Fonctions : généralités et fonctions de référence

1. Généralités sur les fonctions

Une fonction $f$ est un procédé qui, à tout nombre $x$ d'un ensemble de départ (appelé ensemble de définition), associe un unique nombre $y$. Ce nombre $y$ est appelé l'image de $x$ par $f$, et on le note $f(x)$. Le nombre $x$ est un antécédent de $y$ par $f$. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.

L'ensemble de définition $D_f$ d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les nombres réels $x$ pour lesquels $f(x)$ peut être calculé. Par exemple, pour la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$, $x$ ne peut pas être nul, donc $D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$. Pour $g(x) = \sqrt{x}$, $x$ doit être positif ou nul, donc $D_g = [0; +\infty[$.

Une fonction peut être représentée de trois manières principales :
1. Par une expression algébrique (ou formule) : $f(x) = 2x+3$.
2. Par un tableau de valeurs : qui liste des couples $(x; f(x))$.
3. Par une courbe représentative dans un repère orthogonal : l'ensemble des points de coordonnées $(x; f(x))$ pour tous les $x$ de l'ensemble de définition.

Méthode
Pour déterminer l'image d'un nombre $x_0$ par une fonction $f$ donnée par son expression algébrique :
1. Vérifier que $x_0$ appartient à l'ensemble de définition de $f$.
2. Remplacer $x$ par $x_0$ dans l'expression de $f(x)$.
3. Effectuer le calcul pour obtenir la valeur de $f(x_0)$.
Pour déterminer les antécédents d'un nombre $y_0$ par une fonction $f$ donnée par son expression algébrique :
1. Poser l'équation $f(x) = y_0$.
2. Résoudre cette équation pour trouver les valeurs de $x$.
3. Chaque solution $x$ est un antécédent de $y_0$. Il peut y avoir zéro, un, ou plusieurs antécédents.

Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 3x + 1$.
1. Déterminer l'image de $2$ par $f$.
2. Déterminer les antécédents de $1$ par $f$.

Corrigé pas à pas
1. Image de $2$ par $f$ :
L'ensemble de définition de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ est $D_f = \mathbb{R}$. Le nombre $2$ appartient à $D_f$.
On remplace $x$ par $2$ dans l'expression de $f(x)$ :
$f(2) = (2)^2 - 3(2) + 1$
$f(2) = 4 - 6 + 1$
$f(2) = -1$
L'image de $2$ par la fonction $f$ est $-1$.

2. Antécédents de $1$ par $f$ :
On cherche les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 1$. On pose l'équation :
$x^2 - 3x + 1 = 1$
$x^2 - 3x = 0$
On factorise par $x$ :
$x(x - 3) = 0$
Cette équation produit nul a deux solutions :
$x = 0$ ou $x - 3 = 0$
$x = 0$ ou $x = 3$
Les antécédents de $1$ par la fonction $f$ sont $0$ et $3$.

Erreurs fréquentes
Confondre l'image et l'antécédent : l'image est le résultat $f(x)$, l'antécédent est la valeur $x$ de départ.
Oublier de vérifier l'ensemble de définition avant de calculer une image ou de chercher un antécédent.
Ne pas chercher tous les antécédents possibles (une équation peut avoir plusieurs solutions).

2. Variations d'une fonction

L'étude des variations d'une fonction consiste à déterminer sur quels intervalles la fonction est croissante, décroissante ou constante.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ :
• $f$ est croissante sur $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$, on a $f(a) \le f(b)$ (la fonction conserve l'ordre).
• $f$ est décroissante sur $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$, on a $f(a) \ge f(b)$ (la fonction inverse l'ordre).
• $f$ est constante sur $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$, on a $f(a) = f(b)$.

Une fonction est dite monotone sur un intervalle si elle est soit croissante, soit décroissante sur cet intervalle.

Un maximum (respectivement un minimum) d'une fonction sur un intervalle est la plus grande (respectivement la plus petite) valeur atteinte par la fonction sur cet intervalle. Ces valeurs sont appelées extremums.

Les variations d'une fonction sont souvent synthétisées dans un tableau de variations, qui indique les intervalles de croissance et de décroissance à l'aide de flèches, et les valeurs des extremums.

