Équations et inéquations

Équations et inéquations du premier degré

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs variables (souvent notées $x$), appelées inconnues. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l'équation.
Une inéquation est une inégalité contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'inégalité est vraie. L'ensemble des solutions d'une inéquation est généralement un intervalle ou une union d'intervalles.

Méthode
Pour résoudre une équation ou une inéquation du premier degré (de la forme $ax+b=0$ ou $ax+b>0$, etc.), l'objectif est d'isoler l'inconnue $x$.
Appliquer les mêmes opérations (addition, soustraction, multiplication, division) aux deux membres de l'égalité ou de l'inégalité pour maintenir son équivalence.
Lors de la multiplication ou de la division des deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, il est impératif de changer le sens de l'inégalité.
Exprimer l'ensemble des solutions : pour une équation, sous forme d'un ensemble de valeurs discrètes ; pour une inéquation, sous forme d'un intervalle ou d'une union d'intervalles.

Exemple
Résoudre l'équation $3x - 7 = 2x + 1$ et l'inéquation $2x + 5 < x - 3$.

Corrigé pas à pas
Résolution de l'équation :
$3x - 7 = 2x + 1$
Pour isoler les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre, on soustrait $2x$ aux deux membres :
$3x - 2x - 7 = 2x - 2x + 1$
$x - 7 = 1$
On ajoute $7$ aux deux membres :
$x - 7 + 7 = 1 + 7$
$x = 8$
L'ensemble des solutions est $S = \{8\}$.

Résolution de l'inéquation :
$2x + 5 < x - 3$
On soustrait $x$ aux deux membres :
$2x - x + 5 < x - x - 3$
$x + 5 < -3$
On soustrait $5$ aux deux membres :
$x + 5 - 5 < -3 - 5$
$x < -8$
L'ensemble des solutions est l'intervalle des nombres strictement inférieurs à $-8$, soit $S = ]-\infty; -8[$. Le crochet est ouvert car l'inégalité est stricte.

Erreurs fréquentes
Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication ou de la division par un nombre négatif.
Erreur dans la notation de l'intervalle solution (crochets ouverts/fermés, sens de l'infini).

Équations et inéquations produits et quotients

Une équation produit nul est une équation de la forme $A(x)B(x)=0$. Elle est équivalente à $A(x)=0$ ou $B(x)=0$. Ce principe peut être étendu à un produit de plus de deux facteurs.
Une inéquation produit est une inéquation de la forme $A(x)B(x)>0$, $A(x)B(x)<0$, etc.
Une inéquation quotient est une inéquation de la forme $\frac{A(x)}{B(x)}>0$, $\frac{A(x)}{B(x)}<0$, etc. Pour ces inéquations, il est crucial de déterminer les valeurs interdites, c'est-à-dire les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur est nul.

Méthode
Pour une équation produit nul $A(x)B(x)=0$, résoudre $A(x)=0$ et $B(x)=0$ séparément. L'ensemble des solutions est l'union des solutions de chaque équation.
Pour une inéquation produit ou quotient, la méthode des tableaux de signes est la plus appropriée :
1. Ramener l'inéquation à une forme où un membre est nul (par exemple, $P(x) > 0$ ou $\frac{N(x)}{D(x)} \le 0$).
2. Identifier les facteurs de l'expression $P(x)$ ou les termes du numérateur $N(x)$ et du dénominateur $D(x)$.
3. Déterminer les valeurs de $x$ qui annulent chaque facteur ou terme. Pour les quotients, identifier également les valeurs interdites (celles qui annulent le dénominateur).
4. Construire un tableau de signes : placer les valeurs trouvées sur la première ligne (dans l'ordre croissant). Pour chaque facteur/terme, indiquer son signe sur les intervalles définis par ces valeurs. Utiliser un double trait pour les valeurs interdites.
5. En déduire le signe du produit ou du quotient sur chaque intervalle en appliquant la règle des signes.
6. Conclure en donnant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle(s), en veillant aux crochets (ouverts pour les inégalités strictes et les valeurs interdites, fermés pour les inégalités larges).

Exemple
Résoudre l'équation $(2x-1)(x+3)=0$ et l'inéquation $(x-2)(3-x) \ge 0$. Résoudre l'inéquation $\frac{x+1}{x-3} < 0$.

