Grandeurs et mesures : longueurs, aires, durées

Longueurs et périmètres

La longueur mesure une dimension linéaire (segment, distance). L'unité de base est le mètre ($\text{m}$). Le périmètre d'une figure fermée est la longueur totale de son contour.

Méthode
Pour convertir des longueurs, on multiplie ou on divise par $10$ à chaque changement de rang : $1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm} = 1\,000\text{ mm}$ et $1\text{ km} = 1\,000\text{ m}$.
Pour calculer le périmètre d'un polygone, on additionne les longueurs de tous ses côtés exprimées dans la même unité : $\mathcal{P} = \text{somme des côtés}$.
Pour un rectangle de longueur $L$ et largeur $l$ : $\mathcal{P} = 2 \times (L + l)$.
Pour un carré de côté $c$ : $\mathcal{P} = 4 \times c$.
Pour un cercle de rayon $r$ (ou de diamètre $d = 2r$) : $\mathcal{P} = 2 \times \pi \times r = \pi \times d$.

Exemple
Un terrain rectangulaire mesure $45\text{ m}$ de long et $250\text{ dm}$ de large. Calcule son périmètre en mètres.

Corrigé pas à pas
On commence par convertir toutes les dimensions dans la même unité : la largeur est $l = 250\text{ dm} = 250 \div 10 = 25\text{ m}$. La longueur est $L = 45\text{ m}$. On applique la formule du périmètre du rectangle : $\mathcal{P} = 2 \times (L + l) = 2 \times (45 + 25) = 2 \times 70 = 140\text{ m}$. Le terrain a un périmètre de $140\text{ m}$.

Erreurs fréquentes
Additionner des dimensions sans les avoir converties dans la même unité au préalable (ex. ajouter directement des mètres et des centimètres).
Confondre le rayon $r$ et le diamètre $d$ dans la formule du périmètre du cercle : le diamètre vaut $2 \times r$.

Aires des figures usuelles

L'aire mesure la surface occupée par une figure plane. L'unité principale est le mètre carré ($\text{m}^2$), qui correspond à l'aire d'un carré de $1\text{ m}$ de côté.

Méthode
Pour convertir des aires, on multiplie ou on divise par $100$ ($10^2$) à chaque rang : $1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$ et $1\text{ km}^2 = 1\,000\,000\text{ m}^2$.
Pour un rectangle de longueur $L$ et largeur $l$ : $\mathcal{A} = L \times l$.
Pour un carré de côté $c$ : $\mathcal{A} = c \times c = c^2$.
Pour un triangle de base $b$ et de hauteur associée $h$ : $\mathcal{A} = \frac{b \times h}{2}$.
Pour un disque de rayon $r$ : $\mathcal{A} = \pi \times r^2 = \pi \times r \times r$.

Exemple
Calcule l'aire en $\text{cm}^2$ d'un triangle dont la base mesure $8\text{ cm}$ et la hauteur correspondante mesure $55\text{ mm}$.

Corrigé pas à pas
On convertit la hauteur en centimètres : $h = 55\text{ mm} = 55 \div 10 = 5{,}5\text{ cm}$. On applique la formule de l'aire du triangle : $\mathcal{A} = \frac{b \times h}{2} = \frac{8 \times 5{,}5}{2} = \frac{44}{2} = 22\text{ cm}^2$.

Erreurs fréquentes
Convertir les aires comme des longueurs (ex. penser que $1\text{ m}^2 = 100\text{ cm}^2$ au lieu de $10\,000\text{ cm}^2$).
Oublier de diviser par $2$ dans la formule de l'aire du triangle.
Confondre la formule du périmètre du cercle ($2\pi r$) et celle de l'aire du disque ($\pi r^2$).

Durées et calculs horaires

Le temps se mesure selon un système non décimal appelé système sexagésimal (base 60) : $1\text{ jour} = 24\text{ h}$, $1\text{ h} = 60\text{ min}$ et $1\text{ min} = 60\text{ s}$. Donc $1\text{ h} = 3\,600\text{ s}$.

Méthode
Pour passer des heures aux minutes, on multiplie par $60$. Pour passer des minutes aux heures, on divise par $60$.
Pour convertir une durée décimale en heures et minutes (ex. $2{,}4\text{ h}$) : la partie entière donne les heures ($2\text{ h}$), on multiplie la partie décimale par $60$ pour avoir les minutes ($0{,}4 \times 60 = 24\text{ min}$).
Pour additionner ou soustraire des durées : on effectue le calcul unité par unité (heures avec heures, minutes avec minutes), puis on ajuste en regroupant ou convertissant par blocs de $60$ minutes.
Durée écoulée = Instant d'arrivée $-$ Instant de départ.

Exemple
Un train part à $14\text{ h } 45\text{ min}$ et arrive à destination à $17\text{ h } 18\text{ min}$. Quelle est la durée du trajet ?

