Calcul littéral : développer, factoriser, réduire

1. Développer une expression littérale

Développer une expression littérale, c'est transformer un produit en une somme ou une différence de termes. Cela permet de supprimer les parenthèses en effectuant les multiplications. Les principales méthodes de développement sont la distributivité (simple ou double) et l'utilisation des identités remarquables.

Méthode
Identifier la structure de l'expression : Est-ce un produit d'un nombre par une parenthèse (distributivité simple) ? Un produit de deux parenthèses (distributivité double) ? Ou une forme correspondant à une identité remarquable ?
Appliquer la propriété de distributivité ou l'identité remarquable :
Distributivité simple : $k(a+b) = ka + kb$ et $k(a-b) = ka - kb$. Chaque terme à l'intérieur de la parenthèse est multiplié par le facteur extérieur.
Distributivité double : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. Chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde parenthèse.
Identités remarquables :
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
Effectuer les multiplications : Calculez les produits de nombres et de variables en respectant les règles des signes.
Réduire l'expression (si possible) : Regroupez les termes de même nature (voir la notion 2 sur la réduction).

Exemple
Développer l'expression $A = (3x - 2)(x + 5)$.

Corrigé pas à pas
L'expression $A = (3x - 2)(x + 5)$ est un produit de deux parenthèses, nous allons donc utiliser la distributivité double.

$A = (3x - 2)(x + 5)$
$A = (3x \times x) + (3x \times 5) + (-2 \times x) + (-2 \times 5)$
$A = 3x^2 + 15x - 2x - 10$

Maintenant, nous réduisons l'expression en regroupant les termes en $x$ :
$A = 3x^2 + (15x - 2x) - 10$
$A = 3x^2 + 13x - 10$

L'expression développée et réduite est $3x^2 + 13x - 10$.

Erreurs fréquentes
Erreurs de signe : Oublier d'appliquer la règle des signes lors des multiplications, surtout avec des nombres négatifs.
Oublier de distribuer tous les termes : Par exemple, dans $(a+b)(c+d)$, n'oublier de multiplier $b$ par $c$ et $d$.
Confondre les identités remarquables : Par exemple, écrire $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ au lieu de $a^2 + 2ab + b^2$ (oublier le double produit).

2. Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale, c'est la simplifier en regroupant les termes de même nature. Des termes sont de même nature s'ils ont la même partie littérale (même lettre et même puissance). Par exemple, $3x$ et $5x$ sont de même nature, mais $3x$ et $5x^2$ ne le sont pas.

Méthode
Identifier les termes de même nature : Repérez les termes qui ont la même variable et la même puissance (par exemple, les termes en $x^2$, les termes en $x$, les termes constants).
Regrouper les termes de même nature : Écrivez-les côte à côte pour faciliter le calcul. N'oubliez pas de conserver le signe de chaque terme.
Effectuer les additions et soustractions : Additionnez ou soustrayez les coefficients numériques des termes regroupés. La partie littérale ne change pas.

Exemple
Réduire l'expression $C = 7x^2 - 4x + 9 - 2x^2 + 6x - 1$.

Corrigé pas à pas
Pour réduire l'expression $C = 7x^2 - 4x + 9 - 2x^2 + 6x - 1$, nous allons regrouper les termes de même nature.

1. Regrouper les termes en $x^2$ :
$7x^2 - 2x^2 = (7 - 2)x^2 = 5x^2$

2. Regrouper les termes en $x$ :
$-4x + 6x = (-4 + 6)x = 2x$

3. Regrouper les termes constants (sans variable) :
$9 - 1 = 8$

Maintenant, nous assemblons ces résultats pour obtenir l'expression réduite :
$C = 5x^2 + 2x + 8$

L'expression réduite est $5x^2 + 2x + 8$.

Erreurs fréquentes
Regrouper des termes de nature différente : Par exemple, additionner des $x$ avec des $x^2$.
Erreurs de signe : Oublier le signe d'un terme lors du regroupement ou lors de l'addition/soustraction des coefficients.

