Aires et volumes (dont sphère, cône, pyramide)

1. Les aires des figures planes usuelles

L'aire d'une figure plane est la mesure de sa surface. Elle s'exprime en unités de surface (par exemple, des centimètres carrés $cm^2$, des mètres carrés $m^2$).

Méthode
Identifiez la figure plane dont vous souhaitez calculer l'aire (carré, rectangle, triangle, disque...).
Notez les dimensions nécessaires (côté, longueur, largeur, base, hauteur, rayon).
Choisissez la formule d'aire appropriée à la figure.
Remplacez les lettres de la formule par les valeurs numériques.
Effectuez le calcul et n'oubliez pas d'indiquer l'unité de surface appropriée.

Exemple
Calculez l'aire d'un disque de rayon $R = 5$ cm.

Corrigé pas à pas
La formule de l'aire d'un disque est $A = \pi \times R^2$.
Ici, $R = 5$ cm.
$A = \pi \times 5^2$
$A = \pi \times 25$
$A \approx 3,14159 \times 25$
$A \approx 78,54$ cm$^2$.
L'aire du disque est d'environ $78,54$ cm$^2$.

Erreurs fréquentes
Confondre l'aire (surface) avec le périmètre (longueur du contour).
Oublier de mettre l'unité de surface au carré (par exemple, écrire cm au lieu de $cm^2$).
Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans la formule de l'aire du disque ($R^2$ au lieu de $(D/2)^2$).
Oublier de diviser par 2 pour l'aire d'un triangle.

2. Les volumes des solides usuels (prismes droits et cylindres)

Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe. Il s'exprime en unités de volume (par exemple, des centimètres cubes $cm^3$, des mètres cubes $m^3$). Le litre (L) est une unité usuelle courante, avec $1 L = 1 dm^3$.

Méthode
Identifiez le solide dont vous souhaitez calculer le volume (pavé droit, prisme droit, cylindre).
Calculez l'aire de la base ($A_{base}$) du solide. La base est l'une des deux faces parallèles et identiques.
Mesurez la hauteur ($h$) du solide, c'est-à-dire la distance entre les deux bases.
Appliquez la formule générale du volume pour ces solides : $V = A_{base} \times h$.
Effectuez le calcul et n'oubliez pas d'indiquer l'unité de volume appropriée.

Exemple
Calculez le volume d'un cylindre de rayon $R = 3$ cm et de hauteur $h = 10$ cm.

Corrigé pas à pas
La base du cylindre est un disque. L'aire de la base est $A_{base} = \pi \times R^2$.
Ici, $R = 3$ cm.
$A_{base} = \pi \times 3^2 = 9\pi$ cm$^2$.
La hauteur du cylindre est $h = 10$ cm.
La formule du volume d'un cylindre est $V = A_{base} \times h = \pi \times R^2 \times h$.
$V = 9\pi \times 10 = 90\pi$ cm$^3$.
$V \approx 90 \times 3,14159 \approx 282,74$ cm$^3$.
Le volume du cylindre est d'environ $282,74$ cm$^3$.

Erreurs fréquentes
Confondre l'unité de volume ($cm^3$) avec l'unité d'aire ($cm^2$) ou de longueur (cm).
Oublier de calculer l'aire de la base avant de la multiplier par la hauteur.
Utiliser le diamètre au lieu du rayon pour calculer l'aire de la base d'un cylindre.

3. Les volumes des pyramides, cônes et sphères

Ces solides ont des formules de volume spécifiques, différentes des prismes et cylindres car ils se terminent en pointe (pyramide, cône) ou sont entièrement courbes (sphère).

Méthode
Identifiez le solide : pyramide, cône ou sphère.
Pour une pyramide ou un cône :
- Calculez l'aire de la base ($A_{base}$).
- Mesurez la hauteur ($h$) du solide (distance perpendiculaire entre le sommet et le plan de la base).
- Appliquez la formule $V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$.
Pour une sphère :
- Mesurez le rayon ($R$) de la sphère.
- Appliquez la formule $V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$.
Effectuez le calcul et n'oubliez pas d'indiquer l'unité de volume appropriée.

Exemple
Calculez le volume d'une pyramide à base carrée de côté 4 cm et de hauteur 9 cm.

Corrigé pas à pas
La base est un carré de côté 4 cm. Son aire est $A_{base} = 4 \times 4 = 16$ cm$^2$.
La hauteur de la pyramide est $h = 9$ cm.
La formule du volume d'une pyramide est $V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$.
$V = \frac{1}{3} \times 16 \times 9$
$V = \frac{1}{3} \times 144$
$V = 48$ cm$^3$.
Le volume de la pyramide est de $48$ cm$^3$.

Erreurs fréquentes
Oublier le facteur $\frac{1}{3}$ dans les formules des pyramides et des cônes.
Confondre $R^2$ et $R^3$ dans la formule de la sphère.
Utiliser le diamètre au lieu du rayon pour la sphère ou le cône.
Confondre la hauteur du cône/pyramide avec la longueur d'une arête latérale ou d'une génératrice.

