Géométrie plane et trigonométrie

Rappels sur les relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques (cosinus, sinus, tangente) permettent de lier les mesures des angles aigus aux rapports des longueurs des côtés. Pour un angle aigu $\alpha$ dans un triangle rectangle, on définit :\n Le cosinus de $\alpha$ comme le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse : $\cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$\n Le sinus de $\alpha$ comme le rapport du côté opposé à l'hypoténuse : $\sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$\n* La tangente de $\alpha$ comme le rapport du côté opposé au côté adjacent : $\tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Méthode
Identifier le triangle rectangle et l'angle aigu dont on connaît ou cherche la mesure.
Repérer les côtés par rapport à cet angle : l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit), le côté opposé (face à l'angle aigu) et le côté adjacent (à côté de l'angle aigu, mais pas l'hypoténuse).
Choisir la relation trigonométrique appropriée (cosinus, sinus ou tangente) en fonction des côtés connus et du côté ou de l'angle recherché.
Appliquer la formule et résoudre l'équation pour trouver la valeur inconnue.

Exemple
Soit un triangle ABC rectangle en B. On sait que $AB = 4$ cm et $AC = 5$ cm. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ (arrondie au degré près).

Corrigé pas à pas
1. Le triangle est ABC, rectangle en B. L'angle recherché est $\widehat{BAC}$.\n2. Par rapport à l'angle $\widehat{BAC}$ :\n AC est l'hypoténuse (longueur 5 cm).\n AB est le côté adjacent (longueur 4 cm).\n * BC est le côté opposé.\n3. Nous connaissons le côté adjacent et l'hypoténuse. La relation qui les lie est le cosinus : $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.\n4. On a $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} = 0.8$.\n Pour trouver l'angle, on utilise la fonction arc-cosinus (notée $\cos^{-1}$ ou arccos sur les calculatrices) : $\widehat{BAC} = \arccos(0.8)$.\n En utilisant une calculatrice, on trouve $\widehat{BAC} \approx 36.87^\circ$. Arrondi au degré près, $\widehat{BAC} \approx 37^\circ$.

Erreurs fréquentes
Confondre le côté opposé et le côté adjacent par rapport à l'angle considéré.
Appliquer ces relations à un triangle qui n'est pas rectangle.
Oublier de vérifier que la calculatrice est en mode 'degrés' ou 'radians' selon le contexte de l'exercice.

Le cercle trigonométrique et les angles orientés

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré à l'origine O(0,0) d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Le sens positif de parcours sur ce cercle est le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens anti-horaire). Le point de départ est conventionnellement le point I(1,0).\nUn angle orienté est défini par la rotation d'un vecteur par rapport à un autre. La mesure d'un angle orienté peut être exprimée en degrés ou en radians. La correspondance est $180^\circ = \pi$ radians.\nPour un angle $x$ en radians, sa mesure principale est l'unique valeur de $x'$ appartenant à l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ (ou $]-180^\circ ; 180^\circ]$ en degrés) telle que $x = x' + 2k\pi$ pour un entier relatif $k$.

Méthode
Pour convertir des degrés en radians : multiplier la mesure en degrés par $\frac{\pi}{180}$.
Pour convertir des radians en degrés : multiplier la mesure en radians par $\frac{180}{\pi}$.
Pour déterminer la mesure principale d'un angle $x$ : trouver l'entier relatif $k$ tel que $x - 2k\pi$ soit dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$. Cela revient à calculer $k = \text{entier le plus proche de } \frac{x}{2\pi}$ et ensuite $x' = x - 2k\pi$.

Exemple
1. Convertir $210^\circ$ en radians.\n2. Convertir $\frac{7\pi}{4}$ radians en degrés.\n3. Déterminer la mesure principale de l'angle $\frac{11\pi}{3}$ radians.

Corrigé pas à pas
1. Conversion de $210^\circ$ en radians :\n $210^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{210\pi}{180} = \frac{7 \times 30\pi}{6 \times 30} = \frac{7\pi}{6}$ radians.\n2. Conversion de $\frac{7\pi}{4}$ radians en degrés :\n $\frac{7\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{7 \times 180}{4} = 7 \times 45 = 315^\circ$.\n3. Mesure principale de $\frac{11\pi}{3}$ radians :\n Nous cherchons $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\frac{11\pi}{3} - 2k\pi \in ]-\pi ; \pi]$.\n On peut écrire $\frac{11\pi}{3} = \frac{12\pi - \pi}{3} = 4\pi - \frac{\pi}{3}$.\n Donc $\frac{11\pi}{3} = 2 \times (2\pi) - \frac{\pi}{3}$.\n La mesure principale est $-\frac{\pi}{3}$, car $-\frac{\pi}{3} \in ]-\pi ; \pi]$.