Corrigé pas à pas
On décompose le trajet en étapes : de $14\text{ h } 45\text{ min}$ à $15\text{ h } 00\text{ min}$, il s'écoule $15\text{ min}$. De $15\text{ h } 00\text{ min}$ à $17\text{ h } 00\text{ min}$, il s'écoule $2\text{ h}$. De $17\text{ h } 00\text{ min}$ à $17\text{ h } 18\text{ min}$, il s'écoule $18\text{ min}$. Durée totale : $2\text{ h} + 15\text{ min} + 18\text{ min} = 2\text{ h } 33\text{ min}$.

Erreurs fréquentes
Confondre la notation décimale et la notation en heures/minutes : $2{,}5\text{ h}$ correspond à $2\text{ h } 30\text{ min}$ et NON à $2\text{ h } 50\text{ min}$.
Effectuer une soustraction horaire comme une opération décimale standard sans tenir compte du passage à la soixantaine.

Convertir des unités de longueur et d'aire

1. Identifier l'unité de départ et l'unité cible.
2. Déterminer le nombre de rangs qui les séparent.
3. Pour les longueurs : multiplier par $10$ par rang vers une unité plus petite, diviser par $10$ par rang vers une unité plus grande.
4. Pour les aires : multiplier par $100$ par rang vers une unité plus petite, diviser par $100$ par rang vers une unité plus grande.

Exemple
Convertis $4{,}8\text{ m}^2$ en $\text{cm}^2$ et $350\text{ mm}$ en $\text{dm}$.

Corrigé pas à pas
1. Pour passer des $\text{m}^2$ aux $\text{cm}^2$, il y a deux rangs vers le bas ($\text{dm}^2$, puis $\text{cm}^2$), soit une multiplication par $100 \times 100 = 10\,000$ : $4{,}8 \times 10\,000 = 48\,000\text{ cm}^2$.
2. Pour passer des $\text{mm}$ aux $\text{dm}$, il y a deux rangs vers le haut ($\text{cm}$, puis $\text{dm}$), soit une division par $10 \times 10 = 100$ : $350 \div 100 = 3{,}5\text{ dm}$.

Calculer une durée ou un horaire

1. Repérer s'il s'agit de trouver une durée (écart de temps), un instant de départ ou un instant d'arrivée.
2. Pour trouver une durée : calculer l'intervalle jusqu'à l'heure ronde suivante, puis ajouter le temps restant.
3. Pour convertir une fraction d'heure en minutes : multiplier par $60$ (ex. $\frac{3}{4}\text{ h} = \frac{3}{4} \times 60 = 45\text{ min}$).
4. Vérifier que le nombre de minutes final est strictement inférieur à $60$.

Exemple
Une séance de cinéma commence à $20\text{ h } 35\text{ min}$ et dure $1\text{ h } 50\text{ min}$. À quelle heure se termine-t-elle ?

Corrigé pas à pas
On additionne d'abord les heures : $20\text{ h} + 1\text{ h} = 21\text{ h}$. On additionne ensuite les minutes : $35\text{ min} + 50\text{ min} = 85\text{ min}$. Comme $85\text{ min} = 60\text{ min} + 25\text{ min} = 1\text{ h } 25\text{ min}$, on reporte $1\text{ h}$ : $21\text{ h} + 1\text{ h } 25\text{ min} = 22\text{ h } 25\text{ min}$. La séance se termine à $22\text{ h } 25\text{ min}$.

Formules de longueurs et périmètres

• Carré de côté $c$ : $\mathcal{P} = 4c$
• Rectangle de côtés $L$ et $l$ : $\mathcal{P} = 2(L + l)$
• Cercle de rayon $r$ et diamètre $d$ : $\mathcal{P} = 2\pi r = \pi d$
• Conversions : $1\text{ km} = 1\,000\text{ m}$ ; $1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm} = 1\,000\text{ mm}$

Formules d'aires usuelles

• Carré de côté $c$ : $\mathcal{A} = c^2$
• Rectangle de côtés $L$ et $l$ : $\mathcal{A} = L \times l$
• Triangle de base $b$ et hauteur $h$ : $\mathcal{A} = \frac{b \times h}{2}$
• Disque de rayon $r$ : $\mathcal{A} = \pi r^2$
• Conversions : $1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$ ; $1\text{ km}^2 = 1\,000\,000\text{ m}^2$

Unités et conversions de durées

• $1\text{ jour} = 24\text{ h}$ ; $1\text{ h} = 60\text{ min}$ ; $1\text{ min} = 60\text{ s}$ ; $1\text{ h} = 3\,600\text{ s}$
• De minutes en heures décimales : diviser par $60$
• De partie décimale d'heure en minutes : multiplier par $60$