Corrigé pas à pas
Résolution de l'équation produit nul :
$(2x-1)(x+3)=0$
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Donc, $2x-1=0$ ou $x+3=0$.
$2x=1 \implies x = \frac{1}{2}$
ou
$x=-3$
L'ensemble des solutions est $S = \{-3; \frac{1}{2}\\}$.

Résolution de l'inéquation produit :
$(x-2)(3-x) \ge 0$
On étudie le signe de chaque facteur :
• $x-2=0 \implies x=2$. Le facteur $x-2$ est positif pour $x>2$ et négatif pour $x<2$.
• $3-x=0 \implies x=3$. Le facteur $3-x$ est positif pour $x<3$ et négatif pour $x>3$.

Tableau de signes :

| $x$ | $-\infty$ | $2$ | $3$ | $+\infty$ |
|-------------|-----------|-----|-----|-----------|
| Signe de $x-2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ |
| Signe de $3-x$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| Signe de $(x-2)(3-x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |

Nous cherchons les valeurs pour lesquelles $(x-2)(3-x) \ge 0$. D'après le tableau, c'est sur l'intervalle $[2; 3]$. Les crochets sont fermés car l'inégalité est large.
L'ensemble des solutions est $S = [2; 3]$.

Résolution de l'inéquation quotient :
$\frac{x+1}{x-3} < 0$
Valeur interdite : Le dénominateur $x-3$ ne doit pas être nul, donc $x \ne 3$.
On étudie le signe de chaque terme :
• $x+1=0 \implies x=-1$. Le terme $x+1$ est positif pour $x>-1$ et négatif pour $x<-1$.
• $x-3=0 \implies x=3$. Le terme $x-3$ est positif pour $x>3$ et négatif pour $x<3$.

Tableau de signes :

| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $3$ | $+\infty$ |
|-------------|-----------|------|-----|-----------|
| Signe de $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ |
| Signe de $x-3$ | $-$ | $-$ | $||$ | $+$ |
| Signe de $\frac{x+1}{x-3}$ | $+$ | $0$ | $-$ | $||$ | $+$ |

Nous cherchons les valeurs pour lesquelles $\frac{x+1}{x-3} < 0$. D'après le tableau, c'est sur l'intervalle $]-1; 3[$. Les crochets sont ouverts car l'inégalité est stricte et $x=3$ est une valeur interdite.
L'ensemble des solutions est $S = ]-1; 3[$.

Erreurs fréquentes
Oublier d'identifier et d'exclure les valeurs interdites pour les inéquations quotients.
Erreurs dans la détermination des signes dans le tableau de signes (règle des signes, signe d'un facteur linéaire).
Confondre les conditions pour une équation produit nul avec celles pour une inéquation produit (par exemple, penser que $A(x)B(x)>0$ implique $A(x)>0$ et $B(x)>0$).

Résolution graphique d'équations et inéquations

La résolution graphique consiste à interpréter géométriquement les solutions d'équations et d'inéquations en utilisant les courbes représentatives de fonctions dans un repère cartésien.
• Les solutions de l'équation $f(x)=k$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de $f$ et de la droite horizontale d'équation $y=k$.
• Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de $f$ et de $g$.
• Les solutions de l'inéquation $f(x)>k$ sont les abscisses des points de la courbe de $f$ situés strictement au-dessus de la droite $y=k$.
• Les solutions de l'inéquation $f(x)<g(x)$ sont les abscisses des points de la courbe de $f$ situés strictement en-dessous de la courbe de $g$. Les inégalités larges ($\ge$, $\le$) incluent les points d'intersection.

Méthode
Tracer avec précision les courbes représentatives des fonctions impliquées dans l'équation ou l'inéquation.
Pour une équation $f(x)=k$ ou $f(x)=g(x)$, identifier les points d'intersection des courbes. Les solutions sont les abscisses de ces points.
Pour une inéquation $f(x)>k$ ou $f(x)<g(x)$, identifier les intervalles d'abscisses où la condition d'ordonnée est respectée (par exemple, où la courbe de $f$ est au-dessus de la droite $y=k$ ou de la courbe de $g$).
Exprimer l'ensemble des solutions sous forme d'un ensemble de valeurs (pour les équations) ou d'un intervalle/union d'intervalles (pour les inéquations), en tenant compte des crochets pour les inégalités strictes ou larges.