3. Factoriser une expression littérale

Factoriser une expression littérale, c'est transformer une somme ou une différence de termes en un produit de facteurs. C'est l'opération inverse du développement. Les principales méthodes de factorisation sont la recherche d'un facteur commun et l'utilisation des identités remarquables.

Méthode
Méthode 1 : Rechercher un facteur commun
1. Identifier les termes de l'expression : Séparez l'expression en ses différents termes (ceux qui sont additionnés ou soustraits).
2. Chercher un facteur commun : Trouvez un nombre, une lettre (avec sa plus petite puissance) ou une expression entre parenthèses qui est présente dans tous les termes.
3. Mettre le facteur commun en évidence : Écrivez le facteur commun devant une parenthèse.
4. Écrire l'expression restante dans la parenthèse : Pour chaque terme de l'expression initiale, divisez-le par le facteur commun et écrivez le résultat à l'intérieur de la parenthèse. Vérifiez que la somme ou la différence des termes est correcte.
Méthode 2 : Utiliser les identités remarquables
1. Reconnaître la forme d'une identité remarquable : L'expression doit être une somme ou une différence de trois termes (pour $(a+b)^2$ ou $(a-b)^2$) ou une différence de deux carrés (pour $a^2 - b^2$).
2. Identifier $a$ et $b$ : Déterminez quelles expressions correspondent à $a$ et $b$ dans la formule choisie.
3. Appliquer la formule de factorisation :
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Exemple
Factoriser les expressions suivantes :
1. $E = 12x^2 - 18x$
2. $F = 49 - 25y^2$

Corrigé pas à pas
1. Factorisation de $E = 12x^2 - 18x$ (facteur commun)

1. Identifier les termes : $12x^2$ et $-18x$.

2. Chercher un facteur commun :
• Pour les nombres : $12 = 6 \times 2$ et $18 = 6 \times 3$. Le facteur commun numérique est $6$.
• Pour les variables : $x^2 = x \times x$ et $x$. Le facteur commun littéral est $x$ (la plus petite puissance).
Le facteur commun total est donc $6x$.

3. Mettre le facteur commun en évidence :
$E = 6x (\dots)$

4. Écrire l'expression restante :
• $12x^2 \div 6x = 2x$
• $-18x \div 6x = -3$
Donc, $E = 6x(2x - 3)$.

L'expression factorisée est $6x(2x - 3)$.

2. Factorisation de $F = 49 - 25y^2$ (identité remarquable)

1. Reconnaître la forme : L'expression est une différence de deux termes, et chacun est un carré parfait. Cela ressemble à $a^2 - b^2$.

2. Identifier $a$ et $b$ :
• $49$ est le carré de $7$, donc $a = 7$.
• $25y^2$ est le carré de $5y$ (car $(5y)^2 = 5^2 \times y^2 = 25y^2$), donc $b = 5y$.

3. Appliquer la formule : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$F = (7 - 5y)(7 + 5y)$

L'expression factorisée est $(7 - 5y)(7 + 5y)$.

Erreurs fréquentes
Oublier un terme dans la parenthèse après factorisation : Par exemple, factoriser $3x + 3$ en $3x$ au lieu de $3(x+1)$.
Erreurs de signe : Surtout lors de la factorisation d'expressions avec des soustractions.
Ne pas identifier le plus grand facteur commun : La factorisation n'est alors pas complète.
Ne pas reconnaître les identités remarquables : Manquer une opportunité de factoriser plus rapidement.

Développer une expression avec la distributivité simple

1. Étape 1 : Identifiez le facteur extérieur à la parenthèse ($k$) et les termes à l'intérieur de la parenthèse ($a$ et $b$). L'expression est de la forme $k(a+b)$ ou $k(a-b)$.
2. Étape 2 : Multipliez le facteur extérieur par chaque terme à l'intérieur de la parenthèse. Appliquez la règle des signes.
3. Étape 3 : Écrivez le résultat sous forme de somme ou de différence. $k(a+b) = ka + kb$ et $k(a-b) = ka - kb$.

