nombres relatifs

Les nombres relatifs sont des nombres qui peuvent être positifs (supérieurs à 0) ou négatifs (inférieurs à 0). Ils sont utilisés pour représenter des grandeurs avec une direction ou un sens (températures, altitudes, gains et pertes). Maîtriser leur addition et leur soustraction est fondamental pour les calculs en mathématiques.

Méthode
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
1. On additionne leurs valeurs absolues (la valeur du nombre sans son signe).
2. On garde le signe commun aux deux nombres.
Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents :
1. On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande valeur absolue.
2. On attribue au résultat le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.
Pour soustraire un nombre relatif :
1. Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
2. L'opposé d'un nombre est le même nombre avec le signe contraire (ex: l'opposé de $+5$ est $-5$, l'opposé de $-3$ est $+3$).
3. Appliquer ensuite les règles d'addition de nombres relatifs.

Exemple
Calculez les expressions suivantes :
1. $A = (-7) + (-3)$
2. $B = (+12) + (-5)$
3. $C = (-9) - (+4)$
4. $D = (+6) - (-10)$

Corrigé pas à pas
1. $A = (-7) + (-3)$
Les deux nombres sont de même signe (négatif). On additionne leurs valeurs absolues : $7 + 3 = 10$. On garde le signe commun : négatif.
$A = -10$

2. $B = (+12) + (-5)$
Les deux nombres sont de signes différents. On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande : $12 - 5 = 7$. Le nombre qui a la plus grande valeur absolue est $+12$, son signe est positif. Le résultat est positif.
$B = +7$

3. $C = (-9) - (+4)$
On transforme la soustraction en addition de l'opposé. L'opposé de $+4$ est $-4$.
$C = (-9) + (-4)$
Les deux nombres sont de même signe (négatif). On additionne leurs valeurs absolues : $9 + 4 = 13$. On garde le signe commun : négatif.
$C = -13$

4. $D = (+6) - (-10)$
On transforme la soustraction en addition de l'opposé. L'opposé de $-10$ est $+10$.
$D = (+6) + (+10)$
Les deux nombres sont de même signe (positif). On additionne leurs valeurs absolues : $6 + 10 = 16$. On garde le signe commun : positif.
$D = +16$

Erreurs fréquentes
Confondre les règles d'addition de nombres de signes différents avec celles de même signe.
Oublier de transformer une soustraction en addition de l'opposé, et appliquer directement les règles d'addition.
Ne pas prendre le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue lors de l'addition de nombres de signes différents.

2. Multiplication et division de nombres relatifs

La multiplication et la division de nombres relatifs suivent des règles de signes spécifiques. Ces règles sont essentielles pour déterminer le signe du résultat avant d'effectuer l'opération sur les valeurs absolues.

Méthode
Règle des signes pour la multiplication et la division :
1. Si les deux nombres ont le même signe (deux positifs ou deux négatifs), le résultat est positif.
Exemples : $(+) \times (+) = (+)$ et $(-) \times (-) = (+)$
2. Si les deux nombres ont des signes différents (un positif et un négatif), le résultat est négatif.
Exemples : $(+) \times (-) = (-)$ et $(-) \times (+) = (-)$
Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs :
1. Déterminez le signe du résultat en utilisant la règle des signes.
2. Multipliez ou divisez les valeurs absolues des nombres.

Exemple
Calculez les expressions suivantes :
1. $F = (-6) \times (-3)$
2. $G = (+8) \times (-4)$
3. $H = (-20) \div (+5)$
4. $I = (+42) \div (-7)$

Corrigé pas à pas
1. $F = (-6) \times (-3)$
Les deux nombres ont le même signe (négatif). Le résultat est positif. On multiplie les valeurs absolues : $6 \times 3 = 18$.
$F = +18$

2. $G = (+8) \times (-4)$
Les deux nombres ont des signes différents. Le résultat est négatif. On multiplie les valeurs absolues : $8 \times 4 = 32$.
$G = -32$

