Probabilités conditionnelles et variables aléatoires

Probabilités conditionnelles

Dans le cadre d'une expérience aléatoire, la probabilité conditionnelle d'un événement $B$ sachant qu'un événement $A$ de probabilité non nulle est réalisé, notée $P_A(B)$ ou $P(B|A)$, est la probabilité que $B$ se produise sous la condition que $A$ s'est déjà produit. Elle est définie par la formule : $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$ où $P(A \cap B)$ est la probabilité de l'intersection des événements $A$ et $B$ (c'est-à-dire que $A$ et $B$ se réalisent simultanément).

Méthode
Identifier clairement les événements $A$ et $B$ dont les probabilités sont en jeu.
S'assurer que la probabilité de l'événement conditionnant ($A$ dans $P_A(B)$) est strictement positive ($P(A) > 0$). Si $P(A) = 0$, la probabilité conditionnelle n'est pas définie.
Calculer la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$.
Calculer la probabilité de l'événement conditionnant $P(A)$.
Appliquer la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Exemple
Dans une classe de 30 élèves, 18 étudient l'anglais (événement $A$) et 12 étudient l'espagnol (événement $E$). Parmi les élèves qui étudient l'anglais, 10 étudient également l'espagnol. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Quelle est la probabilité qu'un élève étudie l'espagnol sachant qu'il étudie l'anglais ?

Corrigé pas à pas
Soient les événements :
• $A$ : « L'élève étudie l'anglais ».
• $E$ : « L'élève étudie l'espagnol ».

Nous avons les informations suivantes :
• Nombre total d'élèves : 30.
• Nombre d'élèves étudiant l'anglais : 18, donc $P(A) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0,6$.
• Nombre d'élèves étudiant l'anglais ET l'espagnol : 10. Cela correspond à l'événement $A \cap E$. Donc $P(A \cap E) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

Nous cherchons la probabilité qu'un élève étudie l'espagnol sachant qu'il étudie l'anglais, c'est-à-dire $P_A(E)$.

En utilisant la formule des probabilités conditionnelles :
$P_A(E) = \frac{P(A \cap E)}{P(A)}$
$P_A(E) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{9}$.

La probabilité qu'un élève étudie l'espagnol sachant qu'il étudie l'anglais est de $\frac{5}{9}$.

Erreurs fréquentes
Confondre $P_A(B)$ (probabilité de $B$ sachant $A$) avec $P_B(A)$ (probabilité de $A$ sachant $B$) ou avec $P(A \cap B)$ (probabilité que $A$ et $B$ se réalisent simultanément). Ces trois probabilités sont distinctes et ne sont égales que dans des cas très spécifiques.
Oublier la condition $P(A) > 0$. Si l'événement conditionnant a une probabilité nulle, la formule n'est pas applicable.
Erreur dans l'identification de l'événement conditionnant et de l'événement dont on cherche la probabilité.

Indépendance d'événements

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre. Mathématiquement, cela se traduit par l'une des conditions équivalentes suivantes (sous réserve que les probabilités des événements conditionnants soient non nulles) :
1. $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
2. $P_A(B) = P(B)$ (si $P(A) > 0$)
3. $P_B(A) = P(A)$ (si $P(B) > 0$)

Il est crucial de ne pas confondre l'indépendance avec l'incompatibilité (événements disjoints). Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$, ce qui implique $P(A \cap B) = 0$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles et de probabilités non nulles, ils ne peuvent pas être indépendants car $P(A) \times P(B) \neq 0$.

Méthode
Calculer la probabilité de l'événement $A$, $P(A)$.
Calculer la probabilité de l'événement $B$, $P(B)$.
Calculer la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$.
Comparer la valeur de $P(A \cap B)$ avec le produit $P(A) \times P(B)$.
Si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, alors les événements $A$ et $B$ sont indépendants. Sinon, ils ne le sont pas.

