Probabilités : loi binomiale, variables aléatoires, loi des grands nombres

Variables aléatoires discrètes : loi de probabilité, espérance, variance et écart-type

Une variable aléatoire discrète est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. L'ensemble des valeurs que peut prendre cette variable est fini ou dénombrable. La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est la donnée de toutes les valeurs $x_i$ que $X$ peut prendre, associées à leurs probabilités respectives $P(X=x_i)$. La somme de ces probabilités doit être égale à 1.

L'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire $X$ est la valeur moyenne que l'on peut s'attendre à obtenir si l'expérience est répétée un grand nombre de fois. Elle est calculée par la formule :
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)$$

La variance $V(X)$ mesure la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance. Une variance élevée indique une grande dispersion. Elle est définie par :
$$V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(X=x_i)$$
Une formule de calcul alternative, souvent plus pratique, est :
$$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$
où $E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(X=x_i)$.

L'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance. Il s'exprime dans la même unité que la variable aléatoire et offre une mesure de dispersion plus intuitive :
$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

Méthode
Identifier toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire et les valeurs $x_i$ que la variable aléatoire $X$ peut prendre.
Calculer la probabilité $P(X=x_i)$ pour chaque valeur $x_i$. Vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.
Calculer l'espérance $E(X)$ en utilisant la formule $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)$.
Calculer la variance $V(X)$ en utilisant l'une des formules : $V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(X=x_i)$ ou $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.
Calculer l'écart-type $\sigma(X)$ en prenant la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Exemple
Un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Si le résultat est un 6, le joueur gagne 10 euros. Si le résultat est un 1, il perd 5 euros. Pour tout autre résultat, il ne gagne ni ne perd rien. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de $X$, son espérance, sa variance et son écart-type.

Corrigé pas à pas
Les issues possibles du lancer de dé sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chaque issue a une probabilité de $\frac{1}{6}$.

1. Valeurs de la variable aléatoire $X$ :
• Si le dé donne 6 : $X = 10$ euros.
• Si le dé donne 1 : $X = -5$ euros.
• Si le dé donne 2, 3, 4, 5 : $X = 0$ euro.

2. Loi de probabilité de $X$ :
• $P(X=10) = P(\text{obtenir un 6}) = \frac{1}{6}$
• $P(X=-5) = P(\text{obtenir un 1}) = \frac{1}{6}$
• $P(X=0) = P(\text{obtenir 2, 3, 4 ou 5}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Vérification : $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{6}{6} = 1$. La loi est bien une loi de probabilité.

Tableau de la loi de probabilité :

| $x_i$ | -5 | 0 | 10 |
| :---------- | :---------- | :---------- | :---------- |
| $P(X=x_i)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{4}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |

3. Espérance $E(X)$ :
$E(X) = (-5) \times \frac{1}{6} + (0) \times \frac{4}{6} + (10) \times \frac{1}{6}$
$E(X) = -\frac{5}{6} + 0 + \frac{10}{6} = \frac{5}{6} \approx 0,83$ euros.
En moyenne, le joueur peut espérer gagner environ 0,83 euro par partie.

4. Variance $V(X)$ :
Utilisons la formule $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.
D'abord, calculons $E(X^2)$ :
$E(X^2) = (-5)^2 \times \frac{1}{6} + (0)^2 \times \frac{4}{6} + (10)^2 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = (25) \times \frac{1}{6} + (0) \times \frac{4}{6} + (100) \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = \frac{25}{6} + 0 + \frac{100}{6} = \frac{125}{6}$

Maintenant, calculons $V(X)$ :
$V(X) = \frac{125}{6} - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{125}{6} - \frac{25}{36}$
$V(X) = \frac{125 \times 6}{36} - \frac{25}{36} = \frac{750 - 25}{36} = \frac{725}{36} \approx 20,14$

5. Écart-type $\sigma(X)$ :
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{725}{36}} = \frac{\sqrt{725}}{6} \approx \frac{26,93}{6} \approx 4,49$ euros.

