Géométrie repérée : vecteurs et coordonnées

Définition et caractéristiques d'un vecteur

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). Il représente un déplacement. Il est souvent noté $\vec{u}$ ou $\vec{AB}$ si A est son origine et B son extrémité. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Méthode
Identifier l'origine et l'extrémité du vecteur pour déterminer sa direction (la droite qui le porte), son sens (de l'origine vers l'extrémité) et sa norme (la distance entre l'origine et l'extrémité).
Pour vérifier l'égalité de deux vecteurs, s'assurer que leurs trois caractéristiques (direction, sens, norme) sont identiques. Cela implique qu'ils représentent le même déplacement.

Exemple
Considérons un carré ABCD. Les points A, B, C, D sont donnés dans le sens trigonométrique. Décrire les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$. Sont-ils égaux ?

Corrigé pas à pas
Le vecteur $\vec{AB}$ a pour origine A et pour extrémité B. Sa direction est celle de la droite (AB), son sens est de A vers B, et sa norme est la longueur du côté du carré, notons-la $c$.
Le vecteur $\vec{DC}$ a pour origine D et pour extrémité C. Sa direction est celle de la droite (DC). Puisque ABCD est un carré, les droites (AB) et (DC) sont parallèles, donc les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ ont la même direction.
Son sens est de D vers C. Dans un carré ABCD, le sens de A vers B est le même que le sens de D vers C.
Sa norme est la longueur du côté du carré, $c$.
Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ ont la même direction, le même sens et la même norme. Ils sont donc égaux : $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Erreurs fréquentes
Confondre la direction et le sens d'un vecteur. La direction est la droite sur laquelle le vecteur est porté, le sens est l'orientation sur cette droite.
Oublier qu'un vecteur est défini par trois caractéristiques (direction, sens, norme) et non seulement par deux.

Coordonnées d'un vecteur et opérations

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, un point $A$ est repéré par ses coordonnées $(x_A; y_A)$. Un vecteur $\vec{u}$ est repéré par ses coordonnées $(x; y)$.
Si $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$, les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont $(x_B - x_A; y_B - y_A)$.

Opérations sur les vecteurs :
• Somme de vecteurs : Si $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$, alors $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x'; y+y')$.
• Produit d'un vecteur par un réel : Si $\vec{u}(x; y)$ et $k$ est un réel, alors $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(kx; ky)$.

Méthode
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ : soustraire les coordonnées de l'origine A à celles de l'extrémité B. Soit $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)$.
Pour additionner deux vecteurs : additionner leurs abscisses entre elles et leurs ordonnées entre elles.
Pour multiplier un vecteur par un réel : multiplier chacune de ses coordonnées par ce réel.

Exemple
Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(1; 3)$, $B(4; 1)$ et $C(2; 5)$.
1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$.
2. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AC}$.
3. Vérifier la relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Corrigé pas à pas
1. Coordonnées de $\vec{AB}$ : $x_{\vec{AB}} = x_B - x_A = 4 - 1 = 3$, $y_{\vec{AB}} = y_B - y_A = 1 - 3 = -2$. Donc $\vec{AB}(3; -2)$.
Coordonnées de $\vec{BC}$ : $x_{\vec{BC}} = x_C - x_B = 2 - 4 = -2$, $y_{\vec{BC}} = y_C - y_B = 5 - 1 = 4$. Donc $\vec{BC}(-2; 4)$.

2. Coordonnées de $\vec{AC}$ : $x_{\vec{AC}} = x_C - x_A = 2 - 1 = 1$, $y_{\vec{AC}} = y_C - y_A = 5 - 3 = 2$. Donc $\vec{AC}(1; 2)$.

3. Vérification de la relation de Chasles :
$\vec{AB} + \vec{BC}$ a pour coordonnées $(3 + (-2); -2 + 4)$, soit $(1; 2)$.
On constate que les coordonnées de $\vec{AB} + \vec{BC}$ sont $(1; 2)$, qui sont les mêmes que celles de $\vec{AC}$.
Donc, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ est vérifiée.

Erreurs fréquentes
Inverser l'ordre des points lors du calcul des coordonnées d'un vecteur (par exemple, calculer $x_A - x_B$ au lieu de $x_B - x_A$).
Confondre les coordonnées d'un point et les coordonnées d'un vecteur.

Milieu d'un segment, distance entre deux points et colinéarité

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ :
• Coordonnées du milieu d'un segment : Si $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$, le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.
• Distance entre deux points : La distance $AB$ (ou norme du vecteur $\vec{AB}$) est donnée par la formule $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
• Colinéarité de vecteurs : Deux vecteurs $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ sont dits colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. Cela signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
Un critère de colinéarité est que leur déterminant est nul : $xy' - yx' = 0$. La colinéarité permet de démontrer l'alignement de points ou le parallélisme de droites.

Méthode
Pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment : faire la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des extrémités.
Pour calculer la distance entre deux points : appliquer la formule de la distance en prenant la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées.
Pour vérifier la colinéarité de deux vecteurs : calculer le déterminant $xy' - yx'$. Si le résultat est 0, les vecteurs sont colinéaires. Alternativement, vérifier si les coordonnées sont proportionnelles (i.e., si $\frac{x}{x'} = \frac{y}{y'}$ en faisant attention aux cas où les dénominateurs sont nuls).