Méthode
Pour étudier les variations d'une fonction graphiquement :
1. Observer la courbe représentative de la fonction de gauche à droite.
2. Si la courbe "monte", la fonction est croissante.
3. Si la courbe "descend", la fonction est décroissante.
4. Identifier les points où la fonction change de variation (sommets, creux) pour déterminer les extremums et les intervalles de monotonie.
Pour étudier les variations d'une fonction par le calcul (pour des fonctions simples ou composées de fonctions de référence) :
1. Choisir un intervalle $I$ sur lequel on souhaite étudier les variations.
2. Prendre deux nombres $a$ et $b$ quelconques dans $I$ tels que $a < b$.
3. Comparer $f(a)$ et $f(b)$.
4. Si $f(a) \le f(b)$, la fonction est croissante sur $I$. Si $f(a) \ge f(b)$, la fonction est décroissante sur $I$. (Cette méthode est plus rigoureuse et sera approfondie en Première avec la dérivation).

Exemple
Soit la fonction $f$ dont la courbe représentative est décrite comme suit : elle part de $y=4$ pour $x=-3$, descend jusqu'à $y=0$ pour $x=0$, puis remonte jusqu'à $y=2$ pour $x=2$, et enfin redescend jusqu'à $y=-1$ pour $x=4$. L'ensemble de définition est $[-3; 4]$.
1. Décrire les variations de la fonction $f$.
2. Donner le tableau de variations de $f$.
3. Quels sont les extremums de $f$ sur $[-3; 4]$ ?

Corrigé pas à pas
1. Description des variations :
• Sur l'intervalle $[-3; 0]$, la fonction $f$ est décroissante (elle passe de $y=4$ à $y=0$).
• Sur l'intervalle $[0; 2]$, la fonction $f$ est croissante (elle passe de $y=0$ à $y=2$).
• Sur l'intervalle $[2; 4]$, la fonction $f$ est décroissante (elle passe de $y=2$ à $y=-1$).

2. Tableau de variations de $f$ :
| $x$ | $-3$ | $0$ | $2$ | $4$ |
| :---- | :--- | :-- | :-- | :-- |
| $f(x)$ | $4$ | $\searrow$ $0$ | $\nearrow$ $2$ | $\searrow$ $-1$ |

3. Extremums de $f$ sur $[-3; 4]$ :
• Le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-3; 4]$ est $4$, atteint en $x=-3$.
• Le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-3; 4]$ est $-1$, atteint en $x=4$.

Erreurs fréquentes
Confondre les variations d'une fonction (croissante/décroissante) avec le signe de la fonction (positive/négative). Une fonction peut être décroissante tout en étant positive.
Oublier de préciser les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
Ne pas indiquer les valeurs aux bornes des intervalles et aux extremums dans le tableau de variations.

3. Fonctions de référence

Les fonctions de référence sont des fonctions fondamentales dont les propriétés (ensemble de définition, variations, courbe représentative) sont à connaître. Elles servent de base pour l'étude de fonctions plus complexes.

Nous allons étudier les fonctions suivantes :
• Fonction affine (cas particulier : fonction linéaire)
• Fonction carré
• Fonction inverse
• Fonction racine carrée

Méthode
Pour utiliser les propriétés des fonctions de référence :
1. Identifier le type de fonction : Est-ce une fonction affine, carré, inverse, ou racine carrée ?
2. Déterminer son ensemble de définition : Cela permet de savoir pour quelles valeurs de $x$ la fonction est définie.
3. Connaître ses variations : Cela permet de comparer des images sans calcul, ou de résoudre des inéquations graphiquement.
4. Connaître l'allure de sa courbe représentative : Cela aide à visualiser son comportement et à interpréter des résultats graphiques.
Pour résoudre des inéquations simples à l'aide des fonctions de référence :
1. Transformer l'inéquation pour la ramener à une forme du type $f(x) > k$ ou $f(x) < k$ où $f$ est une fonction de référence.
2. Utiliser les variations connues de la fonction de référence pour déterminer l'ensemble des solutions.

Exemple
1. Donner l'ensemble de définition et les variations de la fonction $f(x) = x^2$.
2. Résoudre l'inéquation $x^2 \le 9$.

Corrigé pas à pas
1. Fonction carré $f(x) = x^2$ :
• Ensemble de définition : $D_f = \mathbb{R}$.
• Variations :
• La fonction carré est décroissante sur $]-\infty; 0]$.
• La fonction carré est croissante sur $[0; +\infty[$.
• Tableau de variations :
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ |
| :---- | :-------- | :-- | :-------- |
| $f(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ $0$ | $\nearrow$ $+\infty$ |
• Courbe représentative : C'est une parabole dont le sommet est l'origine $(0;0)$, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ouverte vers le haut.