Exemple
Développer $A = -3(4x - 7)$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Le facteur extérieur est $k = -3$. Les termes à l'intérieur sont $a = 4x$ et $b = -7$. L'expression est de la forme $k(a-b)$.

Étape 2 : Multiplions $-3$ par $4x$ et par $-7$.
$-3 \times 4x = -12x$
$-3 \times -7 = +21$

Étape 3 : Assemblons les résultats.
$A = -12x + 21$

L'expression développée est $-12x + 21$.

Développer une expression avec la distributivité double

1. Étape 1 : Identifiez les termes de la première parenthèse ($a$ et $b$) et ceux de la seconde parenthèse ($c$ et $d$). L'expression est de la forme $(a+b)(c+d)$.
2. Étape 2 : Multipliez le premier terme de la première parenthèse ($a$) par chaque terme de la seconde parenthèse ($c$ puis $d$).
3. Étape 3 : Multipliez le second terme de la première parenthèse ($b$) par chaque terme de la seconde parenthèse ($c$ puis $d$).
4. Étape 4 : Écrivez la somme de tous ces produits en respectant les signes. $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
5. Étape 5 : Réduisez l'expression obtenue en regroupant les termes de même nature.

Exemple
Développer $B = (2x + 1)(x - 4)$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Première parenthèse : $a=2x$, $b=1$. Seconde parenthèse : $c=x$, $d=-4$.

Étape 2 : Multiplions $2x$ par $x$ et par $-4$.
$2x \times x = 2x^2$
$2x \times -4 = -8x$

Étape 3 : Multiplions $1$ par $x$ et par $-4$.
$1 \times x = x$
$1 \times -4 = -4$

Étape 4 : Assemblons les résultats.
$B = 2x^2 - 8x + x - 4$

Étape 5 : Réduisons l'expression.
$B = 2x^2 + (-8x + x) - 4$
$B = 2x^2 - 7x - 4$

L'expression développée et réduite est $2x^2 - 7x - 4$.

Factoriser une expression avec un facteur commun

1. Étape 1 : Identifiez tous les termes de l'expression (ceux séparés par des $+$ ou des $-$).
2. Étape 2 : Recherchez le plus grand facteur commun à tous ces termes. Ce facteur peut être un nombre, une lettre (avec sa plus petite puissance présente) ou une expression entre parenthèses.
3. Étape 3 : Écrivez le facteur commun devant une parenthèse.
4. Étape 4 : À l'intérieur de la parenthèse, écrivez le résultat de la division de chaque terme de l'expression initiale par le facteur commun. Conservez les signes d'origine entre les termes.

Exemple
Factoriser $C = 15y^3 + 10y^2 - 5y$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Les termes sont $15y^3$, $10y^2$ et $-5y$.

Étape 2 : Recherchons le facteur commun :
• Pour les nombres : $15 = 5 \times 3$, $10 = 5 \times 2$, $5 = 5 \times 1$. Le facteur commun numérique est $5$.
• Pour les variables : $y^3$, $y^2$, $y$. La plus petite puissance de $y$ est $y^1 = y$. Le facteur commun littéral est $y$.
Le plus grand facteur commun est $5y$.

Étape 3 : Écrivons $5y$ devant une parenthèse : $C = 5y(\dots)$.

Étape 4 : Divisons chaque terme par $5y$ :
• $15y^3 \div 5y = 3y^2$
• $10y^2 \div 5y = 2y$
• $-5y \div 5y = -1$
Donc, $C = 5y(3y^2 + 2y - 1)$.

L'expression factorisée est $5y(3y^2 + 2y - 1)$.

Développer

• Distributivité simple : $k(a+b) = ka + kb$
• Distributivité double : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
• Identités remarquables :
• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Réduire

• Regrouper les termes de même nature (même variable, même puissance).
• Additionner ou soustraire leurs coefficients. La partie littérale ne change pas.

Factoriser

• Facteur commun : $ka + kb = k(a+b)$
• Identités remarquables :
• $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$