Erreurs fréquentes
Oublier que la somme des probabilités $P(X=x_i)$ doit être égale à 1.
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$ lors du calcul de la variance.
Ne pas comprendre l'interprétation de l'espérance (valeur moyenne attendue) ou de l'écart-type (dispersion autour de la moyenne).

Loi binomiale : schéma de Bernoulli, paramètres et calcul de probabilités

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne possède que deux issues possibles : un 'succès' (noté $S$) et un 'échec' (noté $\bar{S}$). La probabilité du succès est notée $p$, et celle de l'échec est $1-p$.

Un schéma de Bernoulli est la répétition $n$ fois d'une même épreuve de Bernoulli, de manière identique et indépendante. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès obtenus au cours de ces $n$ répétitions suit une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité de succès à chaque épreuve). On la note $X \sim B(n, p)$.

La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès sur $n$ répétitions est donnée par la formule :
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
où $\binom{n}{k}$ (lu 'k parmi n') est le coefficient binomial, représentant le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ épreuves. Il est calculé par $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n, p)$ :
• L'espérance est $E(X) = np$.
• La variance est $V(X) = np(1-p)$.
• L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.

Méthode
Identifier si la situation correspond à un schéma de Bernoulli : répétition d'épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant deux issues (succès/échec).
Définir le succès et l'échec, et déterminer la probabilité $p$ du succès pour une seule épreuve.
Déterminer le nombre $n$ de répétitions de l'épreuve.
La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès suit alors une loi binomiale $B(n, p)$.
Pour calculer $P(X=k)$, utiliser la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
Pour calculer l'espérance, la variance ou l'écart-type, utiliser les formules $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.

Exemple
Un tireur à l'arc atteint sa cible avec une probabilité de 0,7 à chaque tir. Il effectue 5 tirs, de manière indépendante. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où le tireur atteint la cible.
1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité que le tireur atteigne la cible exactement 3 fois.
3. Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$. Interpréter l'espérance.

Corrigé pas à pas
1. Justification de la loi binomiale et paramètres :
• L'expérience est la répétition de 5 tirs. Chaque tir est une épreuve de Bernoulli.
• Pour chaque tir, il y a deux issues possibles : 'succès' (atteindre la cible) ou 'échec' (ne pas atteindre la cible).
• La probabilité de succès est $p = 0,7$. La probabilité d'échec est $1-p = 1-0,7 = 0,3$.
• Les tirs sont indépendants les uns des autres.
• La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès (cibles atteintes) sur les 5 tirs.
Ces conditions définissent un schéma de Bernoulli. Donc, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,7$. On note $X \sim B(5, 0,7)$.

2. Probabilité d'atteindre la cible exactement 3 fois :
On cherche $P(X=3)$. En utilisant la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ :
$P(X=3) = \binom{5}{3} (0,7)^3 (0,3)^{5-3}$
$P(X=3) = \binom{5}{3} (0,7)^3 (0,3)^2$
Calculons le coefficient binomial : $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$P(X=3) = 10 \times (0,7)^3 \times (0,3)^2$
$P(X=3) = 10 \times 0,343 \times 0,09$
$P(X=3) = 10 \times 0,03087 = 0,3087$.
La probabilité que le tireur atteigne la cible exactement 3 fois est d'environ 0,3087.

3. Espérance et écart-type de $X$ :
• Espérance : $E(X) = np = 5 \times 0,7 = 3,5$.
Interprétation : Si le tireur effectuait un très grand nombre de séries de 5 tirs, il atteindrait en moyenne la cible 3,5 fois par série.
• Variance : $V(X) = np(1-p) = 5 \times 0,7 \times 0,3 = 3,5 \times 0,3 = 1,05$.
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1,05} \approx 1,02$ (arrondi à 0,01 près).

Erreurs fréquentes
Confondre $n$ et $k$ dans la formule de la loi binomiale.
Oublier de calculer le coefficient binomial $\binom{n}{k}$.
Ne pas vérifier les conditions d'application d'une loi binomiale (indépendance, deux issues, probabilité constante).

