Équations du premier degré

Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?

Une équation est une égalité dans laquelle figure une ou plusieurs lettres, appelées inconnues. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs numériques que peut prendre l'inconnue pour que l'égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l'équation.

Une équation est dite du premier degré lorsque l'inconnue (souvent notée $x$) n'est pas élevée à une puissance supérieure à 1 (il n'y a pas de $x^2$, $x^3$, etc.).

Exemple
L'égalité $2x + 5 = 11$ est une équation du premier degré à une inconnue $x$. Vérifions si $x=3$ est une solution de cette équation.

Corrigé pas à pas
Pour vérifier si $x=3$ est une solution, nous remplaçons $x$ par $3$ dans l'équation et nous calculons chaque membre :
Membre de gauche : $2x + 5 = 2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11$
Membre de droite : $11$

Les deux membres sont égaux ($11 = 11$). Donc, $x=3$ est bien une solution de l'équation $2x + 5 = 11$.

Erreurs fréquentes
Confondre une équation avec une expression littérale : une équation est une égalité, une expression littérale est un calcul qui contient des lettres mais pas de signe égal.
Oublier que le but est de trouver la valeur de l'inconnue, et non de simplifier une expression.

Les principes fondamentaux de résolution d'une équation

Pour résoudre une équation, c'est-à-dire pour isoler l'inconnue, nous utilisons deux principes fondamentaux. Ces principes permettent de transformer l'équation en une autre équation équivalente (qui a les mêmes solutions) jusqu'à obtenir $x = \text{nombre}$.

Principe 1 : Addition et Soustraction
On peut ajouter ou soustraire un même nombre (ou une même expression littérale) aux deux membres d'une équation sans changer ses solutions.

Principe 2 : Multiplication et Division
On peut multiplier ou diviser par un même nombre non nul les deux membres d'une équation sans changer ses solutions.

Méthode
Identifier l'opération qui 'empêche' l'inconnue d'être seule.
Appliquer l'opération inverse aux deux membres de l'équation pour isoler l'inconnue.

Exemple
Résolvons les équations suivantes :
1. $x + 7 = 12$
2. $x - 3 = 5$
3. $4x = 20$
4. $\frac{x}{2} = 6$

Corrigé pas à pas
1. Résolution de $x + 7 = 12$
Pour isoler $x$, nous devons 'enlever' le $+7$. L'opération inverse de l'addition est la soustraction. Nous soustrayons $7$ aux deux membres de l'équation :
$x + 7 - 7 = 12 - 7$
$x = 5$
La solution de l'équation est $5$.

2. Résolution de $x - 3 = 5$
Pour isoler $x$, nous devons 'enlever' le $-3$. L'opération inverse de la soustraction est l'addition. Nous ajoutons $3$ aux deux membres de l'équation :
$x - 3 + 3 = 5 + 3$
$x = 8$
La solution de l'équation est $8$.

3. Résolution de $4x = 20$
$4x$ signifie $4 \times x$. Pour isoler $x$, nous devons 'enlever' le $\times 4$. L'opération inverse de la multiplication est la division. Nous divisons par $4$ les deux membres de l'équation :
$\frac{4x}{4} = \frac{20}{4}$
$x = 5$
La solution de l'équation est $5$.

4. Résolution de $\frac{x}{2} = 6$
$\frac{x}{2}$ signifie $x \div 2$. Pour isoler $x$, nous devons 'enlever' le $\div 2$. L'opération inverse de la division est la multiplication. Nous multiplions par $2$ les deux membres de l'équation :
$\frac{x}{2} \times 2 = 6 \times 2$
$x = 12$
La solution de l'équation est $12$.