3. $H = (-20) \div (+5)$
Les deux nombres ont des signes différents. Le résultat est négatif. On divise les valeurs absolues : $20 \div 5 = 4$.
$H = -4$

4. $I = (+42) \div (-7)$
Les deux nombres ont des signes différents. Le résultat est négatif. On divise les valeurs absolues : $42 \div 7 = 6$.
$I = -6$

Erreurs fréquentes
Appliquer la règle des signes de l'addition/soustraction à la multiplication/division, ou inversement.
Oublier de compter le nombre de facteurs négatifs dans une multiplication de plusieurs nombres pour déterminer le signe final.
Confondre la division par zéro (impossible) avec la division de zéro par un nombre (résultat zéro).

3. Priorités opératoires avec les nombres relatifs

Lorsque plusieurs opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sont présentes dans une même expression, il est crucial de respecter un ordre précis, appelé 'priorités opératoires', pour obtenir le bon résultat. Cet ordre s'applique de la même manière avec les nombres relatifs.

Méthode
L'ordre des opérations est le suivant :
1. Parenthèses : Effectuer d'abord les calculs à l'intérieur des parenthèses, en commençant par les plus intérieures si elles sont imbriquées.
2. Multiplications et Divisions : Effectuer ensuite les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
3. Additions et Soustractions : Effectuer enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.

Exemple
Calculez l'expression suivante : $K = 10 - (-3) \times 2 + (-12) \div 4$

Corrigé pas à pas
Pour calculer $K = 10 - (-3) \times 2 + (-12) \div 4$ :
1. Multiplications et divisions (de gauche à droite) :
• $(-3) \times 2$ : signes différents, résultat négatif. $3 \times 2 = 6$. Donc $(-3) \times 2 = -6$.
• $(-12) \div 4$ : signes différents, résultat négatif. $12 \div 4 = 3$. Donc $(-12) \div 4 = -3$.
L'expression devient : $K = 10 - (-6) + (-3)$

2. Additions et soustractions (de gauche à droite) :
• $10 - (-6)$ : soustraire $(-6)$ revient à ajouter son opposé, $+6$. Donc $10 + (+6) = 16$.
• L'expression devient : $K = 16 + (-3)$
• $16 + (-3)$ : signes différents. $16 - 3 = 13$. Le signe du nombre avec la plus grande valeur absolue ($+16$) est positif. Donc $16 + (-3) = +13$.
$K = 13$

Erreurs fréquentes
Ne pas respecter l'ordre des opérations, par exemple en effectuant une addition avant une multiplication.
Oublier de gérer les signes des nombres relatifs à chaque étape du calcul.
Mal interpréter les parenthèses : les parenthèses indiquent une priorité, mais aussi peuvent servir à séparer les signes d'un nombre (ex: $(-3)$).

Additionner ou soustraire des nombres relatifs

1. 1. Identifier l'opération : S'agit-il d'une addition ou d'une soustraction ?
2. 2. Pour une soustraction : Transformer la soustraction en addition de l'opposé. Par exemple, $a - b$ devient $a + (-b)$.
3. 3. Pour une addition de même signe : Additionner les valeurs absolues des nombres et garder le signe commun.
4. 4. Pour une addition de signes différents : Soustraire la plus petite valeur absolue de la plus grande. Le résultat prend le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.

Exemple
Calculez $M = (-11) + (+6)$ et $N = (-4) - (-9)$.