Loi des grands nombres

La loi des grands nombres est un théorème fondamental des probabilités qui établit un lien entre les probabilités théoriques et les fréquences observées lors d'une série d'expériences aléatoires. Elle stipule que, lorsque l'on répète un grand nombre de fois une même expérience aléatoire de manière indépendante, la fréquence d'apparition d'un événement tend à se stabiliser autour de la probabilité théorique de cet événement.

Plus formellement, si $X_1, X_2, ..., X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (c'est-à-dire qu'elles suivent la même loi de probabilité) et possèdent une espérance $E(X)$, alors la moyenne des observations $\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ converge en probabilité vers $E(X)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

En d'autres termes, la loi des grands nombres justifie l'utilisation des fréquences observées sur un grand nombre d'expériences pour estimer les probabilités théoriques d'un phénomène. Elle est le fondement de nombreuses applications statistiques et de la modélisation probabiliste.

Méthode
Comprendre que la loi des grands nombres est un principe théorique qui explique le comportement des fréquences sur le long terme.
Identifier une situation où une expérience aléatoire est répétée un grand nombre de fois de manière indépendante.
Reconnaître que la fréquence observée d'un événement dans cette série d'expériences se rapprochera de la probabilité théorique de cet événement à mesure que le nombre de répétitions augmente.

Exemple
On lance une pièce de monnaie équilibrée un grand nombre de fois. On observe la fréquence d'apparition de 'Pile'. Que peut-on dire de cette fréquence à mesure que le nombre de lancers augmente ?

Corrigé pas à pas
La probabilité théorique d'obtenir 'Pile' avec une pièce équilibrée est $p = 0,5$. Selon la loi des grands nombres, si l'on lance la pièce un très grand nombre de fois, la fréquence d'apparition de 'Pile' (c'est-à-dire le nombre de 'Pile' divisé par le nombre total de lancers) va tendre vers cette probabilité théorique de 0,5. Autrement dit, plus on lance la pièce, plus la proportion de 'Pile' observée se rapprochera de 50%.

Erreurs fréquentes
Croire que la loi des grands nombres garantit un équilibre sur un petit nombre d'expériences (par exemple, après 3 'Pile' consécutifs, penser qu'un 'Face' est 'dû' au prochain lancer). C'est une erreur connue sous le nom d'« erreur du parieur ».
Confondre la loi des grands nombres avec le fait que les événements rares ne se produisent jamais. La loi des grands nombres parle de la fréquence sur le long terme, pas de l'impossibilité d'événements particuliers sur le court terme.

Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète

1. Étape 1 : Déterminer la loi de probabilité. Lister toutes les valeurs $x_i$ que la variable aléatoire $X$ peut prendre et calculer la probabilité $P(X=x_i)$ associée à chacune. Présenter ces informations sous forme de tableau.
2. Étape 2 : Calculer l'espérance $E(X)$. Appliquer la formule $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)$. Il s'agit de la somme des produits de chaque valeur par sa probabilité.
3. Étape 3 : Calculer $E(X^2)$. Calculer la somme des produits des carrés de chaque valeur par sa probabilité : $E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(X=x_i)$.
4. Étape 4 : Calculer la variance $V(X)$. Utiliser la formule $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.
5. Étape 5 : Calculer l'écart-type $\sigma(X)$. Prendre la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Exemple
Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

| $x_i$ | 1 | 2 | 3 |
| :---------- | :---------- | :---------- | :---------- |
| $P(X=x_i)$ | 0,2 | 0,5 | 0,3 |

Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Loi de probabilité. Elle est déjà donnée.