Exemple
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = x+2$. Résoudre graphiquement $f(x)=g(x)$ et $f(x) \le g(x)$.
(On considère que la courbe représentative de $f$ est une parabole passant par $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,1)$, $(2,4)$, $(-2,4)$ et la courbe représentative de $g$ est une droite passant par $(0,2)$, $(1,3)$, $(-2,0)$).

Corrigé pas à pas
Résolution graphique de $f(x)=g(x)$ :
Nous cherchons les abscisses des points d'intersection de la parabole $y=x^2$ et de la droite $y=x+2$.
En traçant ces deux courbes, on observe qu'elles se coupent en deux points.
• Le premier point d'intersection a pour coordonnées $(-1, 1)$. Son abscisse est $x=-1$.
• Le second point d'intersection a pour coordonnées $(2, 4)$. Son abscisse est $x=2$.
L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ est $S = \{-1; 2\}$.

Résolution graphique de $f(x) \le g(x)$ :
Nous cherchons les abscisses des points où la courbe de $f$ est située en-dessous ou sur la courbe de $g$.
En observant les courbes, la parabole $y=x^2$ est en-dessous de la droite $y=x+2$ entre les deux points d'intersection, c'est-à-dire pour les abscisses comprises entre $-1$ et $2$.
Comme l'inégalité est large ($\le$), les points d'intersection eux-mêmes sont inclus.
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \le g(x)$ est $S = [-1; 2]$.

Erreurs fréquentes
Manque de précision dans la lecture des coordonnées sur le graphique, conduisant à des solutions approximatives.
Oublier de traduire les points d'intersection en abscisses pour les solutions des équations.
Confondre les intervalles de solutions pour les inéquations (par exemple, inverser les rôles de 'au-dessus' et 'en-dessous').

Résoudre une équation du premier degré

1. Développer et réduire chaque membre de l'équation si nécessaire.
2. Regrouper tous les termes contenant l'inconnue $x$ dans un membre (généralement le membre de gauche) et tous les termes constants dans l'autre membre, en changeant les signes des termes déplacés.
3. Réduire les termes semblables dans chaque membre pour obtenir une équation de la forme $ax=b$.
4. Diviser les deux membres par le coefficient $a$ (si $a \ne 0$) pour trouver la valeur de $x$.
5. Vérifier la solution en la substituant dans l'équation originale.

Exemple
Résoudre l'équation $4x - 9 = 2x + 3$.

Corrigé pas à pas
$4x - 9 = 2x + 3$
1. Les membres sont déjà réduits.
2. Regrouper les $x$ à gauche et les constantes à droite :
$4x - 2x = 3 + 9$
3. Réduire :
$2x = 12$
4. Diviser par $2$ :
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$
5. Vérification : $4(6) - 9 = 24 - 9 = 15$. Et $2(6) + 3 = 12 + 3 = 15$. L'égalité est vérifiée.
L'ensemble des solutions est $S = \{6\}$.

Résoudre une inéquation du premier degré

1. Développer et réduire chaque membre de l'inéquation si nécessaire.
2. Regrouper tous les termes contenant l'inconnue $x$ dans un membre et tous les termes constants dans l'autre membre, en changeant les signes des termes déplacés.
3. Réduire les termes semblables dans chaque membre pour obtenir une inéquation de la forme $ax \text{ op } b$ (où 'op' est un symbole d'inégalité).
4. Diviser les deux membres par le coefficient $a$. Si $a$ est positif, le sens de l'inégalité est conservé. Si $a$ est négatif, le sens de l'inégalité doit être inversé.
5. Exprimer l'ensemble des solutions sous forme d'un intervalle.

Exemple
Résoudre l'inéquation $-3x + 5 \le 11$.

Corrigé pas à pas
$-3x + 5 \le 11$
1. Les membres sont déjà réduits.
2. Regrouper les constantes à droite :
$-3x \le 11 - 5$
3. Réduire :
$-3x \le 6$
4. Diviser par $-3$ (nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité) :
$\frac{-3x}{-3} \ge \frac{6}{-3}$
$x \ge -2$
5. L'ensemble des solutions est $S = [-2; +\infty[$. Le crochet est fermé car l'inégalité est large.

