Transformations : symétries, translation, rotation, homothétie

Introduction aux transformations géométriques

Une transformation géométrique est une opération qui permet de déplacer une figure (points, segments, droites, polygones, etc.) dans le plan pour obtenir une nouvelle figure, appelée son image. Certaines transformations conservent les propriétés de la figure (longueurs, angles, aires, alignement), d'autres les modifient (comme l'homothétie qui agrandit ou réduit).

Exemple
Donnez un exemple de transformation géométrique que l'on peut observer dans la vie courante.

Corrigé pas à pas
Lorsque vous regardez votre reflet dans un miroir, vous observez une symétrie axiale. Lorsque vous faites tourner une roue de vélo, c'est une rotation. Lorsque vous faites glisser un objet sur une table sans le tourner, c'est une translation.

1. La symétrie axiale

La symétrie axiale (ou réflexion) est une transformation qui 'plie' une figure le long d'une droite appelée axe de symétrie. Chaque point de la figure originale a une image telle que l'axe de symétrie est la médiatrice du segment reliant le point à son image. Cela signifie que le segment est perpendiculaire à l'axe et que l'axe le coupe en son milieu.

Méthode
Pour construire l'image $A'$ d'un point $A$ par symétrie axiale d'axe $(d)$ :
1. Tracez la droite perpendiculaire à l'axe $(d)$ passant par le point $A$.
2. Mesurez la distance entre le point $A$ et l'axe $(d)$.
3. Reportez cette même distance de l'autre côté de l'axe, le long de la perpendiculaire, pour trouver le point $A'$.

Exemple
Construisez l'image du segment $[AB]$ par symétrie axiale d'axe $(d)$.

Corrigé pas à pas
Pour construire l'image du segment $[AB]$, il suffit de construire les images $A'$ et $B'$ des points $A$ et $B$ par la symétrie axiale d'axe $(d)$. Ensuite, on relie les points $A'$ et $B'$ pour obtenir le segment image $[A'B']$. Le segment $[A'B']$ aura la même longueur que $[AB]$.

Erreurs fréquentes
Oublier la condition de perpendicularité : le segment joignant un point à son image doit être perpendiculaire à l'axe de symétrie.
Ne pas reporter la bonne distance : la distance entre le point et l'axe doit être la même que la distance entre l'image et l'axe.

2. La symétrie centrale

La symétrie centrale (ou symétrie par rapport à un point) est une transformation qui fait faire un 'demi-tour' à une figure autour d'un point fixe appelé centre de symétrie. Chaque point de la figure originale a une image telle que le centre de symétrie est le milieu du segment reliant le point à son image.

Méthode
Pour construire l'image $A'$ d'un point $A$ par symétrie centrale de centre $O$ :
1. Tracez la droite passant par le point $A$ et le centre $O$.
2. Reportez la distance $OA$ de l'autre côté du point $O$ sur cette même droite. Le point $A'$ est tel que $O$ est le milieu du segment $[AA']$.

Exemple
Soit un point $M$ et un centre $P$. Construisez l'image $M'$ de $M$ par symétrie centrale de centre $P$.

Corrigé pas à pas
Pour construire $M'$, on trace la droite $(MP)$. Ensuite, on mesure la distance $PM$. On reporte cette distance à partir de $P$ sur la droite $(MP)$ de l'autre côté de $P$. Le point $M'$ est tel que $P$ est le milieu du segment $[MM']$.

Erreurs fréquentes
Confondre la symétrie centrale avec la symétrie axiale.
Ne pas s'assurer que le centre de symétrie est bien le milieu du segment joignant le point à son image.

3. La translation

La translation est une transformation qui 'glisse' une figure sans la faire tourner ni la retourner. Elle est définie par un vecteur (souvent représenté par une flèche) qui indique la direction, le sens et la longueur du déplacement. Si un point $A'$ est l'image d'un point $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$, alors le vecteur $\vec{AA'}$ est égal au vecteur $\vec{u}$.

Méthode
Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$ :
1. Tracez une droite passant par $M$ et parallèle à la droite $(AB)$.
2. Tracez un arc de cercle de centre $M$ et de rayon $AB$.
3. Tracez un arc de cercle de centre $B$ et de rayon $AM$.
4. Le point $M'$ est l'intersection des deux arcs de cercle (qui forme un parallélogramme $ABM'M$). Alternativement, on peut utiliser le compas : reportez la longueur $AB$ à partir de $M$ sur la droite parallèle, dans le même sens que $\vec{AB}$.

Exemple
Décrivez la translation qui transforme le point $P(1, 2)$ en $P'(4, 5)$.

Corrigé pas à pas
La translation est définie par le vecteur $\vec{PP'}$. Les coordonnées de ce vecteur sont $(4-1, 5-2) = (3, 3)$. C'est donc la translation qui déplace les points de 3 unités vers la droite et de 3 unités vers le haut.

