Nombres et calculs : ensembles, intervalles, calcul littéral

Les ensembles de nombres

En mathématiques, les nombres sont classés en différents ensembles, chacun possédant des propriétés spécifiques. La compréhension de ces ensembles est fondamentale pour manipuler correctement les nombres et résoudre des problèmes.

Méthode
Identifier la nature d'un nombre (entier, décimal, rationnel, réel).
Déterminer à quel(s) ensemble(s) un nombre appartient, en se basant sur les définitions et les inclusions d'ensembles.

Exemple
Classer les nombres suivants dans le plus petit ensemble de nombres auquel ils appartiennent : $5$; $-3$; $0,75$; $\frac{1}{3}$; $\sqrt{2}$; $\pi$; $10^{-2}$.

Corrigé pas à pas
1. $5$ est un entier naturel. Il appartient à $\mathbb{N}$.
2. $-3$ est un entier relatif. Il appartient à $\mathbb{Z}$ (mais pas à $\mathbb{N}$).
3. $0,75 = \frac{3}{4} = \frac{75}{100}$ est un nombre décimal. Il appartient à $\mathbb{D}$.
4. $\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel ($1 \div 3 = 0,333...$ n'est pas décimal). Il appartient à $\mathbb{Q}$.
5. $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel (sa partie décimale est infinie et non périodique). Il appartient à $\mathbb{R}$.
6. $\pi$ est un nombre irrationnel. Il appartient à $\mathbb{R}$.
7. $10^{-2} = 0,01$ est un nombre décimal. Il appartient à $\mathbb{D}$.

Erreurs fréquentes
Confondre les nombres décimaux et les nombres rationnels : un nombre décimal est toujours rationnel, mais un nombre rationnel n'est pas toujours décimal (ex : $1/3$).
Oublier que l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ inclut le zéro.
Penser qu'un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme de fraction, ce qui est correct, mais oublier qu'il est toujours un nombre réel.

Les intervalles de nombres réels

Un intervalle est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ qui représente un segment, une demi-droite ou la droite réelle entière. Il est défini par ses bornes et l'inclusion ou l'exclusion de ces bornes.

Méthode
Comprendre la notation des crochets : un crochet tourné vers l'intérieur $[$ ou $]$ signifie que la borne est incluse dans l'intervalle (on parle d'intervalle fermé). Un crochet tourné vers l'extérieur $]$ ou $[$ signifie que la borne est exclue (on parle d'intervalle ouvert).
Représenter l'intervalle sur une droite numérique pour visualiser les nombres qu'il contient.
Pour les opérations sur les intervalles (intersection $\cap$ et union $\cup$), visualiser les intervalles sur une droite numérique aide à déterminer le résultat.

Exemple
Soient les intervalles $I = [-3, 5[$ et $J = [2, 7]$. Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$.

Corrigé pas à pas
1. Représentation graphique :
Sur une droite numérique, $I$ s'étend de $-3$ (inclus) à $5$ (exclu). $J$ s'étend de $2$ (inclus) à $7$ (inclus).

2. Intersection $I \cap J$ :
L'intersection représente les nombres qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$. Sur la droite numérique, c'est la partie où les deux intervalles se chevauchent.
Les nombres communs commencent à $2$ (inclus, car $2 \in I$ et $2 \in J$) et se terminent juste avant $5$ (exclu, car $5 \notin I$).
Donc, $I \cap J = [2, 5[$.

3. Union $I \cup J$ :
L'union représente tous les nombres qui appartiennent à $I$ ou à $J$ (ou aux deux). Sur la droite numérique, c'est l'ensemble de toutes les parties couvertes par au moins un des intervalles.
Les nombres de l'union commencent à la borne inférieure de $I$, soit $-3$ (inclus), et se terminent à la borne supérieure de $J$, soit $7$ (inclus).
Donc, $I \cup J = [-3, 7]$.

