Théorème de Pythagore et sa réciproque

Le théorème de Pythagore (calculer une longueur)

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors l'hypoténuse est $[BC]$ et on a l'égalité de Pythagore : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

Méthode
1. Vérifier et énoncer la condition : nommer le triangle et préciser en quel sommet il est rectangle.
2. Identifier l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, qui est aussi le plus grand côté).
3. Écrire l'égalité de Pythagore avec les lettres des sommets.
4. Remplacer les longueurs connues par leurs valeurs numériques.
5. Résoudre l'équation pour trouver le carré de la longueur cherchée (addition pour l'hypoténuse, soustraction pour un côté de l'angle droit).
6. Utiliser la racine carrée $\sqrt{\phantom{x}}$ pour obtenir la longueur finale, avec l'unité.

Exemple
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 3\text{ cm}$ et $AC = 4\text{ cm}$. Calculer la longueur $BC$.

Corrigé pas à pas
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
D'après le théorème de Pythagore, on a :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
$$BC^2 = 3^2 + 4^2$$
$$BC^2 = 9 + 16 = 25$$
Une longueur étant un nombre positif :
$$BC = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$$
La longueur de l'hypoténuse $[BC]$ est donc égale à $5\text{ cm}$.

Erreurs fréquentes
Oublier d'élever les longueurs au carré ($3 + 4 = 7$ au lieu de $3^2 + 4^2$).
Additionner au lieu de soustraire lorsqu'on cherche un côté de l'angle droit (l'hypoténuse est toujours le côté le plus long).
Oublier de prendre la racine carrée à la dernière étape (confondre $BC^2$ et $BC$).
Appliquer le théorème dans un triangle qui n'est pas rectangle.

Réciproque et contraposée de Pythagore (démontrer qu'un triangle est rectangle ou non)

Pour savoir si un triangle dont on connaît les trois longueurs est rectangle :
- Réciproque du théorème de Pythagore : Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (l'angle droit est opposé au plus grand côté).
- Conséquence (contraposée) : Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.

Méthode
1. Repérer le plus grand côté du triangle.
2. Calculer le carré de ce plus grand côté d'une part : $\text{côté}^2$.
3. Calculer la somme des carrés des deux autres côtés d'autre part : $\text{côté}_1^2 + \text{côté}_2^2$.
4. Attention : Ne jamais écrire le signe égal entre les deux membres avant d'avoir comparé les résultats numériques calculés séparément.
5. Comparer les deux résultats : s'ils sont égaux, conclure que le triangle est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore ; s'ils sont différents, conclure que le triangle n'est pas rectangle.

Exemple
Le triangle $MNP$ tel que $MN = 13\text{ cm}$, $NP = 12\text{ cm}$ et $MP = 5\text{ cm}$ est-il rectangle ?

Corrigé pas à pas
Dans le triangle $MNP$, le plus grand côté est $[MN]$.
D'une part :
$$MN^2 = 13^2 = 169$$
D'autre part :
$$NP^2 + MP^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$
On constate que $MN^2 = NP^2 + MP^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $MNP$ est rectangle en $P$.

Erreurs fréquentes
Écrire $MN^2 = NP^2 + MP^2$ dès le départ (on ne peut pas affirmer l'égalité tant qu'on ne l'a pas vérifiée numériquement).
Ne pas identifier correctement le plus grand côté.
Conclure que le triangle est rectangle en utilisant « le théorème de Pythagore » au lieu de « la réciproque du théorème de Pythagore ».

Calculer la longueur de l'hypoténuse

1. Vérifier que le triangle est rectangle et nommer l'angle droit.
2. Écrire l'égalité de Pythagore en isolant le carré de l'hypoténuse : $\text{Hypoténuse}^2 = \text{Côté}_1^2 + \text{Côté}_2^2$.
3. Remplacer par les valeurs numériques et additionner les carrés.
4. Prendre la racine carrée du résultat pour trouver la longueur.

Exemple
Dans un triangle $KLM$ rectangle en $K$, on donne $KL = 4{,}5\text{ cm}$ et $KM = 6\text{ cm}$. Calculer $LM$.

Corrigé pas à pas
Le triangle $KLM$ est rectangle en $K$.
D'après le théorème de Pythagore :
$$LM^2 = KL^2 + KM^2$$
$$LM^2 = 4{,}5^2 + 6^2$$
$$LM^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25$$
$$LM = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5\text{ cm}$$
La longueur de l'hypoténuse $[LM]$ est $7{,}5\text{ cm}$.

Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit

1. Vérifier que le triangle est rectangle et repérer l'hypoténuse.
2. Écrire l'égalité de Pythagore : $\text{Hypoténuse}^2 = \text{Côté}_1^2 + \text{Côté}_2^2$.
3. Isoler le côté cherché par une soustraction : $\text{Côté}_1^2 = \text{Hypoténuse}^2 - \text{Côté}_2^2$.
4. Effectuer le calcul numérique et prendre la racine carrée.

Exemple
Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$ avec $AC = 13\text{ cm}$ et $AB = 5\text{ cm}$. Calculer $BC$.

Corrigé pas à pas
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
D'après le théorème de Pythagore :
$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$
$$13^2 = 5^2 + BC^2$$
$$169 = 25 + BC^2$$
$$BC^2 = 169 - 25 = 144$$
$$BC = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$$
La longueur $BC$ est de $12\text{ cm}$.

Tester si un triangle est rectangle

1. Identifier le plus grand côté du triangle.
2. Calculer le carré du plus grand côté séparément.
3. Calculer la somme des carrés des deux autres côtés séparément.
4. Comparer les deux valeurs obtenues et conclure (réciproque si égalité, non rectangle si différence).

Exemple
On donne un triangle $ABC$ avec $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 10\text{ cm}$ et $AC = 8\text{ cm}$. Est-il rectangle ?

Corrigé pas à pas
Le plus grand côté est $[BC]$.
D'une part : $$BC^2 = 10^2 = 100$$
D'autre part : $$AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$
Comme $BC^2 = AB^2 + AC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Théorème de Pythagore (Calculer une longueur)

• Condition obligatoire : triangle rectangle.
• Formule (triangle $ABC$ rectangle en $A$) : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
• Pour chercher l'hypoténuse : additionner les carrés puis prendre $\sqrt{\phantom{x}}$.
• Pour chercher un côté de l'angle droit : soustraire le carré connu au carré de l'hypoténuse puis prendre $\sqrt{\phantom{x}}$.

Réciproque et contraposée (Démontrer la nature du triangle)

• Condition : connaître les 3 longueurs dans la même unité.
• Séparer impérativement les deux calculs : d'un côté $\text{plus grand côté}^2$, de l'autre la somme des deux autres carrés.
• Si égalité $\rightarrow$ Le triangle est rectangle (Réciproque du théorème de Pythagore).
• Si différence $\rightarrow$ Le triangle n'est pas rectangle (Égalité non vérifiée).