Erreurs fréquentes
Changer l'orientation de la figure : une translation ne fait pas tourner la figure.
Ne pas respecter la direction ou la longueur du vecteur de translation.

4. La rotation

La rotation est une transformation qui fait 'tourner' une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation, d'un certain angle et dans un certain sens (horaire ou anti-horaire). Pour tout point $P$ et son image $P'$ par une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ :

Méthode
1. La distance $OP$ est égale à la distance $OP'$.
2. L'angle $\widehat{POP'}$ est égal à l'angle de rotation $\alpha$.

Exemple
Construisez l'image du point $P$ par une rotation de centre $O$, d'angle $60°$ dans le sens anti-horaire.

Corrigé pas à pas
Pour construire l'image $P'$ de $P$ :
1. Tracez le segment $[OP]$.
2. À partir du segment $[OP]$, mesurez un angle de $60°$ dans le sens anti-horaire, en plaçant le sommet de l'angle en $O$. Tracez le deuxième côté de cet angle.
3. Sur ce deuxième côté, reportez la longueur $OP$ à partir de $O$. Le point obtenu est $P'$. Ainsi, $OP = OP'$ et l'angle $\widehat{POP'}$ mesure $60°$ dans le sens anti-horaire.

Erreurs fréquentes
Confondre le sens horaire et le sens anti-horaire.
Ne pas s'assurer que la distance entre le centre de rotation et le point est la même que la distance entre le centre et l'image du point.
Mesurer l'angle de rotation à partir d'une mauvaise référence.

5. L'homothétie

L'homothétie est une transformation qui permet d'agrandir ou de réduire une figure à partir d'un point fixe appelé centre d'homothétie $O$, avec un certain rapport $k$ (un nombre non nul).

Méthode
Pour construire l'image $A'$ d'un point $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :
1. Tracez la droite $(OA)$.
2. Sur cette droite, placez le point $A'$ tel que la distance $OA'$ soit égale à $|k| \times OA$.
3. Si $k$ est positif ($k > 0$), $A'$ est du même côté de $O$ que $A$.
4. Si $k$ est négatif ($k < 0$), $A'$ est de l'autre côté de $O$ par rapport à $A$.

Exemple
Un segment $[AB]$ mesure 5 cm. Quelle sera la longueur de son image $[A'B']$ par une homothétie de rapport $k = -3$ ?

Corrigé pas à pas
Par une homothétie de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $|k|$. Ici, $|k| = |-3| = 3$. Donc, la longueur du segment image $[A'B']$ sera $3 \times 5 \text{ cm} = 15 \text{ cm}$. Le fait que le rapport soit négatif signifie que l'image est de l'autre côté du centre d'homothétie par rapport à la figure originale, mais cela n'affecte pas la longueur.

Erreurs fréquentes
Oublier la valeur absolue du rapport $k$ pour calculer les longueurs, aires ou volumes (par exemple, un rapport $k=-2$ agrandit la figure, il ne la réduit pas).
Confondre le sens du déplacement lorsque le rapport est négatif.
Ne pas comprendre que l'homothétie ne conserve pas les longueurs (sauf si $|k|=1$), mais conserve les angles et l'alignement.

Construire l'image d'un point par symétrie axiale

1. 1. Placez le point $A$ et tracez l'axe de symétrie $(d)$.
2. 2. À l'aide d'une équerre, tracez la droite perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$.
3. 3. Prolongez cette perpendiculaire de l'autre côté de $(d)$.
4. 4. À l'aide d'un compas ou d'une règle, mesurez la distance entre $A$ et le point d'intersection de la perpendiculaire avec $(d)$.
5. 5. Reportez cette même distance de l'autre côté de $(d)$ sur la perpendiculaire. Le point obtenu est $A'$.

Exemple
Construire l'image du point $P$ de coordonnées $(2, 1)$ par symétrie axiale d'axe l'axe des ordonnées.

Corrigé pas à pas
L'axe des ordonnées est la droite verticale d'équation $x=0$. Le point $P(2, 1)$ est à 2 unités à droite de cet axe. Son image $P'$ sera donc à 2 unités à gauche de l'axe, à la même hauteur. Les coordonnées de $P'$ sont $(-2, 1)$.

Construire l'image d'un point par symétrie centrale

1. 1. Placez le point $A$ et le centre de symétrie $O$.
2. 2. Tracez la droite $(AO)$ passant par $A$ et $O$.
3. 3. À l'aide d'un compas ou d'une règle, mesurez la distance $OA$.
4. 4. Reportez cette même distance à partir de $O$ sur la droite $(AO)$, de l'autre côté de $O$. Le point obtenu est $A'$.

Exemple
Construire l'image du point $Q(3, 2)$ par symétrie centrale de centre l'origine $O(0, 0)$.

Corrigé pas à pas
Le centre de symétrie est $O(0,0)$. On trace la droite $(QO)$. On mesure $QO$. On reporte cette distance de l'autre côté de $O$. Le point $Q'$ aura pour coordonnées $(-3, -2)$ car $O$ doit être le milieu de $[QQ']$. Si $Q(x,y)$ et $O(0,0)$, alors $Q'(-x,-y)$.

