Statistiques et probabilités : indicateurs d'une série et calcul de probabilités

Statistiques : résumer une série par des indicateurs

Une série statistique quantitative associe à chaque valeur $x_i$ un effectif $n_i$ (le nombre de fois où cette valeur apparaît). L'effectif total est noté $N = \sum n_i$. On résume une telle série par des indicateurs de position (qui donnent une valeur centrale ou de repère : moyenne, médiane, quartiles) et par des indicateurs de dispersion (qui mesurent l'étalement des valeurs autour du centre : étendue, écart interquartile, variance, écart-type).

Méthode
Ordonner les valeurs de la série par ordre croissant et construire le tableau des effectifs cumulés croissants.
Calculer la moyenne $\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$, en pondérant chaque valeur par son effectif.
Déterminer la médiane Me : la valeur qui partage la série ordonnée (effectifs cumulés) en deux parties de même effectif.
Déterminer le premier quartile $Q_1$ (au moins 25% des valeurs lui sont inférieures ou égales) et le troisième quartile $Q_3$ (au moins 75%).
Calculer l'écart interquartile $Q_3-Q_1$ et l'étendue (maximum moins minimum) : ce sont des mesures de dispersion.
Calculer la variance $V=\dfrac{\sum n_i (x_i-\bar{x})^2}{N}$ puis l'écart-type $\sigma=\sqrt{V}$, qui mesure la dispersion dans l'unité de la série.

Exemple
Lors d'une évaluation, une classe de 20 élèves a obtenu les notes suivantes (sur 20) : la note 8 a été obtenue par 2 élèves, la note 10 par 3 élèves, la note 12 par 5 élèves, la note 14 par 6 élèves, la note 16 par 3 élèves et la note 18 par 1 élève. Calculer la moyenne, la médiane, les quartiles $Q_1$ et $Q_3$, l'écart interquartile, la variance et l'écart-type de cette série.

Corrigé pas à pas
L'effectif total est $N=2+3+5+6+3+1=20$.

Moyenne : $\bar{x}=\dfrac{8\times2+10\times3+12\times5+14\times6+16\times3+18\times1}{20}=\dfrac{16+30+60+84+48+18}{20}=\dfrac{256}{20}=12{,}8$.

Médiane : on construit les effectifs cumulés croissants : jusqu'à 8 → 2 ; jusqu'à 10 → 5 ; jusqu'à 12 → 10 ; jusqu'à 14 → 16 ; jusqu'à 16 → 19 ; jusqu'à 18 → 20. Comme $N=20$ est pair, la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs 10 et 11. Le rang 10 correspond à la note 12 (effectif cumulé atteignant 10 avec la note 12), le rang 11 correspond à la note 14. Donc $Me=\dfrac{12+14}{2}=13$.

Quartile $Q_1$ : rang $=\lceil 20\times0{,}25\rceil=5$. Le rang 5 correspond, dans les effectifs cumulés, à la note 10. Donc $Q_1=10$.

Quartile $Q_3$ : rang $=\lceil 20\times0{,}75\rceil=15$. Le rang 15 correspond à la note 14. Donc $Q_3=14$.

Écart interquartile : $Q_3-Q_1=14-10=4$ : les 50% de notes centrales s'étalent sur 4 points.

Variance : $V=\dfrac{2(8-12{,}8)^2+3(10-12{,}8)^2+5(12-12{,}8)^2+6(14-12{,}8)^2+3(16-12{,}8)^2+1(18-12{,}8)^2}{20}=\dfrac{46{,}08+23{,}52+3{,}2+8{,}64+30{,}72+27{,}04}{20}=\dfrac{139{,}2}{20}=6{,}96$.

Écart-type : $\sigma=\sqrt{6{,}96}\approx2{,}64$.

Erreurs fréquentes
Confondre l'effectif total N (ici 20 élèves) et le nombre de valeurs distinctes (ici 6 notes différentes) lorsqu'on cherche le rang de la médiane ou des quartiles.
Oublier de pondérer chaque valeur par son effectif dans le calcul de la moyenne (faire une simple moyenne des valeurs distinctes).
Chercher la médiane ou les quartiles sans avoir d'abord ordonné les valeurs et cumulé les effectifs.
Confondre la variance et l'écart-type : l'écart-type est la racine carrée de la variance et s'exprime dans la même unité que la série, contrairement à la variance.

Probabilités : vocabulaire et calcul dans le cas d'équiprobabilité

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat, mais dont on connaît l'ensemble des résultats possibles, appelé univers, noté $\Omega$. Chaque résultat possible est une issue. Un événement est une partie (un sous-ensemble) de $\Omega$ ; un événement ne contenant qu'une seule issue est dit élémentaire. L'événement contraire d'un événement $A$, noté $\bar{A}$, regroupe toutes les issues de $\Omega$ qui n'appartiennent pas à $A$. Lorsque toutes les issues ont la même probabilité (situation d'équiprobabilité), la probabilité d'un événement $A$ vaut $P(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$, c'est-à-dire le nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues.