Erreurs fréquentes
Oublier d'appliquer l'opération aux deux membres de l'équation. Par exemple, si vous ajoutez $5$ au membre de gauche, vous devez aussi l'ajouter au membre de droite.
Changer le signe d'un terme en le 'déplaçant' d'un membre à l'autre sans effectuer l'opération inverse (par exemple, transformer $x+3=5$ en $x=5+3$ au lieu de $x=5-3$). Il faut penser en termes d'opérations inverses.
Diviser par zéro : il est interdit de diviser par $0$. Si le coefficient de $x$ est $0$, l'équation n'a pas de solution ou en a une infinité (cas particuliers).

Résolution d'équations plus complexes ($ax+b=c$ et $ax+b=cx+d$)

Les équations du premier degré peuvent être plus complexes et nécessiter plusieurs étapes de résolution. L'objectif reste toujours d'isoler l'inconnue $x$ en utilisant les principes d'addition/soustraction et de multiplication/division.

Méthode
Si l'équation contient des parenthèses, commencer par les développer (en utilisant la distributivité).
Regrouper tous les termes contenant l'inconnue ($x$) dans un même membre de l'équation (par exemple, à gauche du signe égal). Pour cela, on ajoute ou soustrait les termes en $x$ aux deux membres.
Regrouper tous les termes constants (les nombres sans $x$) dans l'autre membre de l'équation (par exemple, à droite du signe égal). Pour cela, on ajoute ou soustrait les termes constants aux deux membres.
Réduire chaque membre de l'équation. L'équation doit alors être de la forme $ax = b$.
Diviser les deux membres de l'équation par le coefficient $a$ de l'inconnue (si $a \neq 0$) pour trouver la valeur de $x$.

Exemple
Résolvons les équations suivantes :
1. $3x + 4 = 19$
2. $5x - 7 = 2x + 8$
3. $2(x+3) = x + 10$

Corrigé pas à pas
1. Résolution de $3x + 4 = 19$
• Étape 1 : Regrouper les termes constants à droite.
On soustrait $4$ aux deux membres :
$3x + 4 - 4 = 19 - 4$
$3x = 15$
• Étape 2 : Isoler $x$.
On divise par $3$ les deux membres :
$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$
$x = 5$
La solution de l'équation est $5$.

2. Résolution de $5x - 7 = 2x + 8$
• Étape 1 : Regrouper les termes en $x$ à gauche.
On soustrait $2x$ aux deux membres :
$5x - 7 - 2x = 2x + 8 - 2x$
$3x - 7 = 8$
• Étape 2 : Regrouper les termes constants à droite.
On ajoute $7$ aux deux membres :
$3x - 7 + 7 = 8 + 7$
$3x = 15$
• Étape 3 : Isoler $x$.
On divise par $3$ les deux membres :
$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$
$x = 5$
La solution de l'équation est $5$.

3. Résolution de $2(x+3) = x + 10$
• Étape 1 : Développer les parenthèses.
$2 \times x + 2 \times 3 = x + 10$
$2x + 6 = x + 10$
• Étape 2 : Regrouper les termes en $x$ à gauche.
On soustrait $x$ aux deux membres :
$2x + 6 - x = x + 10 - x$
$x + 6 = 10$
• Étape 3 : Regrouper les termes constants à droite.
On soustrait $6$ aux deux membres :
$x + 6 - 6 = 10 - 6$
$x = 4$
La solution de l'équation est $4$.

Erreurs fréquentes
Erreurs de signe lors du déplacement des termes : lorsqu'un terme change de membre, il faut appliquer l'opération inverse (addition devient soustraction et vice-versa). Par exemple, $2x+5=10$ devient $2x=10-5$, pas $2x=10+5$.
Erreurs de calcul littéral lors de la réduction des termes en $x$ ou des termes constants (par exemple, $5x - 2x = 3x$, mais $5x - x = 4x$).
Oublier de développer correctement les parenthèses en utilisant la distributivité.

Résoudre une équation du type $x+a=b$ ou $x-a=b$

1. Pour une équation du type $x+a=b$, soustraire $a$ aux deux membres de l'équation.
2. Pour une équation du type $x-a=b$, ajouter $a$ aux deux membres de l'équation.