Erreurs fréquentes
Inverser le sens des crochets, ce qui change l'inclusion ou l'exclusion des bornes.
Confondre l'intersection (éléments communs) et l'union (tous les éléments combinés) d'intervalles.
Ne pas correctement gérer les bornes infinies (toujours exclues, donc avec des crochets ouverts $]$ ou $[$).

Le calcul littéral

Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions mathématiques contenant des lettres (variables) en plus des nombres. Il permet de généraliser des propriétés, de résoudre des équations et de modéliser des situations. Les opérations fondamentales sont le développement et la factorisation.

Méthode
Développement : Transformer un produit en une somme. Utiliser la distributivité simple ($k(a+b) = ka+kb$), la distributivité double ($(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$) ou les identités remarquables.
Factorisation : Transformer une somme en un produit. Rechercher un facteur commun ou reconnaître une identité remarquable.
Simplification : Réduire une expression en regroupant les termes de même nature (ex : $3x^2 + 2x - x^2 = 2x^2 + 2x$).
Substitution : Remplacer les variables par des valeurs numériques pour évaluer l'expression.

Exemple
Développer et réduire l'expression $A = (2x-3)^2 - (x+1)(x-1)$.

Corrigé pas à pas
Pour développer et réduire l'expression $A$, nous allons appliquer les identités remarquables et la double distributivité.

1. Développement de $(2x-3)^2$ :
C'est une identité remarquable de la forme $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, avec $a=2x$ et $b=3$.
$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$.

2. Développement de $(x+1)(x-1)$ :
C'est une identité remarquable de la forme $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, avec $a=x$ et $b=1$.
$(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

3. Substitution et réduction :
Maintenant, nous substituons ces résultats dans l'expression originale $A$, en faisant attention au signe moins devant la deuxième partie :
$A = (4x^2 - 12x + 9) - (x^2 - 1)$
$A = 4x^2 - 12x + 9 - x^2 + 1$
$A = (4x^2 - x^2) - 12x + (9 + 1)$
$A = 3x^2 - 12x + 10$.

L'expression développée et réduite est $A = 3x^2 - 12x + 10$.

Erreurs fréquentes
Oublier de changer les signes lors de la suppression de parenthèses précédées d'un signe moins (ex : $-(x^2-1) = -x^2+1$, non $-x^2-1$).
Ne pas appliquer correctement les identités remarquables, notamment le double produit dans $(a+b)^2$ ou $(a-b)^2$.
Confondre développement et factorisation.
Faire des erreurs de calcul avec les signes ou les puissances.

Développer une expression algébrique

1. Identifier le type de produit : simple distributivité, double distributivité ou identité remarquable.
2. Appliquer la règle de développement correspondante :
3. - Distributivité simple : $k(a+b) = ka+kb$.
4. - Distributivité double : $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$.
5. - Identités remarquables : $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$; $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$; $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
6. Développer chaque terme du produit.
7. Réduire l'expression en regroupant les termes de même nature (termes en $x^2$, termes en $x$, termes constants).

Exemple
Développer et réduire l'expression $E = (3x+2)(x-4)$.

Corrigé pas à pas
1. Identifier le type de produit : Il s'agit d'une double distributivité de la forme $(a+b)(c+d)$.
2. Appliquer la règle : $(3x+2)(x-4) = (3x)(x) + (3x)(-4) + (2)(x) + (2)(-4)$.
3. Développer chaque terme : $3x^2 - 12x + 2x - 8$.
4. Réduire l'expression : Regrouper les termes en $x$ :
$3x^2 + (-12x + 2x) - 8 = 3x^2 - 10x - 8$.
L'expression développée et réduite est $E = 3x^2 - 10x - 8$.

Factoriser une expression algébrique

1. Rechercher un facteur commun : identifier un terme (nombre, variable ou expression entre parenthèses) présent dans tous les termes de la somme.
2. Si un facteur commun est trouvé, le mettre en évidence et écrire l'expression restante entre parenthèses.
3. Si aucun facteur commun n'est évident, rechercher une identité remarquable de la forme $a^2+2ab+b^2$, $a^2-2ab+b^2$ ou $a^2-b^2$.
4. Appliquer la formule de factorisation de l'identité remarquable correspondante : $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ ou $(a-b)(a+b)$.
5. Simplifier l'expression factorisée si possible.