Construire un tableau de signes pour une inéquation produit ou quotient

1. S'assurer que l'inéquation est sous la forme $P(x) \text{ op } 0$ ou $\frac{N(x)}{D(x)} \text{ op } 0$. Si ce n'est pas le cas, transposer les termes pour obtenir cette forme.
2. Identifier tous les facteurs linéaires (ou termes du numérateur et du dénominateur) de l'expression.
3. Pour chaque facteur, trouver la valeur de $x$ qui l'annule. Pour les quotients, identifier également les valeurs interdites (qui annulent le dénominateur).
4. Tracer un tableau avec une ligne pour $x$ allant de $-\infty$ à $+\infty$. Placer les valeurs trouvées à l'étape précédente sur cette ligne, dans l'ordre croissant.
5. Pour chaque facteur, ajouter une ligne dans le tableau et indiquer son signe sur chaque intervalle. Un facteur $ax+b$ est du signe de $a$ après sa racine et du signe opposé avant.
6. Ajouter une dernière ligne pour le signe du produit ou du quotient. Appliquer la règle des signes pour chaque colonne. Pour les quotients, marquer un double trait vertical pour les valeurs interdites.
7. Conclure en identifiant les intervalles qui satisfont l'inégalité, en faisant attention aux crochets (ouverts pour les inégalités strictes et les valeurs interdites, fermés pour les inégalités larges).

Exemple
Construire le tableau de signes de $(x+2)(1-x)$.

Corrigé pas à pas
L'expression est déjà sous forme de produit.
1. Facteurs : $(x+2)$ et $(1-x)$.
2. Valeurs qui annulent les facteurs :
• $x+2=0 \implies x=-2$
• $1-x=0 \implies x=1$
3. Tableau de signes :

| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $1$ | $+\infty$ |
|-------------|-----------|------|-----|-----------|
| Signe de $x+2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ |
| Signe de $1-x$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| Signe de $(x+2)(1-x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |

Ce tableau permet de résoudre des inéquations comme $(x+2)(1-x)>0$ (solutions $]-2;1[$) ou $(x+2)(1-x) \le 0$ (solutions $]-\infty;-2] \cup [1;+\infty[$).

Règles fondamentales de résolution

• Équation : $A(x) = B(x)$. Chercher les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie.
• Inéquation : $A(x) \text{ op } B(x)$ (avec op $\in \{<, \le, >, \ge\}$). Chercher les valeurs de $x$ qui rendent l'inégalité vraie.
• Opérations équivalentes :
• • Addition/Soustraction d'un même nombre aux deux membres : conserve l'égalité/l'inégalité.
• • Multiplication/Division par un nombre $c > 0$ : conserve l'égalité/l'inégalité.
• • Multiplication/Division par un nombre $c < 0$ : inverse le sens de l'inégalité.

Équations et inéquations spécifiques

• Équation produit nul : $A(x)B(x)=0 \iff A(x)=0 \text{ ou } B(x)=0$.
• Inéquation produit/quotient : Utiliser un tableau de signes pour déterminer les intervalles où l'expression est positive ou négative.
• Valeurs interdites : Pour une expression de la forme $\frac{N(x)}{D(x)}$, le dénominateur $D(x)$ ne doit jamais être nul. Les valeurs de $x$ qui annulent $D(x)$ sont des valeurs interdites et doivent être exclues de l'ensemble des solutions (crochets ouverts ou double barre dans le tableau de signes).

Représentation des solutions

• Équation : L'ensemble des solutions $S$ est une liste de valeurs discrètes (ex: $S = \{x_1, x_2\}$).
• Inéquation : L'ensemble des solutions $S$ est un intervalle ou une union d'intervalles.
• • Inégalité stricte ($<$ ou $>$): crochets ouverts (ex: $]a;b[$).
• • Inégalité large ($\le$ ou $\ge$): crochets fermés (ex: $[a;b]$).
• • L'infini ($-\infty$ ou $+\infty$) est toujours associé à un crochet ouvert.