Erreurs fréquentes
Confondre le sens positif (anti-horaire) et le sens négatif (horaire) sur le cercle trigonométrique.
Oublier que la mesure principale doit être dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ (ou $]-180^\circ ; 180^\circ]$).
Erreurs de calcul lors des conversions entre degrés et radians, notamment en simplifiant les fractions.

Cosinus et sinus d'un angle orienté

Pour tout réel $x$, on associe un unique point M sur le cercle trigonométrique. Si les coordonnées de ce point M sont $(x_M, y_M)$ dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, alors :\n Le cosinus de $x$, noté $\cos(x)$, est l'abscisse du point M : $\cos(x) = x_M$.\n Le sinus de $x$, noté $\sin(x)$, est l'ordonnée du point M : $\sin(x) = y_M$.\n\nCes définitions s'appliquent à tout angle, qu'il soit aigu, obtus ou même négatif. Plusieurs propriétés fondamentales en découlent :\n Relation fondamentale de la trigonométrie : Pour tout réel $x$, $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.\n Périodicité : Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$, $\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$.\n Angles opposés : $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = -\sin(x)$.\n Angles supplémentaires : $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$ et $\sin(\pi - x) = \sin(x)$.\n* Angles complémentaires : $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$ et $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$.

Méthode
Pour trouver les valeurs de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ pour un angle donné, placer le point M correspondant à l'angle $x$ sur le cercle trigonométrique.
L'abscisse de M est $\cos(x)$ et l'ordonnée de M est $\sin(x)$.
Utiliser les propriétés de symétrie et la périodicité pour ramener le calcul à des angles remarquables du premier quadrant (si possible).
Utiliser la relation fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ pour trouver l'une des valeurs si l'autre est connue, en tenant compte du quadrant pour déterminer le signe.

Exemple
1. Déterminer les valeurs exactes de $\cos(\frac{5\pi}{6})$ et $\sin(\frac{5\pi}{6})$.\n2. Sachant que $\sin(x) = 0.6$ et que $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$, déterminer la valeur exacte de $\cos(x)$.

Corrigé pas à pas
1. Pour l'angle $\frac{5\pi}{6}$ :\n Cet angle est dans le deuxième quadrant du cercle trigonométrique. On peut le relier à l'angle de référence $\frac{\pi}{6}$ en utilisant la propriété des angles supplémentaires : $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.\n $\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.\n $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.\n2. Sachant que $\sin(x) = 0.6$ et $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ :\n On utilise la relation fondamentale : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.\n $\cos^2(x) + (0.6)^2 = 1$\n $\cos^2(x) + 0.36 = 1$\n $\cos^2(x) = 1 - 0.36 = 0.64$\n Donc $\cos(x) = \sqrt{0.64}$ ou $\cos(x) = -\sqrt{0.64}$.\n $\cos(x) = 0.8$ ou $\cos(x) = -0.8$.\n L'information $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ signifie que l'angle $x$ est dans le deuxième quadrant. Dans ce quadrant, le cosinus est négatif.\n Par conséquent, $\cos(x) = -0.8$.

Erreurs fréquentes
Oublier de prendre en compte le signe du cosinus ou du sinus en fonction du quadrant où se trouve l'angle.
Confondre $\cos^2(x)$ avec $\cos(x^2)$. $\cos^2(x)$ signifie $(\cos(x))^2$.
Ne pas savoir utiliser les formules de symétrie pour simplifier les calculs ou trouver des valeurs.

Utiliser les relations trigonométriques dans un triangle rectangle

1. Dessiner ou visualiser le triangle rectangle et nommer ses sommets.
2. Identifier l'angle aigu concerné par le calcul (connu ou recherché).
3. Nommer les côtés du triangle par rapport à cet angle : l'hypoténuse (face à l'angle droit), le côté opposé (face à l'angle aigu) et le côté adjacent (qui touche l'angle aigu sans être l'hypoténuse).
4. Choisir la formule trigonométrique (sinus, cosinus, tangente) qui relie les côtés connus et le côté ou l'angle inconnu.
5. Écrire l'équation et la résoudre pour trouver la valeur recherchée. Assurez-vous que votre calculatrice est dans le bon mode (degrés ou radians).

Exemple
Soit un triangle MNP rectangle en N. On sait que $MN = 6$ cm et $\widehat{MPN} = 40^\circ$. Calculer la longueur NP (arrondie au millimètre près).