Exemple
On lance un dé équilibré à six faces. Soit $A$ l'événement « obtenir un nombre pair » et $B$ l'événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Corrigé pas à pas
L'univers des possibles est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

1. Détermination des probabilités :
• Événement $A$ : « obtenir un nombre pair » = $\{2, 4, 6\}$. Donc $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• Événement $B$ : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 » = $\{3, 4, 5, 6\}$. Donc $P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
• Événement $A \cap B$ : « obtenir un nombre pair ET supérieur ou égal à 3 » = $\{4, 6\}$. Donc $P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2. Vérification de l'indépendance :
Calculons le produit $P(A) \times P(B)$ :
$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

3. Comparaison :
Nous constatons que $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$ et $P(A) \times P(B) = \frac{1}{3}$.
Puisque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Erreurs fréquentes
Confondre indépendance et incompatibilité. Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps ($P(A \cap B) = 0$), alors que des événements indépendants peuvent se produire en même temps.
Supposer l'indépendance sans la vérifier par le calcul, surtout dans des situations où l'intuition peut être trompeuse.

Variables aléatoires discrètes : loi de probabilité, espérance et variance

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire discrète est une variable aléatoire qui ne peut prendre qu'un nombre fini ou un nombre dénombrable de valeurs.

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète $X$ est la donnée de l'ensemble des valeurs $x_i$ que $X$ peut prendre et de la probabilité $P(X=x_i)$ associée à chacune de ces valeurs. La somme de toutes ces probabilités doit être égale à 1 : $\sum P(X=x_i) = 1$.

L'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire discrète $X$ représente la valeur moyenne que l'on peut s'attendre à obtenir si l'expérience est répétée un grand nombre de fois. Elle est calculée par : $$E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$$
La variance $V(X)$ mesure la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance. Elle est calculée par : $$V(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 P(X=x_i)$$ Une formule de calcul plus pratique est souvent utilisée : $$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$ où $E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 P(X=x_i)$.

L'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance : $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$ Il s'exprime dans la même unité que la variable aléatoire, ce qui le rend plus interprétable que la variance.

Méthode
Déterminer toutes les valeurs possibles $x_i$ que la variable aléatoire $X$ peut prendre.
Pour chaque valeur $x_i$, calculer la probabilité $P(X=x_i)$ que la variable aléatoire prenne cette valeur. Il est souvent utile de s'appuyer sur des outils comme les arbres de probabilité ou les tableaux pour recenser toutes les issues et leurs probabilités.
Vérifier que la somme de toutes les probabilités $P(X=x_i)$ est égale à 1.
Présenter la loi de probabilité sous forme de tableau.
Pour calculer l'espérance $E(X)$, appliquer la formule $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.
Pour calculer la variance $V(X)$, calculer d'abord $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$, puis appliquer la formule $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. Alternativement, utiliser $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 P(X=x_i)$.
Pour calculer l'écart-type $\sigma(X)$, prendre la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Exemple
Un joueur lance un dé équilibré à six faces. S'il obtient un 6, il gagne 10 euros. S'il obtient un 1 ou un 2, il perd 5 euros. S'il obtient 3, 4 ou 5, il ne gagne ni ne perd rien. Soit $X$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de $X$, son espérance et sa variance.

Corrigé pas à pas
1. Valeurs possibles de $X$ et leurs probabilités :
• Si le joueur obtient un 6 : $X = 10$ euros. La probabilité est $P(X=10) = \frac{1}{6}$.
• Si le joueur obtient un 1 ou un 2 : $X = -5$ euros. La probabilité est $P(X=-5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
• Si le joueur obtient 3, 4 ou 5 : $X = 0$ euro. La probabilité est $P(X=0) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Vérification : $\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1$. La somme des probabilités est bien 1.

2. Loi de probabilité de $X$ :

| $x_i$ | -5 | 0 | 10 |
| :---- | :- | :- | :-- |
| $P(X=x_i)$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ |

3. Espérance $E(X)$ :
$E(X) = (-5) \times \frac{1}{3} + (0) \times \frac{1}{2} + (10) \times \frac{1}{6}$
$E(X) = -\frac{5}{3} + 0 + \frac{10}{6}$
$E(X) = -\frac{5}{3} + \frac{5}{3} = 0$.
L'espérance de gain est de 0 euro. Le jeu est équitable.