Méthode
Décrire précisément l'expérience aléatoire et lister toutes les issues possibles pour obtenir l'univers Ω.
Vérifier si l'on est dans une situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même chance de se produire).
Définir chaque événement étudié comme un sous-ensemble de Ω (lister ses issues favorables).
Pour la réunion « A ou B », utiliser $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, où $A\cap B$ est l'événement « A et B ».
Si $A\cap B=\emptyset$ (les événements sont incompatibles, ils ne peuvent pas se produire en même temps), alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
Pour l'événement contraire, utiliser $P(\bar{A})=1-P(A)$.

Exemple
On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note A l'événement « obtenir un nombre pair » et B l'événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ». Calculer $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$, $P(A\cup B)$ et $P(\bar{A})$.

Corrigé pas à pas
L'univers est $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, avec $\text{card}(\Omega)=6$, et le dé étant équilibré, on est en situation d'équiprobabilité.

$A=\{2,4,6\}$ donc $P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

$B=\{4,5,6\}$ donc $P(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

$A\cap B=\{4,6\}$ donc $P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$. On peut vérifier directement : $A\cup B=\{2,4,5,6\}$, donc $P(A\cup B)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$, ce qui confirme le calcul.

$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ (on retrouve bien $\bar{A}=\{1,3,5\}$, de cardinal 3).

Erreurs fréquentes
Confondre la réunion (« A ou B », au moins un des deux événements se réalise) avec l'intersection (« A et B », les deux se réalisent en même temps).
Oublier de soustraire $P(A\cap B)$ dans la formule de la réunion, ce qui revient à compter deux fois les issues communes à A et B.
Appliquer la formule des événements incompatibles ($P(A\cup B)=P(A)+P(B)$) alors que A et B ont des issues communes.
Confondre le nombre d'issues favorables avec la probabilité elle-même : il faut toujours diviser par le cardinal de l'univers.

Déterminer la médiane et les quartiles d'une série statistique

1. Ordonner toutes les valeurs de la série par ordre croissant (en tenant compte des effectifs) et noter l'effectif total N.
2. Pour la médiane : si N est impair, c'est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ ; si N est pair, c'est la demi-somme des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$.
3. Pour $Q_1$ : calculer le rang $\lceil 0{,}25\times N\rceil$ (arrondi à l'entier supérieur) et prendre la valeur de ce rang dans la série ordonnée.
4. Pour $Q_3$ : calculer le rang $\lceil 0{,}75\times N\rceil$ et prendre la valeur de ce rang.
5. Vérifier la cohérence obtenue : on doit toujours avoir $Q_1\leqslant Me\leqslant Q_3$.

Exemple
Une série de 9 valeurs, déjà ordonnées, est : 12, 14, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22. Déterminer la médiane, $Q_1$ et $Q_3$ de cette série.

Corrigé pas à pas
L'effectif total est $N=9$ (impair).

Médiane : rang $=\dfrac{9+1}{2}=5$. La 5ᵉ valeur de la série ordonnée est 16, donc $Me=16$.

$Q_1$ : rang $=\lceil 0{,}25\times9\rceil=\lceil2{,}25\rceil=3$. La 3ᵉ valeur est 14, donc $Q_1=14$.

$Q_3$ : rang $=\lceil 0{,}75\times9\rceil=\lceil6{,}75\rceil=7$. La 7ᵉ valeur est 19, donc $Q_3=19$.

On vérifie bien $Q_1=14\leqslant Me=16\leqslant Q_3=19$.

Calculer la probabilité d'une réunion d'événements

1. Décrire l'univers Ω de l'expérience et vérifier que l'on est en situation d'équiprobabilité.
2. Lister les issues de chacun des événements A et B, puis calculer $P(A)$ et $P(B)$ séparément.
3. Déterminer les issues communes à A et B (l'intersection $A\cap B$) et calculer $P(A\cap B)$ (nul si les événements sont incompatibles).
4. Appliquer la formule $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
5. Vérifier le résultat, si possible, en listant directement les issues de $A\cup B$.

Exemple
On lance un dé équilibré à 6 faces. On note A l'événement « obtenir un multiple de 3 » et B l'événement « obtenir un nombre pair ». Calculer $P(A\cup B)$.

Corrigé pas à pas
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, équiprobabilité. $A=\{3,6\}$ donc $P(A)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$. $B=\{2,4,6\}$ donc $P(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$. $A\cap B=\{6\}$ donc $P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$. Ainsi $P(A\cup B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.

Statistiques : indicateurs clés

• Moyenne : $\bar{x}=\dfrac{\sum n_i x_i}{N}$, avec N l'effectif total.
• Médiane Me : valeur qui partage la série ordonnée en deux effectifs égaux.
• Quartiles $Q_1$ et $Q_3$ : valeurs séparant respectivement environ 25% et 75% des données les plus faibles.
• Écart interquartile : $Q_3-Q_1$, mesure la dispersion des 50% de valeurs centrales.
• Étendue : valeur maximale moins valeur minimale de la série.
• Variance et écart-type : $V=\dfrac{\sum n_i (x_i-\bar{x})^2}{N}$ et $\sigma=\sqrt{V}$.

Probabilités : vocabulaire et formules

• Univers Ω : ensemble des issues possibles d'une expérience aléatoire ; un événement est un sous-ensemble de Ω.
• En situation d'équiprobabilité : $P(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
• Événement contraire : $P(\bar{A})=1-P(A)$.
• Réunion et intersection : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
• Événements incompatibles ($A\cap B=\emptyset$) : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.