Exemple
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1; 2)$, $B(5; 4)$ et $C(7; 5)$.
1. Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$.
2. Calculer la distance $AB$.
3. Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?

Corrigé pas à pas
1. Coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ :
$x_M = \frac{x_A+x_B}{2} = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$y_M = \frac{y_A+y_B}{2} = \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Donc $M(3; 3)$.

2. Distance $AB$ :
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 2)^2}$
$AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$.

3. Pour vérifier si les points $A$, $B$, $C$ sont alignés, nous devons vérifier si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
Coordonnées de $\vec{AB}$ : $(5-1; 4-2) = (4; 2)$.
Coordonnées de $\vec{AC}$ : $(7-1; 5-2) = (6; 3)$.
Calculons le déterminant des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
$det(\vec{AB}, \vec{AC}) = x_{\vec{AB}}y_{\vec{AC}} - y_{\vec{AB}}x_{\vec{AC}} = (4)(3) - (2)(6) = 12 - 12 = 0$.
Puisque le déterminant est nul, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Par conséquent, les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Erreurs fréquentes
Oublier la racine carrée dans la formule de la distance, ou ne pas élever au carré les différences de coordonnées.
Confondre la formule du milieu (somme divisée par 2) avec celle des coordonnées d'un vecteur (différence).
Ne pas gérer correctement les cas où l'une des coordonnées est nulle lors de la vérification de la proportionnalité pour la colinéarité. Le déterminant est plus robuste.

Calculer les coordonnées d'un vecteur

1. Identifier l'origine $A(x_A; y_A)$ et l'extrémité $B(x_B; y_B)$ du vecteur $\vec{AB}$.
2. Calculer l'abscisse du vecteur en soustrayant l'abscisse de l'origine à celle de l'extrémité : $x_{\vec{AB}} = x_B - x_A$.
3. Calculer l'ordonnée du vecteur en soustrayant l'ordonnée de l'origine à celle de l'extrémité : $y_{\vec{AB}} = y_B - y_A$.

Exemple
Soient les points $P(-3; 7)$ et $Q(2; -1)$. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{PQ}$.

Corrigé pas à pas
1. L'origine est $P(-3; 7)$ et l'extrémité est $Q(2; -1)$.
2. Abscisse de $\vec{PQ}$ : $x_{\vec{PQ}} = x_Q - x_P = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$.
3. Ordonnée de $\vec{PQ}$ : $y_{\vec{PQ}} = y_Q - y_P = -1 - 7 = -8$.
Les coordonnées du vecteur $\vec{PQ}$ sont $(5; -8)$.

Calculer la distance entre deux points

1. Identifier les coordonnées des deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$.
2. Calculer la différence des abscisses : $x_B - x_A$.
3. Calculer la différence des ordonnées : $y_B - y_A$.
4. Élever au carré chacune de ces différences : $(x_B - x_A)^2$ et $(y_B - y_A)^2$.
5. Additionner les deux carrés obtenus.
6. Prendre la racine carrée du résultat pour obtenir la distance $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Exemple
Calculer la distance entre les points $R(4; -2)$ et $S(1; 2)$.

Corrigé pas à pas
1. Les points sont $R(4; -2)$ et $S(1; 2)$.
2. Différence des abscisses : $x_S - x_R = 1 - 4 = -3$.
3. Différence des ordonnées : $y_S - y_R = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.
4. Carrés des différences : $(-3)^2 = 9$ et $4^2 = 16$.
5. Somme des carrés : $9 + 16 = 25$.
6. Racine carrée : $\sqrt{25} = 5$.
La distance $RS$ est $5$ unités.

Tester la colinéarité de deux vecteurs

1. Déterminer les coordonnées des deux vecteurs $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$.
2. Calculer le déterminant des deux vecteurs : $det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx'$.
3. Si le résultat du déterminant est $0$, les vecteurs sont colinéaires.
4. Si le résultat du déterminant est différent de $0$, les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Exemple
Les vecteurs $\vec{a}(6; -4)$ et $\vec{b}(-9; 6)$ sont-ils colinéaires ?

Corrigé pas à pas
1. Les vecteurs sont $\vec{a}(6; -4)$ et $\vec{b}(-9; 6)$.
2. Calculons le déterminant :
$det(\vec{a}, \vec{b}) = (6)(6) - (-4)(-9) = 36 - 36 = 0$.
3. Le déterminant est égal à $0$.
4. Les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont donc colinéaires.

Formules clés de la géométrie repérée

• Coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ : Si $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$, alors $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)$.
• Somme de vecteurs : Si $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$, alors $\vec{u} + \vec{v}(x+x'; y+y')$.
• Produit d'un vecteur par un réel : Si $\vec{u}(x; y)$ et $k \in \mathbb{R}$, alors $k\vec{u}(kx; ky)$.
• Coordonnées du milieu $I$ d'un segment $[AB]$ : $I\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.
• Distance $AB$ entre deux points : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
• Critère de colinéarité de deux vecteurs : $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ sont colinéaires si et seulement si $xy' - yx' = 0$.