Calculer l'aire d'une figure plane

1. Identifiez la forme de la figure (carré, rectangle, triangle, disque).
2. Notez les dimensions données (côté, longueur, largeur, base, hauteur, rayon).
3. Choisissez la formule d'aire correspondante :
4. - Carré : $A = c \times c = c^2$
5. - Rectangle : $A = L \times l$
6. - Triangle : $A = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$
7. - Disque : $A = \pi \times R^2$
8. Remplacez les variables par les valeurs numériques.
9. Effectuez le calcul et écrivez le résultat avec l'unité de surface appropriée (par exemple, $cm^2$, $m^2$). N'oubliez pas que $\pi \approx 3,14$ si une valeur approchée est demandée.

Exemple
Calculez l'aire d'un rectangle de 12 cm de long et 5 cm de large.

Corrigé pas à pas
1. La figure est un rectangle.
2. Longueur $L = 12$ cm, largeur $l = 5$ cm.
3. La formule est $A = L \times l$.
4. $A = 12 \times 5$.
5. $A = 60$ cm$^2$.
L'aire du rectangle est de $60$ cm$^2$.

Calculer le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre

1. Identifiez la forme de la base du solide (rectangle, carré, triangle, disque...).
2. Calculez l'aire de cette base ($A_{base}$) en utilisant la formule d'aire appropriée (voir fiche précédente).
3. Identifiez la hauteur ($h$) du solide (distance entre les deux bases).
4. Appliquez la formule générale du volume : $V = A_{base} \times h$.
5. Remplacez les variables par les valeurs numériques.
6. Effectuez le calcul et écrivez le résultat avec l'unité de volume appropriée (par exemple, $cm^3$, $m^3$). Pour les cylindres, utilisez $\pi \approx 3,14$ si une valeur approchée est demandée.

Exemple
Calculez le volume d'un prisme droit dont la base est un triangle de 6 cm de base et 4 cm de hauteur, et dont la hauteur du prisme est 10 cm.

Corrigé pas à pas
1. La base est un triangle.
2. Aire de la base : $A_{base} = \frac{6 \times 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$ cm$^2$.
3. Hauteur du prisme $h = 10$ cm.
4. Formule du volume : $V = A_{base} \times h$.
5. $V = 12 \times 10$.
6. $V = 120$ cm$^3$.
Le volume du prisme droit est de $120$ cm$^3$.

Calculer le volume d'une pyramide, d'un cône ou d'une sphère

1. Identifiez le solide (pyramide, cône, sphère).
2. Pour une pyramide ou un cône :
3. - Calculez l'aire de la base ($A_{base}$).
4. - Identifiez la hauteur ($h$) du solide.
5. - Appliquez la formule : $V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$.
6. Pour une sphère :
7. - Identifiez le rayon ($R$) de la sphère.
8. - Appliquez la formule : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$.
9. Remplacez les variables par les valeurs numériques.
10. Effectuez le calcul et écrivez le résultat avec l'unité de volume appropriée ($cm^3$, $m^3$). N'oubliez pas que $\pi \approx 3,14$ si une valeur approchée est demandée.

Exemple
Calculez le volume d'un cône de rayon de base 3 cm et de hauteur 7 cm. Donnez une valeur approchée au dixième près.

Corrigé pas à pas
1. Le solide est un cône.
2. Aire de la base (disque) : $A_{base} = \pi \times R^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi$ cm$^2$.
Hauteur du cône $h = 7$ cm.
Formule du volume : $V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$.
3. $V = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 7$.
4. $V = 3\pi \times 7 = 21\pi$ cm$^3$.
$V \approx 21 \times 3,14159 \approx 65,97$ cm$^3$.
Arrondi au dixième : $V \approx 66,0$ cm$^3$.
Le volume du cône est d'environ $66,0$ cm$^3$.

Aires des figures planes

• Carré de côté $c$: $A = c^2$
• Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$: $A = L \times l$
• Triangle de base $b$ et hauteur $h$: $A = \frac{b \times h}{2}$
• Disque de rayon $R$: $A = \pi \times R^2$

Volumes des solides

• Prisme droit ou Cylindre d'aire de base $A_{base}$ et hauteur $h$: $V = A_{base} \times h$
• Cylindre de rayon $R$ et hauteur $h$: $V = \pi \times R^2 \times h$
• Pyramide d'aire de base $A_{base}$ et hauteur $h$: $V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$
• Cône de rayon de base $R$ et hauteur $h$: $V = \frac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$
• Sphère de rayon $R$: $V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$

Unités

• Unités d'aire: $mm^2, cm^2, dm^2, m^2, km^2$ (chaque unité est 100 fois plus grande que la précédente).
• Unités de volume: $mm^3, cm^3, dm^3, m^3, km^3$ (chaque unité est 1000 fois plus grande que la précédente).
• Relations usuelles: $1 L = 1 dm^3 = 1000 cm^3$.