Exemple
Résoudre les équations :
1. $x + 9 = 15$
2. $x - 4 = 7$

Corrigé pas à pas
1. Résolution de $x + 9 = 15$
Pour isoler $x$, on soustrait $9$ aux deux membres :
$x + 9 - 9 = 15 - 9$
$x = 6$

2. Résolution de $x - 4 = 7$
Pour isoler $x$, on ajoute $4$ aux deux membres :
$x - 4 + 4 = 7 + 4$
$x = 11$

Résoudre une équation du type $ax=b$ ou $\frac{x}{a}=b$

1. Pour une équation du type $ax=b$ (où $a$ est un nombre non nul), diviser les deux membres de l'équation par $a$.
2. Pour une équation du type $\frac{x}{a}=b$ (où $a$ est un nombre non nul), multiplier les deux membres de l'équation par $a$.

Exemple
Résoudre les équations :
1. $5x = 30$
2. $\frac{x}{3} = 8$

Corrigé pas à pas
1. Résolution de $5x = 30$
Pour isoler $x$, on divise par $5$ les deux membres :
$\frac{5x}{5} = \frac{30}{5}$
$x = 6$

2. Résolution de $\frac{x}{3} = 8$
Pour isoler $x$, on multiplie par $3$ les deux membres :
$\frac{x}{3} \times 3 = 8 \times 3$
$x = 24$

Résoudre une équation du type $ax+b=cx+d$

1. Développer les parenthèses si nécessaire.
2. Regrouper tous les termes contenant l'inconnue ($x$) dans un membre de l'équation (par exemple, à gauche) en ajoutant ou soustrayant les termes en $x$ aux deux membres.
3. Regrouper tous les termes constants (les nombres) dans l'autre membre de l'équation (par exemple, à droite) en ajoutant ou soustrayant les termes constants aux deux membres.
4. Réduire chaque membre de l'équation pour obtenir une forme $Ax=B$.
5. Diviser les deux membres par le coefficient de $x$ (le nombre $A$) pour trouver la solution.

Exemple
Résoudre l'équation : $4x + 5 = 2x - 3$

Corrigé pas à pas
• Regrouper les termes en $x$ à gauche :
On soustrait $2x$ aux deux membres :
$4x + 5 - 2x = 2x - 3 - 2x$
$2x + 5 = -3$
• Regrouper les termes constants à droite :
On soustrait $5$ aux deux membres :
$2x + 5 - 5 = -3 - 5$
$2x = -8$
• Isoler $x$ :
On divise par $2$ les deux membres :
$\frac{2x}{2} = \frac{-8}{2}$
$x = -4$
La solution de l'équation est $-4$.

Définition d'une équation du premier degré

• Une équation est une égalité avec une ou plusieurs inconnues (souvent $x$).
• Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie (les solutions).
• Une équation du premier degré ne contient pas de $x^2$, $x^3$, etc.

Principes de résolution

• On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation : $A=B \iff A+C=B+C$ et $A=B \iff A-C=B-C$.
• On peut multiplier ou diviser par un même nombre non nul les deux membres d'une équation : $A=B \iff A \times C=B \times C$ (si $C \neq 0$) et $A=B \iff \frac{A}{C}=\frac{B}{C}$ (si $C \neq 0$).

Méthode générale de résolution

• 1. Développer les parenthèses si besoin.
• 2. Regrouper tous les termes en $x$ dans un membre et tous les termes constants dans l'autre.
• 3. Réduire chaque membre pour obtenir une équation de la forme $ax=b$.
• 4. Diviser par le coefficient de $x$ pour trouver la solution : $x = \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$).
• Cas particuliers :
• - Si on obtient $0x = 0$ (ou une égalité vraie comme $1=1$), l'équation a une infinité de solutions.
• - Si on obtient $0x = b$ avec $b \neq 0$ (ou une égalité fausse comme $0=5$), l'équation n'a pas de solution.