Construire l'image d'un point par translation

1. 1. Placez le point $M$ et le vecteur de translation $\vec{AB}$ (défini par les points $A$ et $B$).
2. 2. Tracez une droite passant par $M$ et parallèle à la droite $(AB)$.
3. 3. Tracez un arc de cercle de centre $M$ et de rayon $AB$.
4. 4. Tracez un arc de cercle de centre $B$ et de rayon $AM$.
5. 5. Le point $M'$ est l'intersection des deux arcs de cercle (qui forme un parallélogramme $ABM'M$). Alternativement, on peut utiliser le compas : reportez la longueur $AB$ à partir de $M$ sur la droite parallèle, dans le même sens que $\vec{AB}$.

Exemple
Construire l'image du point $R(1, 1)$ par la translation de vecteur $\vec{u}(2, -1)$.

Corrigé pas à pas
Pour trouver l'image $R'(x', y')$ du point $R(1, 1)$ par la translation de vecteur $\vec{u}(2, -1)$, on ajoute les coordonnées du vecteur à celles du point : $x' = 1 + 2 = 3$ et $y' = 1 + (-1) = 0$. Donc, $R'(3, 0)$.

Construire l'image d'un point par rotation

1. 1. Placez le point $P$, le centre de rotation $O$ et définissez l'angle $\alpha$ et le sens de rotation.
2. 2. Tracez le segment $[OP]$.
3. 3. À l'aide d'un rapporteur, placez le centre du rapporteur sur $O$ et alignez le zéro avec le segment $[OP]$.
4. 4. Mesurez l'angle $\alpha$ dans le sens indiqué (horaire ou anti-horaire) et marquez un point.
5. 5. Tracez une demi-droite depuis $O$ passant par ce point marqué.
6. 6. À l'aide d'un compas, reportez la longueur $OP$ sur cette demi-droite à partir de $O$. Le point obtenu est $P'$.

Exemple
Construire l'image du point $S(2, 0)$ par une rotation de centre $O(0, 0)$ et d'angle $90°$ dans le sens anti-horaire.

Corrigé pas à pas
Le point $S$ est sur l'axe des abscisses. Une rotation de $90°$ dans le sens anti-horaire autour de l'origine transforme un point $(x, y)$ en $(-y, x)$. Donc, l'image $S'$ de $S(2, 0)$ sera $S'(0, 2)$. Le point $S'$ est sur l'axe des ordonnées.

Construire l'image d'un point par homothétie

1. 1. Placez le point $A$, le centre d'homothétie $O$ et définissez le rapport $k$.
2. 2. Tracez la droite $(OA)$ passant par $O$ et $A$.
3. 3. Mesurez la distance $OA$.
4. 4. Calculez la distance $OA' = |k| \times OA$.
5. 5. Si $k > 0$, reportez la distance $OA'$ sur la droite $(OA)$ du même côté de $O$ que $A$. Le point obtenu est $A'$.
6. 6. Si $k < 0$, reportez la distance $OA'$ sur la droite $(OA)$ de l'autre côté de $O$ par rapport à $A$. Le point obtenu est $A'$.

Exemple
Construire l'image du point $T(1, 2)$ par une homothétie de centre $O(0, 0)$ et de rapport $k = -2$.

Corrigé pas à pas
Pour trouver l'image $T'(x', y')$ du point $T(1, 2)$ par l'homothétie de centre $O(0, 0)$ et de rapport $k = -2$, on multiplie les coordonnées du point par le rapport : $x' = -2 \times 1 = -2$ et $y' = -2 \times 2 = -4$. Donc, $T'(-2, -4)$. Le point $T'$ est de l'autre côté de l'origine par rapport à $T$ et deux fois plus éloigné.

Les 5 transformations géométriques

• Symétrie axiale (axe $(d)$) : Pliage. L'axe $(d)$ est la médiatrice de $[AA']$.
• Symétrie centrale (centre $O$) : Demi-tour. $O$ est le milieu de $[AA']$.
• Translation (vecteur $\vec{u}$) : Glissement. $\vec{AA'} = \vec{u}$.
• Rotation (centre $O$, angle $\alpha$, sens) : Tourner. $OA=OA'$ et $\widehat{AOA'} = \alpha$.
• Homothétie (centre $O$, rapport $k$) : Agrandissement/Réduction. $OA' = |k| \times OA$. Si $k>0$, $A$ et $A'$ sont du même côté de $O$. Si $k<0$, $A$ et $A'$ sont de part et d'autre de $O$.

Propriétés des transformations

• Symétries, Translation, Rotation : Conservent les longueurs, les angles, les aires et l'alignement des points.
• Homothétie : Conserve les angles et l'alignement des points. Les longueurs sont multipliées par $|k|$, les aires par $k^2$, les volumes par $|k|^3$. Les droites sont transformées en droites parallèles.