4. Variance $V(X)$ :
Calculons d'abord $E(X^2)$ :
$E(X^2) = (-5)^2 \times \frac{1}{3} + (0)^2 \times \frac{1}{2} + (10)^2 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = 25 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{1}{2} + 100 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = \frac{25}{3} + \frac{100}{6} = \frac{25}{3} + \frac{50}{3} = \frac{75}{3} = 25$.

Maintenant, calculons $V(X)$ :
$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$
$V(X) = 25 - (0)^2 = 25$.

5. Écart-type $\sigma(X)$ :
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{25} = 5$.

L'espérance du gain est de 0 euro, et l'écart-type est de 5 euros.

Erreurs fréquentes
Oublier que la somme des probabilités de la loi doit être égale à 1. C'est une vérification essentielle.
Erreurs de calcul dans l'espérance ou la variance, notamment en oubliant de mettre les valeurs $x_i$ au carré pour $E(X^2)$.
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$. Ce sont deux quantités distinctes, et leur différence est la variance.

Calculer une probabilité conditionnelle

1. Identifier les événements : Définissez clairement les événements $A$ et $B$ impliqués dans la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ (probabilité de $B$ sachant $A$).
2. Vérifier la condition : Assurez-vous que la probabilité de l'événement conditionnant $A$ est non nulle ($P(A) > 0$).
3. Calculer la probabilité de l'intersection : Déterminez $P(A \cap B)$, la probabilité que les deux événements $A$ et $B$ se réalisent simultanément.
4. Calculer la probabilité de l'événement conditionnant : Déterminez $P(A)$.
5. Appliquer la formule : Utilisez la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ pour obtenir le résultat.
6. Interpréter le résultat : Exprimez le résultat dans le contexte du problème.

Exemple
Dans une population, 20% des individus sont fumeurs (F). Parmi les fumeurs, 60% développent une maladie pulmonaire (M). Dans la population générale, 15% des individus développent cette maladie. Quelle est la probabilité qu'un individu soit fumeur sachant qu'il a développé la maladie pulmonaire ?

Corrigé pas à pas
1. Identifier les événements :
• $F$ : « L'individu est fumeur ».
• $M$ : « L'individu développe une maladie pulmonaire ».
Nous cherchons $P_M(F)$.

2. Données :
• $P(F) = 0,20$.
• $P_F(M) = 0,60$ (60% des fumeurs développent la maladie).
• $P(M) = 0,15$ (15% de la population générale développe la maladie).

3. Vérifier la condition : $P(M) = 0,15 > 0$. La formule est applicable.

4. Calculer $P(F \cap M)$ :
Nous savons que $P_F(M) = \frac{P(F \cap M)}{P(F)}$.
Donc $P(F \cap M) = P(F) \times P_F(M) = 0,20 \times 0,60 = 0,12$.

5. Calculer $P_M(F)$ :
$P_M(F) = \frac{P(F \cap M)}{P(M)} = \frac{0,12}{0,15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8$.

6. Interprétation : La probabilité qu'un individu soit fumeur sachant qu'il a développé la maladie pulmonaire est de 0,8 (ou 80%).