Exemple
Factoriser l'expression $F = 9x^2 - 25$.

Corrigé pas à pas
1. Rechercher un facteur commun : Il n'y a pas de facteur commun évident entre $9x^2$ et $-25$.
2. Rechercher une identité remarquable : L'expression est de la forme $a^2 - b^2$.
On reconnaît que $9x^2 = (3x)^2$ et $25 = 5^2$.
Donc, $a = 3x$ et $b = 5$.
3. Appliquer la formule : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$F = (3x-5)(3x+5)$.
L'expression factorisée est $F = (3x-5)(3x+5)$.

Déterminer l'intersection et l'union d'intervalles

1. Représenter chaque intervalle sur une droite numérique. Utiliser des crochets ouverts/fermés et des hachures pour visualiser les nombres inclus.
2. Pour l'intersection ($\cap$) : Identifier la portion de la droite numérique où les hachures de tous les intervalles se superposent. Les bornes de cette portion sont les bornes de l'intervalle d'intersection. Les crochets dépendent de l'inclusion des bornes dans tous les intervalles d'origine.
3. Pour l'union ($\cup$) : Identifier l'ensemble de toutes les portions de la droite numérique couvertes par au moins un des intervalles. Les bornes de cet ensemble sont les bornes extrêmes des intervalles. Les crochets dépendent de l'inclusion des bornes dans au moins un des intervalles d'origine. L'union peut parfois être un seul intervalle, ou une réunion de plusieurs intervalles disjoints.

Exemple
Soient $I = ]-1, 4]$ et $K = [4, 6[$. Déterminer $I \cap K$ et $I \cup K$.

Corrigé pas à pas
1. Représentation graphique :
$I$ : de $-1$ (exclu) à $4$ (inclus).
$K$ : de $4$ (inclus) à $6$ (exclu).

2. Intersection $I \cap K$ :
Les nombres qui appartiennent à la fois à $I$ et à $K$ sont uniquement ceux qui sont égaux à $4$. En effet, $4 \in I$ et $4 \in K$.
Donc, $I \cap K = \{4\}$ (c'est un singleton, un ensemble contenant un seul élément, pas un intervalle).

3. Union $I \cup K$ :
L'union regroupe tous les nombres de $I$ et tous les nombres de $K$. L'ensemble commence à $-1$ (exclu, car $-1 \notin I$) et se termine à $6$ (exclu, car $6 \notin K$). Puisque $4$ est inclus dans les deux, il n'y a pas de 'trou' entre les intervalles.
Donc, $I \cup K = ]-1, 6[$.

Ensembles de nombres

• $\mathbb{N}$ (Naturels) : $\{0, 1, 2, 3, ...\}$
• $\mathbb{Z}$ (Relatifs) : $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$
• $\mathbb{D}$ (Décimaux) : Nombres de la forme $\frac{a}{10^n}$ où $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$.
• $\mathbb{Q}$ (Rationnels) : Nombres de la forme $\frac{a}{b}$ où $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$.
• $\mathbb{R}$ (Réels) : Tous les nombres de la droite numérique (inclut les irrationnels comme $\sqrt{2}$ et $\pi$).
• Inclusions : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Notations des intervalles

• $[a, b]$ : $a \le x \le b$ (fermé)
• $]a, b[$ : $a < x < b$ (ouvert)
• $[a, b[$ : $a \le x < b$ (semi-ouvert)
• $]a, b]$ : $a < x \le b$ (semi-ouvert)
• $[a, +\infty[$ : $x \ge a$
• $]-\infty, b]$ : $x \le b$
• $]-\infty, +\infty[$ : $\mathbb{R}$
• Les symboles $]-\infty$ et $+ \infty[$ sont toujours associés à des crochets ouverts.

Identités remarquables

• Carré d'une somme : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Carré d'une différence : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Produit d'une somme par une différence : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$