2. Résolution de l'inéquation $x^2 \le 9$ :
On cherche les valeurs de $x$ telles que $x^2$ est inférieur ou égal à $9$.
On sait que $3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$.
En utilisant les variations de la fonction carré :
• Sur $]-\infty; 0]$, la fonction est décroissante. Si $x \le -3$, alors $x^2 \ge (-3)^2 = 9$. Donc les $x$ tels que $x^2 \le 9$ sont dans $[-3; 0]$.
• Sur $[0; +\infty[$, la fonction est croissante. Si $x \le 3$, alors $x^2 \le 3^2 = 9$. Donc les $x$ tels que $x^2 \le 9$ sont dans $[0; 3]$.
En combinant ces deux intervalles, les solutions de l'inéquation $x^2 \le 9$ sont les $x$ appartenant à l'intervalle $[-3; 3]$.
L'ensemble des solutions est $S = [-3; 3]$.

Erreurs fréquentes
Oublier que l'ensemble de définition de la fonction inverse $f(x) = 1/x$ est $\mathbb{R}^*$ (on ne peut pas diviser par zéro).
Oublier que l'ensemble de définition de la fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ est $[0; +\infty[$ (on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif dans les réels).
Ne pas prendre en compte la symétrie de la fonction carré lors de la résolution d'inéquations (par exemple, $x^2 \le 9$ a des solutions négatives et positives).

Déterminer l'image d'un nombre par une fonction donnée par son expression algébrique

1. 1. Identifier l'expression de la fonction : Repérer la formule $f(x)$ qui définit la fonction.
2. 2. Vérifier l'appartenance à l'ensemble de définition : S'assurer que le nombre dont on cherche l'image est bien dans l'ensemble de définition de la fonction (par exemple, pas de division par zéro ou de racine carrée d'un nombre négatif).
3. 3. Substituer la variable : Remplacer chaque occurrence de la variable $x$ dans l'expression de $f(x)$ par le nombre donné.
4. 4. Calculer la valeur : Effectuer les opérations numériques pour obtenir le résultat final, qui est l'image.

Exemple
Soit la fonction $f(x) = -2x^2 + 5x - 3$. Déterminer l'image de $-1$ par $f$.

Corrigé pas à pas
1. Identifier l'expression de la fonction : $f(x) = -2x^2 + 5x - 3$.
2. Vérifier l'appartenance à l'ensemble de définition : L'ensemble de définition de cette fonction polynomiale est $\mathbb{R}$. Le nombre $-1$ appartient bien à $\mathbb{R}$.
3. Substituer la variable : On remplace $x$ par $-1$ :
$f(-1) = -2(-1)^2 + 5(-1) - 3$
4. Calculer la valeur :
$f(-1) = -2(1) - 5 - 3$
$f(-1) = -2 - 5 - 3$
$f(-1) = -10$
L'image de $-1$ par la fonction $f$ est $-10$.

Déterminer les antécédents d'un nombre par une fonction donnée par son expression algébrique

1. 1. Identifier l'expression de la fonction et le nombre cible : Repérer la formule $f(x)$ et le nombre $y_0$ dont on cherche les antécédents.
2. 2. Poser l'équation : Écrire l'équation $f(x) = y_0$.
3. 3. Résoudre l'équation : Utiliser les techniques de résolution d'équations (linéaires, du second degré, avec fractions, etc.) pour trouver les valeurs de $x$. Si l'équation n'a pas de solution, il n'y a pas d'antécédent.
4. 4. Vérifier l'appartenance à l'ensemble de définition : Pour chaque solution trouvée, s'assurer qu'elle appartient à l'ensemble de définition de la fonction.

Exemple
Soit la fonction $g(x) = 4x - 7$. Déterminer l'antécédent de $5$ par $g$.

Corrigé pas à pas
1. Identifier l'expression de la fonction et le nombre cible : $g(x) = 4x - 7$, et le nombre cible est $y_0 = 5$.
2. Poser l'équation : On cherche $x$ tel que $g(x) = 5$, donc :
$4x - 7 = 5$
3. Résoudre l'équation :
$4x = 5 + 7$
$4x = 12$
$x = \frac{12}{4}$
$x = 3$
4. Vérifier l'appartenance à l'ensemble de définition : L'ensemble de définition de $g$ est $\mathbb{R}$. Le nombre $3$ appartient bien à $\mathbb{R}$.
L'antécédent de $5$ par la fonction $g$ est $3$.