Construire et utiliser un arbre pondéré

1. Définir les événements : Identifiez les événements successifs et leurs complémentaires. Par exemple, pour une expérience en deux étapes, définissez les événements de la première étape ($A$, $A'$) et ceux de la deuxième étape ($B$, $B'$).
2. Tracer l'arbre : Dessinez les branches correspondant aux différentes issues de l'expérience. Le premier niveau de branches représente la première étape, le second niveau la deuxième étape, et ainsi de suite.
3. Affecter les probabilités :
   • Sur les branches du premier niveau, inscrivez les probabilités simples des événements ($P(A)$, $P(A')$).
   • Sur les branches des niveaux suivants, inscrivez les probabilités conditionnelles ($P_A(B)$, $P_A(B')$, $P_{A'}(B)$, $P_{A'}(B')$).
4. Calculer les probabilités des chemins : La probabilité d'un chemin (c'est-à-dire la probabilité de l'intersection des événements le long de ce chemin) est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin. Par exemple, $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
5. Utiliser la formule des probabilités totales (si nécessaire) : Si vous cherchez la probabilité d'un événement $B$ qui peut se réaliser par plusieurs chemins, additionnez les probabilités de ces chemins. Par exemple, $P(B) = P(A \cap B) + P(A' \cap B)$.
6. Utiliser la formule de Bayes (si nécessaire) : Pour calculer une probabilité conditionnelle « inversée » comme $P_B(A)$, utilisez $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, où $P(B)$ est calculée par la formule des probabilités totales.

Exemple
Une usine fabrique des pièces. 70% des pièces sont produites par la machine M1 (événement $M_1$) et 30% par la machine M2 (événement $M_2$). La machine M1 produit 5% de pièces défectueuses (D), tandis que la machine M2 produit 10% de pièces défectueuses. On choisit une pièce au hasard. Quelle est la probabilité que cette pièce soit défectueuse ?

Corrigé pas à pas
1. Définir les événements :
• $M_1$ : « La pièce provient de la machine M1 ».
• $M_2$ : « La pièce provient de la machine M2 ».
• $D$ : « La pièce est défectueuse ».
• $D'$ : « La pièce n'est pas défectueuse ».

2. Tracer et pondérer l'arbre :
• Premier niveau (choix de la machine) :
• Branche vers $M_1$ : $P(M_1) = 0,7$.
• Branche vers $M_2$ : $P(M_2) = 0,3$.
• Deuxième niveau (état de la pièce, sachant la machine) :
• De $M_1$ vers $D$ : $P_{M_1}(D) = 0,05$.
• De $M_1$ vers $D'$ : $P_{M_1}(D') = 1 - 0,05 = 0,95$.
• De $M_2$ vers $D$ : $P_{M_2}(D) = 0,10$.
• De $M_2$ vers $D'$ : $P_{M_2}(D') = 1 - 0,10 = 0,90$.

(L'arbre serait similaire à celui de la figure ci-dessus, avec $A=M_1$, $A'=M_2$, $B=D$, $B'=D'$ et les probabilités correspondantes.)

3. Calculer les probabilités des chemins menant à $D$ :
• Chemin $M_1 \cap D$ : $P(M_1 \cap D) = P(M_1) \times P_{M_1}(D) = 0,7 \times 0,05 = 0,035$.
• Chemin $M_2 \cap D$ : $P(M_2 \cap D) = P(M_2) \times P_{M_2}(D) = 0,3 \times 0,10 = 0,030$.

4. Utiliser la formule des probabilités totales :
L'événement $D$ peut se réaliser si la pièce vient de M1 et est défectueuse, OU si elle vient de M2 et est défectueuse. Les événements $M_1$ et $M_2$ forment un système complet d'événements.
$P(D) = P(M_1 \cap D) + P(M_2 \cap D)$
$P(D) = 0,035 + 0,030 = 0,065$.

La probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse est de 0,065 (ou 6,5%).

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire et calculer ses caractéristiques

1. Identifier l'univers des possibles : Listez toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire.
2. Définir la variable aléatoire : Déterminez les valeurs numériques $x_i$ que la variable aléatoire $X$ peut prendre pour chaque issue.
3. Calculer les probabilités : Pour chaque valeur $x_i$, calculez la probabilité $P(X=x_i)$ que $X$ prenne cette valeur. Cela peut nécessiter des dénombrements, des arbres de probabilité ou l'application de formules de probabilité.
4. Vérifier la somme des probabilités : Assurez-vous que la somme de toutes les $P(X=x_i)$ est égale à 1.
5. Présenter la loi de probabilité : Organisez les valeurs $x_i$ et leurs probabilités $P(X=x_i)$ dans un tableau.
6. Calculer l'espérance $E(X)$ : Appliquez la formule $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.
7. Calculer la variance $V(X)$ : Deux méthodes sont possibles :
   • Méthode 1 (définition) : $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 P(X=x_i)$.
   • Méthode 2 (formule de Koenig-Huygens) : Calculez d'abord $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$, puis $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. La deuxième méthode est souvent plus rapide.
8. Calculer l'écart-type $\sigma(X)$ : Prenez la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Exemple
Une boîte contient 3 jetons rouges (R) et 2 jetons bleus (B). On tire successivement et sans remise 2 jetons. On gagne 2 euros pour chaque jeton rouge tiré et on perd 1 euro pour chaque jeton bleu tiré. Soit $G$ la variable aléatoire représentant le gain total. Déterminer la loi de probabilité de $G$, son espérance et son écart-type.