Corrigé pas à pas
1. Le triangle est MNP, rectangle en N. L'angle connu est $\widehat{MPN} = 40^\circ$.\n2. Par rapport à l'angle $\widehat{MPN}$ :\n MP est l'hypoténuse.\n MN est le côté opposé (longueur 6 cm).\n * NP est le côté adjacent (longueur recherchée).\n3. Nous connaissons le côté opposé et cherchons le côté adjacent. La relation qui les lie est la tangente : $\tan(\widehat{MPN}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.\n4. On a $\tan(40^\circ) = \frac{MN}{NP}$.\n $\tan(40^\circ) = \frac{6}{NP}$.\n Pour trouver NP, on réarrange l'équation : $NP = \frac{6}{\tan(40^\circ)}$.\n En utilisant une calculatrice (en mode degrés), $\tan(40^\circ) \approx 0.8391$.\n $NP \approx \frac{6}{0.8391} \approx 7.149$ cm.\n Arrondi au millimètre près (une décimale en cm), $NP \approx 7.1$ cm.

Convertir des angles entre degrés et radians

1. Rappeler la relation fondamentale : $180^\circ = \pi$ radians.
2. Pour convertir des degrés en radians : multiplier la mesure en degrés par le facteur de conversion $\frac{\pi}{180}$.
3. Pour convertir des radians en degrés : multiplier la mesure en radians par le facteur de conversion $\frac{180}{\pi}$.
4. Simplifier la fraction résultante si possible pour obtenir une valeur exacte.

Exemple
1. Convertir $75^\circ$ en radians.\n2. Convertir $\frac{2\pi}{5}$ radians en degrés.

Corrigé pas à pas
1. Pour convertir $75^\circ$ en radians :\n $75 \times \frac{\pi}{180} = \frac{75\pi}{180}$.\n On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (ici 15) :\n $\frac{75\pi}{180} = \frac{5 \times 15\pi}{12 \times 15} = \frac{5\pi}{12}$ radians.\n2. Pour convertir $\frac{2\pi}{5}$ radians en degrés :\n $\frac{2\pi}{5} \times \frac{180}{\pi}$.\n Les $\pi$ se simplifient :\n $\frac{2 \times 180}{5} = \frac{360}{5} = 72^\circ$.

Déterminer le cosinus et le sinus d'un angle sur le cercle trigonométrique

1. Dessiner un cercle trigonométrique avec un repère orthonormé.
2. Placer le point M sur le cercle correspondant à l'angle $x$ donné, en partant du point I(1,0) et en respectant le sens de rotation (positif anti-horaire, négatif horaire). Si l'angle est supérieur à $2\pi$ ou inférieur à $-2\pi$, trouver sa mesure principale d'abord.
3. Pour trouver $\cos(x)$, projeter le point M orthogonalement sur l'axe des abscisses. La coordonnée de ce point projeté est $\cos(x)$.
4. Pour trouver $\sin(x)$, projeter le point M orthogonalement sur l'axe des ordonnées. La coordonnée de ce point projeté est $\sin(x)$.
5. Utiliser les valeurs remarquables des angles (0, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$) et les propriétés de symétrie du cercle pour trouver les valeurs exactes.

Exemple
Déterminer les valeurs exactes de $\cos(\frac{2\pi}{3})$ et $\sin(\frac{2\pi}{3})$.

Corrigé pas à pas
1. L'angle $\frac{2\pi}{3}$ est égal à $120^\circ$. Il se situe dans le deuxième quadrant du cercle trigonométrique.\n2. Le point M associé à $\frac{2\pi}{3}$ est tel que l'angle entre l'axe des abscisses positives et le vecteur $\vec{OM}$ est $\frac{2\pi}{3}$.\n3. On peut utiliser la propriété des angles supplémentaires : $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.\n Pour le cosinus : $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$.\n On sait que $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Donc $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.\n Pour le sinus : $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.\n On sait que $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.\n\nLes coordonnées du point M sont donc $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

• $\cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
• $\sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
• $\tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Cercle trigonométrique et angles

• Cercle de rayon 1, centré à l'origine O(0,0).
• Sens positif : anti-horaire.
• Conversion : $180^\circ = \pi$ radians.
• Mesure principale : angle $x'$ dans $]-\pi ; \pi]$ tel que $x = x' + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Cosinus et sinus d'un angle orienté

• Coordonnées du point M associé à l'angle $x$ sur le cercle trigonométrique : $(\cos(x), \sin(x))$.
• Relation fondamentale : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.
• Périodicité : $\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)$, $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$.
• Angles opposés : $\cos(-x) = \cos(x)$, $\sin(-x) = -\sin(x)$.
• Angles supplémentaires : $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$, $\sin(\pi - x) = \sin(x)$.
• Angles complémentaires : $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$, $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$.
• Valeurs remarquables :\n $\cos(0) = 1$, $\sin(0) = 0$\n $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$\n $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$\n $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$\n * $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$