Lire graphiquement les images, antécédents et variations d'une fonction

1. 1. Pour lire l'image de $x_0$ :
   • Placer $x_0$ sur l'axe des abscisses.
   • Tracer une droite verticale passant par $x_0$ jusqu'à ce qu'elle rencontre la courbe de la fonction.
   • À partir de ce point d'intersection, tracer une droite horizontale jusqu'à l'axe des ordonnées. La valeur lue sur l'axe des ordonnées est $f(x_0)$.
2. 2. Pour lire les antécédents de $y_0$ :
   • Placer $y_0$ sur l'axe des ordonnées.
   • Tracer une droite horizontale passant par $y_0$ jusqu'à ce qu'elle rencontre la courbe de la fonction (il peut y avoir plusieurs points d'intersection, ou aucun).
   • À partir de chaque point d'intersection, tracer une droite verticale jusqu'à l'axe des abscisses. Les valeurs lues sur l'axe des abscisses sont les antécédents de $y_0$.
3. 3. Pour lire les variations :
   • Parcourir la courbe de gauche à droite.
   • Si la courbe monte, la fonction est croissante sur l'intervalle des abscisses correspondant.
   • Si la courbe descend, la fonction est décroissante sur l'intervalle des abscisses correspondant.
   • Identifier les points où la courbe change de sens pour trouver les extremums (maximums et minimums).

Exemple
On considère la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-4; 4]$. La courbe part du point $(-4; 1)$, monte jusqu'au point $(-2; 3)$, descend jusqu'au point $(1; -2)$, puis remonte jusqu'au point $(4; 2)$.
1. Estimer $f(0)$.
2. Estimer les antécédents de $1$.
3. Décrire les variations de $f$.

Corrigé pas à pas
1. Estimer $f(0)$ :
On se place sur l'axe des abscisses à $x=0$. On remonte verticalement jusqu'à la courbe. Le point d'intersection se situe entre $y=0$ et $y=1$ (puisque la courbe descend de $(-2;3)$ à $(1;-2)$). On estime $f(0) \approx 0,5$.

2. Estimer les antécédents de $1$ :
On se place sur l'axe des ordonnées à $y=1$. On trace une horizontale. Cette droite coupe la courbe en deux points :
• Un premier point dont l'abscisse est $x=-4$ (le point de départ).
• Un second point dont l'abscisse se situe entre $x=1$ et $x=4$ (puisque la courbe remonte de $(1;-2)$ à $(4;2)$). On estime cette abscisse à environ $x=3$.
Les antécédents de $1$ sont donc $-4$ et environ $3$.

3. Décrire les variations de $f$ :
• Sur l'intervalle $[-4; -2]$, la fonction est croissante (la courbe monte de $y=1$ à $y=3$).
• Sur l'intervalle $[-2; 1]$, la fonction est décroissante (la courbe descend de $y=3$ à $y=-2$).
• Sur l'intervalle $[1; 4]$, la fonction est croissante (la courbe monte de $y=-2$ à $y=2$).
Le maximum local est $3$ (en $x=-2$), le minimum local est $-2$ (en $x=1$). Le maximum global est $3$ et le minimum global est $-2$ sur l'intervalle $[-4;4]$.

Généralités sur les fonctions

• Image de $x$ par $f$ : $f(x)$ (valeur sur l'axe des ordonnées).
• Antécédent de $y$ par $f$ : $x$ tel que $f(x)=y$ (valeur sur l'axe des abscisses).
• Ensemble de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ est calculable.
• Fonction croissante : Si $a < b$, alors $f(a) \le f(b)$ (conserve l'ordre).
• Fonction décroissante : Si $a < b$, alors $f(a) \ge f(b)$ (inverse l'ordre).
• Extremums : Maximum ou minimum de la fonction sur un intervalle.

Fonctions de référence

• Fonction affine : $f(x) = ax+b$
  • $D_f = \mathbb{R}$
  • Variations : Croissante si $a>0$, Décroissante si $a<0$, Constante si $a=0$.
• Fonction carré : $f(x) = x^2$
  • $D_f = \mathbb{R}$
  • Variations : Décroissante sur $]-\infty; 0]$, Croissante sur $[0; +\infty[$.
  • Minimum en $0$ ($f(0)=0$).
• Fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$
  $D_f = \mathbb{R}^ = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$
  • Variations : Décroissante sur $]-\infty; 0[$, Décroissante sur $]0; +\infty[$.
• Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$
  • $D_f = [0; +\infty[$
  • Variations : Croissante sur $[0; +\infty[$.
  • Minimum en $0$ ($f(0)=0$).
• Tableau de variations des fonctions de référence :
  
  Fonction carré $f(x) = x^2$ :
  | $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ |
  | :---- | :-------- | :-- | :-------- |
  | $f(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ $0$ | $\nearrow$ $+\infty$ |
  
  Fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ :
  | $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ |
  | :---- | :-------- | :-- | :-------- |
  | $f(x)$ | $0$ | $\searrow$ $-\infty$ || $+\infty$ $\searrow$ $0$ |
  
  Fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ :
  | $x$ | $0$ | $+\infty$ |
  | :---- | :-- | :-------- |
  | $f(x)$ | $0$ | $\nearrow$ $+\infty$ |