Corrigé pas à pas
1. Univers des possibles et gain $G$ :
Il y a 5 jetons au total. On tire 2 jetons sans remise.
Les issues possibles et les gains associés sont :
• (R1, R2) : 2 jetons rouges. Gain $G = 2+2=4$ euros.
• (R, B) : 1 jeton rouge, 1 jeton bleu. Gain $G = 2-1=1$ euro.
• (B, R) : 1 jeton bleu, 1 jeton rouge. Gain $G = -1+2=1$ euro.
• (B1, B2) : 2 jetons bleus. Gain $G = -1-1=-2$ euros.

2. Calcul des probabilités :
• $P(G=4)$ (tirer 2 rouges) : $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P_{R_1}(R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
• $P(G=1)$ (tirer 1 rouge et 1 bleu) : $P(R_1 \cap B_2) + P(B_1 \cap R_2) = (\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}) + (\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
• $P(G=-2)$ (tirer 2 bleus) : $P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P_{B_1}(B_2) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

Vérification : $\frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

3. Loi de probabilité de $G$ :

| $g_i$ | -2 | 1 | 4 |
| :---- | :- | :- | :-- |
| $P(G=g_i)$ | $\frac{1}{10}$ | $\frac{6}{10}$ | $\frac{3}{10}$ |

4. Espérance $E(G)$ :
$E(G) = (-2) \times \frac{1}{10} + (1) \times \frac{6}{10} + (4) \times \frac{3}{10}$
$E(G) = -\frac{2}{10} + \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{16}{10} = 1,6$.
Le gain moyen attendu est de 1,6 euros.

5. Variance $V(G)$ :
Calculons $E(G^2)$ :
$E(G^2) = (-2)^2 \times \frac{1}{10} + (1)^2 \times \frac{6}{10} + (4)^2 \times \frac{3}{10}$
$E(G^2) = 4 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 16 \times \frac{3}{10}$
$E(G^2) = \frac{4}{10} + \frac{6}{10} + \frac{48}{10} = \frac{58}{10} = 5,8$.

$V(G) = E(G^2) - (E(G))^2 = 5,8 - (1,6)^2 = 5,8 - 2,56 = 3,24$.

6. Écart-type $\sigma(G)$ :
$\sigma(G) = \sqrt{V(G)} = \sqrt{3,24} = 1,8$.

L'espérance du gain est de 1,6 euros et l'écart-type est de 1,8 euros.

Probabilités conditionnelles

• Probabilité de $B$ sachant $A$ (avec $P(A) > 0$) : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
• Formule des probabilités composées : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
• Formule des probabilités totales (pour un système complet d'événements $A_1, A_2, ..., A_n$) : $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i \cap B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$

Indépendance d'événements

• Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
• Équivalences (si $P(A)>0$ ou $P(B)>0$) : $P_A(B) = P(B)$ ou $P_B(A) = P(A)$

Variables aléatoires discrètes

• Loi de probabilité : Ensemble des valeurs $x_i$ prises par $X$ et leurs probabilités $P(X=x_i)$ (avec $\sum P(X=x_i) = 1$)
• Espérance : $E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$
• Variance : $V(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 P(X=x_i)$ ou $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ (où $E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 P(X=x_i)$)
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$