Corrigé pas à pas
Pour $M = (-11) + (+6)$ :
• C'est une addition de nombres de signes différents.
• Valeurs absolues : $11$ et $6$.
• On soustrait la plus petite de la plus grande : $11 - 6 = 5$.
• Le nombre avec la plus grande valeur absolue est $-11$, son signe est négatif. Le résultat est donc négatif.
• $M = -5$

Pour $N = (-4) - (-9)$ :
• C'est une soustraction. On la transforme en addition de l'opposé.
• L'opposé de $-9$ est $+9$.
• L'expression devient : $N = (-4) + (+9)$.
• C'est une addition de nombres de signes différents.
• Valeurs absolues : $4$ et $9$.
• On soustrait la plus petite de la plus grande : $9 - 4 = 5$.
• Le nombre avec la plus grande valeur absolue est $+9$, son signe est positif. Le résultat est donc positif.
• $N = +5$

Multiplier ou diviser des nombres relatifs

1. 1. Déterminer le signe du résultat : Appliquer la règle des signes : si les deux nombres ont le même signe, le résultat est positif. S'ils ont des signes différents, le résultat est négatif.
2. 2. Effectuer l'opération sur les valeurs absolues : Multiplier ou diviser les valeurs absolues des nombres (sans tenir compte de leur signe pour cette étape).

Exemple
Calculez $P = (-7) \times (-5)$ et $Q = (+36) \div (-9)$.

Corrigé pas à pas
Pour $P = (-7) \times (-5)$ :
• Les deux nombres ont le même signe (négatif).
• Le résultat sera positif.
• On multiplie les valeurs absolues : $7 \times 5 = 35$.
• $P = +35$

Pour $Q = (+36) \div (-9)$ :
• Les deux nombres ont des signes différents (un positif, un négatif).
• Le résultat sera négatif.
• On divise les valeurs absolues : $36 \div 9 = 4$.
• $Q = -4$

Calculer une expression avec les priorités opératoires

1. 1. Parenthèses : Effectuer tous les calculs situés à l'intérieur des parenthèses, en commençant par les plus intérieures si elles sont imbriquées.
2. 2. Multiplications et Divisions : Une fois les parenthèses traitées, effectuer toutes les multiplications et divisions, en allant de gauche à droite dans l'expression.
3. 3. Additions et Soustractions : Enfin, effectuer toutes les additions et soustractions, en allant de gauche à droite dans l'expression.

Exemple
Calculez $R = 8 + (-2) \times (6 - 9) - 10 \div 2$.

Corrigé pas à pas
Pour $R = 8 + (-2) \times (6 - 9) - 10 \div 2$ :
1. Parenthèses :
$6 - 9 = 6 + (-9) = -3$.
L'expression devient : $R = 8 + (-2) \times (-3) - 10 \div 2$.

2. Multiplications et Divisions (de gauche à droite) :
• $(-2) \times (-3)$ : mêmes signes, résultat positif. $2 \times 3 = 6$. Donc $(-2) \times (-3) = +6$.
• $10 \div 2$ : mêmes signes, résultat positif. $10 \div 2 = 5$. Donc $10 \div 2 = +5$.
L'expression devient : $R = 8 + (+6) - (+5)$.

3. Additions et Soustractions (de gauche à droite) :
• $8 + (+6) = 14$.
• $14 - (+5)$ : soustraire $(+5)$ revient à ajouter son opposé, $-5$. Donc $14 + (-5) = 9$.
$R = 9$

Règles d'addition et soustraction

• Même signe : On additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun. Ex: $(-5) + (-2) = -7$
• Signes différents : On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue. Ex: $(-5) + (+2) = -3$
• Soustraction : Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. Ex: $a - b = a + (-b)$

Règles de multiplication et division (Règle des signes)

• Même signe (positif par positif, négatif par négatif) $\implies$ Résultat positif.
• $(+) \times (+) = (+)$
• $(-) \times (-) = (+)$
• Signes différents (positif par négatif, négatif par positif) $\implies$ Résultat négatif.
• $(+) \times (-) = (-)$
• $(-) \times (+) = (-)$
• Ces règles s'appliquent aussi pour la division.

Priorités opératoires

• 1. Parenthèses (du plus intérieur au plus extérieur)
• 2. Multiplications et Divisions (de gauche à droite)
• 3. Additions et Soustractions (de gauche à droite)