Statistiques descriptives : indicateurs de position et de dispersion

Indicateurs de position : Moyenne, Médiane et Quartiles

Pour une série statistique quantitative discrète ordonnée par valeurs croissantes $(x_1 \le x_2 \le \dots \le x_N)$ d'effectif total $N$ :
- La moyenne pondérée $\bar{x}$ est la somme de toutes les valeurs pondérées par leurs effectifs $n_i$, divisée par l'effectif total $N$ : $$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i$$
- La médiane $Me$ est une valeur qui partage la population en deux groupes de même effectif, telle qu'au moins 50\% des données soient inférieures ou égales à $Me$ et au moins 50\% soient supérieures ou égales à $Me$.
- Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25\% des données soient inférieures ou égales à $Q_1$ (rang $k = \lceil 0{,}25 \times N \rceil$).
- Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75\% des données soient inférieures ou égales à $Q_3$ (rang $k = \lceil 0{,}75 \times N \rceil$).

Méthode
Ordonner impérativement les données par ordre croissant.
Déterminer l'effectif total $N$. Calculer les effectifs cumulés croissants si la série est donnée sous forme de tableau.
Pour la médiane : si $N$ est impair ($N = 2k+1$), la médiane est la valeur de rang $k+1$. Si $N$ est pair ($N = 2k$), la médiane est la demi-somme des valeurs de rang $k$ et $k+1$.
Pour les quartiles : calculer $0{,}25 \times N$ et $0{,}75 \times N$. Si le produit n'est pas un entier, arrondir à l'entier supérieur pour obtenir le rang ; s'il est entier, le rang est cet entier.

Exemple
On considère la série ordonnée des 10 valeurs suivantes : $4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 18, 20$. Déterminer la moyenne, la médiane, le premier quartile et le troisième quartile.

Corrigé pas à pas
1. Moyenne : $$\bar{x} = \frac{4 + 6 + 7 + 9 + 10 + 12 + 13 + 15 + 18 + 20}{10} = \frac{114}{10} = 11{,}4$$
2. Médiane : $N = 10$ (pair). La médiane est la moyenne entre la 5-ième valeur ($10$) et la 6-ième valeur ($12$) : $$Me = \frac{10 + 12}{2} = 11$$
3. Premier quartile : $0{,}25 \times 10 = 2{,}5$. On arrondit à l'entier supérieur, soit le 3-ième terme : $$Q_1 = 7$$
4. Troisième quartile : $0{,}75 \times 10 = 7{,}5$. On arrondit à l'entier supérieur, soit le 8-ième terme : $$Q_3 = 15$$

Erreurs fréquentes
Calculer la médiane ou les quartiles sans ordonner préalablement les valeurs de la série.
Confondre le rang d'une valeur (sa position dans la liste) avec la valeur elle-même ($Q_1$ est une valeur de la série, pas le nombre $0{,}25 \times N$).
Penser que la médiane est toujours égale à la moyenne : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes alors que la médiane est un indicateur robuste.

Indicateurs de dispersion : Étendue, Écart interquartile, Variance et Écart-type

Les indicateurs de dispersion mesurent l'étalement des données autour des indicateurs de position :
- L'étendue $e$ est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale : $e = x_{\max} - x_{\min}$.
- L'écart interquartile est la différence $I = Q_3 - Q_1$. Il contient au moins 50\% des données centrales.
- La variance $V$ est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $$V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i (x_i - \bar{x})^2 = \left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i^2\right) - \bar{x}^2$$
- L'écart-type $\sigma$ est la racine carrée de la variance : $\sigma = \sqrt{V}$. Il s'exprime dans la même unité que les valeurs de la série.

Méthode
Pour l'écart interquartile : calculer d'abord $Q_1$ et $Q_3$, puis effectuer la soustraction $Q_3 - Q_1$.
Pour la variance : calculer d'abord la moyenne $\bar{x}$, puis appliquer soit la définition en sommant les $n_i(x_i - \bar{x})^2$, soit la formule développée (moyenne des carrés moins le carré de la moyenne).
Pour l'écart-type : prendre la racine carrée de la variance $\sigma = \sqrt{V}$.
Associer les couples d'indicateurs : le couple $(\bar{x}, \sigma)$ pour une analyse basée sur la moyenne, et le couple $(Me, Q_3 - Q_1)$ pour une analyse robuste aux valeurs extrêmes.

Exemple
Soit la série statistique suivante donnant le nombre de pièces défectueuses par lot : $1, 2, 2, 3, 7$. Calculer l'étendue, l'écart interquartile, la moyenne et l'écart-type de cette série.

Corrigé pas à pas
1. Étendue : $e = 7 - 1 = 6$.
2. Quartiles et écart interquartile : $N = 5$.
- $0{,}25 \times 5 = 1{,}25 \implies Q_1$ est la 2-ième valeur, soit $Q_1 = 2$.
- $0{,}75 \times 5 = 3{,}75 \implies Q_3$ est la 4-ième valeur, soit $Q_3 = 3$.
- Écart interquartile : $I = Q_3 - Q_1 = 3 - 2 = 1$.
3. Moyenne : $$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 2 + 3 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3$$
4. Variance et écart-type : $$V = \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (7-3)^2}{5} = \frac{(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 4^2}{5} = \frac{4 + 1 + 1 + 0 + 16}{5} = \frac{22}{5} = 4{,}4$$$$\sigma = \sqrt{4{,}4} \approx 2{,}10$$

Erreurs fréquentes
Oublier de prendre la racine carrée de la variance pour obtenir l'écart-type.
Effectuer le calcul de la variance sans élever les écarts $(x_i - \bar{x})$ au carré, ce qui donnerait toujours 0 car la somme des écarts algébriques à la moyenne est nulle.
Confondre l'écart interquartile $Q_3 - Q_1$ (un nombre réel) avec l'intervalle interquartile $[Q_1 ; Q_3]$.