Étape 2 : Calcul de l'espérance $E(X)$.
$E(X) = (1 \times 0,2) + (2 \times 0,5) + (3 \times 0,3)$
$E(X) = 0,2 + 1,0 + 0,9 = 2,1$

Étape 3 : Calcul de $E(X^2)$.
$E(X^2) = (1^2 \times 0,2) + (2^2 \times 0,5) + (3^2 \times 0,3)$
$E(X^2) = (1 \times 0,2) + (4 \times 0,5) + (9 \times 0,3)$
$E(X^2) = 0,2 + 2,0 + 2,7 = 4,9$

Étape 4 : Calcul de la variance $V(X)$.
$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$
$V(X) = 4,9 - (2,1)^2$
$V(X) = 4,9 - 4,41 = 0,49$

Étape 5 : Calcul de l'écart-type $\sigma(X)$.
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0,49} = 0,7$

Calculer des probabilités avec la loi binomiale

1. Étape 1 : Vérifier les conditions d'application de la loi binomiale. Assurez-vous que l'expérience est une répétition $n$ fois d'une épreuve de Bernoulli (deux issues : succès/échec) de manière identique et indépendante.
2. Étape 2 : Identifier les paramètres $n$ et $p$. $n$ est le nombre de répétitions, $p$ est la probabilité de succès pour une seule épreuve.
3. Étape 3 : Définir la variable aléatoire $X$. $X$ compte le nombre de succès et suit $B(n, p)$.
4. Étape 4 : Appliquer la formule de probabilité. Pour calculer $P(X=k)$, où $k$ est le nombre de succès souhaité, utiliser la formule :
   $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
   N'oubliez pas de calculer le coefficient binomial $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
5. Étape 5 : Pour des probabilités cumulées ($P(X \le k)$, $P(X \ge k)$), sommer les probabilités individuelles. Par exemple, $P(X \ge k) = P(X=k) + P(X=k+1) + ... + P(X=n)$. Il est parfois plus simple d'utiliser l'événement contraire : $P(X \ge k) = 1 - P(X < k) = 1 - P(X \le k-1)$.

Exemple
Un appareil électronique a une probabilité de 0,9 de fonctionner correctement. On teste 4 appareils de manière indépendante. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 appareils fonctionnent correctement ?

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Conditions d'application.
• Répétition de 4 tests (épreuves).
• Chaque test a deux issues : 'succès' (fonctionne correctement) ou 'échec' (ne fonctionne pas).
• Les tests sont indépendants.
Les conditions sont remplies pour une loi binomiale.

Étape 2 : Paramètres $n$ et $p$.
• Nombre de répétitions $n=4$.
• Probabilité de succès (fonctionner correctement) $p=0,9$.
• Probabilité d'échec $1-p = 1-0,9 = 0,1$.

Étape 3 : Variable aléatoire $X$.
$X$ est le nombre d'appareils fonctionnant correctement sur les 4 testés. $X \sim B(4, 0,9)$.

Étape 4 : Calcul de $P(X=3)$.
On cherche $P(X=3)$.
$P(X=3) = \binom{4}{3} (0,9)^3 (0,1)^{4-3}$
$P(X=3) = \binom{4}{3} (0,9)^3 (0,1)^1$
Calcul du coefficient binomial : $\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.
$P(X=3) = 4 \times (0,9)^3 \times 0,1$
$P(X=3) = 4 \times 0,729 \times 0,1$
$P(X=3) = 4 \times 0,0729 = 0,2916$.

La probabilité qu'exactement 3 appareils fonctionnent correctement est 0,2916.

Variables aléatoires discrètes

• Loi de probabilité : Ensemble des valeurs $x_i$ et de leurs probabilités $P(X=x_i)$. $\sum P(X=x_i) = 1$.
• Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)$ (valeur moyenne attendue).
• Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ avec $E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(X=x_i)$ (mesure de dispersion).
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ (dispersion dans l'unité de $X$).

Loi binomiale $B(n, p)$

• Conditions : $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli (2 issues : succès/échec) avec probabilité de succès $p$.
• Probabilité de $k$ succès : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
• Coefficient binomial : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• Espérance : $E(X) = np$.
• Variance : $V(X) = np(1-p)$.
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.

Loi des grands nombres

• La fréquence observée d'un événement tend vers sa probabilité théorique lorsque le nombre de répétitions de l'expérience augmente indéfiniment.
• La moyenne des résultats d'une série de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge vers l'espérance de ces variables.