Calculer la moyenne et l'écart-type à partir d'un tableau d'effectifs

1. Ajouter une colonne ou ligne pour les produits $n_i \times x_i$ et une pour les produits $n_i \times x_i^2$.
2. Calculer l'effectif total $N = \sum n_i$.
3. Calculer la somme $\sum n_i x_i$ et en déduire la moyenne $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$.
4. Calculer la somme $\sum n_i x_i^2$, puis déterminer la variance par la formule $V = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2$.
5. Calculer l'écart-type en appliquant la racine carrée : $\sigma = \sqrt{V}$.

Exemple
On donne le tableau suivant répertoriant le nombre d'erreurs commises par 20 candidats lors d'une épreuve pratique :
- Valeur $x_i$ : 0 (effectif $n_i = 8$)
- Valeur $x_i$ : 1 (effectif $n_i = 7$)
- Valeur $x_i$ : 2 (effectif $n_i = 3$)
- Valeur $x_i$ : 3 (effectif $n_i = 2$)
Calculer la moyenne $\bar{x}$ et l'écart-type $\sigma$ de cette distribution.

Corrigé pas à pas
1. Effectif total : $$N = 8 + 7 + 3 + 2 = 20$$
2. Somme des produits $n_i x_i$ : $$\sum n_i x_i = (8 \times 0) + (7 \times 1) + (3 \times 2) + (2 \times 3) = 0 + 7 + 6 + 6 = 19$$
3. Moyenne : $$\bar{x} = \frac{19}{20} = 0{,}95$$
4. Somme des produits $n_i x_i^2$ : $$\sum n_i x_i^2 = (8 \times 0^2) + (7 \times 1^2) + (3 \times 2^2) + (2 \times 3^2) = 0 + 7 + 12 + 18 = 37$$
5. Variance : $$V = \frac{37}{20} - (0{,}95)^2 = 1{,}85 - 0{,}9025 = 0{,}9475$$
6. Écart-type : $$\sigma = \sqrt{0{,}9475} \approx 0{,}973$$

Déterminer la médiane et les quartiles à l'aide des effectifs cumulés croissants (ECC)

1. Calculer la ligne des effectifs cumulés croissants (ECC) en additionnant successivement les effectifs.
2. Identifier l'effectif total $N$.
3. Pour la médiane : chercher la première modalité dont l'ECC est supérieur ou égal à $\frac{N}{2}$ (pour $N$ impair, rang $\frac{N+1}{2}$).
4. Pour le premier quartile $Q_1$ : chercher la première modalité dont l'ECC est supérieur ou égal à $0{,}25 \times N$.
5. Pour le troisième quartile $Q_3$ : chercher la première modalité dont l'ECC est supérieur ou égal à $0{,}75 \times N$.

Exemple
Une enquête porte sur le nombre d'écrans par foyer auprès de 50 ménages :
- 1 écran : 10 ménages
- 2 écrans : 15 ménages
- 3 écrans : 18 ménages
- 4 écrans : 7 ménages
Déterminer $Me$, $Q_1$ et $Q_3$ à l'aide des effectifs cumulés.

Corrigé pas à pas
1. Tableau des ECC :
- Pour 1 écran : $\text{ECC} = 10$
- Pour 2 écrans : $\text{ECC} = 10 + 15 = 25$
- Pour 3 écrans : $\text{ECC} = 25 + 18 = 43$
- Pour 4 écrans : $\text{ECC} = 43 + 7 = 50$
2. Médiane : $N = 50$, $\frac{N}{2} = 25$. La 25-ième valeur est 2 et la 26-ième valeur est 3 (car l'ECC atteint 25 pour la valeur 2 et passe à 43 pour la valeur 3). Donc : $$Me = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5$$
3. Premier quartile $Q_1$ : $0{,}25 \times 50 = 12{,}5$. La plus petite valeur dont l'ECC est $\ge 12{,}5$ est 2 (ECC = 25). Donc $Q_1 = 2$.
4. Troisième quartile $Q_3$ : $0{,}75 \times 50 = 37{,}5$. La plus petite valeur dont l'ECC est $\ge 37{,}5$ est 3 (ECC = 43). Donc $Q_3 = 3$.

Indicateurs de position

• Moyenne : $\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^p n_i x_i$
• Médiane $Me$ : sépare la série ordonnée en deux groupes de même effectif (50\% au-dessous, 50\% au-dessus).
• Premier quartile $Q_1$ : plus petite valeur telle qu'au moins 25\% des données soient inférieures ou égales (rang $\lceil 0{,}25 N \rceil$).
• Troisième quartile $Q_3$ : plus petite valeur telle qu'au moins 75\% des données soient inférieures ou égales (rang $\lceil 0{,}75 N \rceil$).

Indicateurs de dispersion

• Étendue : $e = x_{\max} - x_{\min}$
• Écart interquartile : $I = Q_3 - Q_1$
• Variance : $V = \frac{1}{N}\sum n_i (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{N}\sum n_i x_i^2 - \bar{x}^2$
• Écart-type : $\sigma = \sqrt{V}$ (même unité que les observations)

Effet d'une transformation affine $y_i = a x_i + b$

• Moyenne : $\bar{y} = a \bar{x} + b$
• Médiane : $Me_y = a Me_x + b$ (si $a > 0$)
• Écart-type : $\sigma_y = |a| \sigma_x$ (invariant par addition d'une constante $b$)