Trigonométrie dans le triangle rectangle : cosinus, sinus et tangente

Le vocabulaire du triangle rectangle

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les longueurs des côtés d'un triangle. Dans un triangle rectangle, il existe des relations particulières entre les angles aigus (angles inférieurs à 90°) et les longueurs de ses côtés. Pour utiliser la trigonométrie, il est essentiel de bien identifier les côtés par rapport à un angle aigu donné :
• L'hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle. C'est le côté opposé à l'angle droit.
• Le côté adjacent à un angle aigu est le côté qui forme cet angle avec l'hypoténuse, mais qui n'est pas l'hypoténuse elle-même.
• Le côté opposé à un angle aigu est le côté qui ne touche pas cet angle.

Exemple
Dans le triangle MNP rectangle en P, identifie l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à l'angle $\widehat{N}$.

Corrigé pas à pas
1. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit P, c'est donc le côté MN.
2. Pour l'angle $\widehat{N}$ :
• Le côté adjacent est le côté qui forme l'angle $\widehat{N}$ avec l'hypoténuse, c'est donc le côté PN.
• Le côté opposé est le côté qui ne touche pas l'angle $\widehat{N}$, c'est donc le côté MP.

Erreurs fréquentes
Confondre le côté adjacent et le côté opposé, surtout si l'angle est dessiné dans une orientation inhabituelle.
Oublier que ces définitions ne s'appliquent qu'aux angles aigus d'un triangle rectangle.

Le cosinus d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse. C'est une valeur sans unité, toujours comprise entre 0 et 1.

La formule est la suivante :
$$ \text{cos}(\text{angle aigu}) = \frac{\text{longueur du côté adjacent à l'angle}}{\text{longueur de l'hypoténuse}} $$

Méthode
1. Identifier le triangle rectangle : Assure-toi que le triangle est bien rectangle et identifie l'angle aigu concerné.
2. Identifier les côtés : Détermine quel est le côté adjacent à l'angle et quelle est l'hypoténuse.
3. Écrire la formule : Note la formule du cosinus.
4. Remplacer les valeurs connues : Insère les longueurs connues dans la formule.
5. Calculer : Effectue le calcul pour trouver la valeur manquante (longueur ou cosinus de l'angle).

Exemple
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a AB = 5 cm et $\widehat{B} = 30°$. Calcule la longueur de l'hypoténuse BC.

Corrigé pas à pas
1. Le triangle ABC est rectangle en A.
2. Pour l'angle $\widehat{B}$ :
• Le côté adjacent est AB = 5 cm.
• L'hypoténuse est BC (c'est ce que l'on cherche).
3. On applique la formule du cosinus :
$$ \text{cos}(\widehat{B}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{\text{AB}}{\text{BC}} $$
4. On remplace par les valeurs connues :
$$ \text{cos}(30°) = \frac{5}{\text{BC}} $$
5. On résout pour trouver BC :
$$ \text{BC} = \frac{5}{\text{cos}(30°)} $$
À l'aide d'une calculatrice, $\text{cos}(30°) \approx 0,866$.
$$ \text{BC} \approx \frac{5}{0,866} \approx 5,77 \text{ cm} $$
La longueur de l'hypoténuse BC est environ 5,77 cm.

Erreurs fréquentes
Utiliser le mauvais côté (opposé au lieu d'adjacent).
Oublier que l'angle doit être en degrés (ou radians, selon le mode de la calculatrice, mais au collège, c'est généralement en degrés).
Diviser au lieu de multiplier, ou inversement, lors de la résolution de l'équation.

Le sinus d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse. C'est une valeur sans unité, toujours comprise entre 0 et 1.

La formule est la suivante :
$$ \text{sin}(\text{angle aigu}) = \frac{\text{longueur du côté opposé à l'angle}}{\text{longueur de l'hypoténuse}} $$

Méthode
1. Identifier le triangle rectangle : Assure-toi que le triangle est bien rectangle et identifie l'angle aigu concerné.
2. Identifier les côtés : Détermine quel est le côté opposé à l'angle et quelle est l'hypoténuse.
3. Écrire la formule : Note la formule du sinus.
4. Remplacer les valeurs connues : Insère les longueurs connues dans la formule.
5. Calculer : Effectue le calcul pour trouver la valeur manquante (longueur ou sinus de l'angle).

Exemple
Dans le triangle GHI rectangle en H, on a GI = 8 cm et $\widehat{G} = 45°$. Calcule la longueur du côté HI.

Corrigé pas à pas
1. Le triangle GHI est rectangle en H.
2. Pour l'angle $\widehat{G}$ :
• Le côté opposé est HI (c'est ce que l'on cherche).
• L'hypoténuse est GI = 8 cm.
3. On applique la formule du sinus :
$$ \text{sin}(\widehat{G}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{\text{HI}}{\text{GI}} $$
4. On remplace par les valeurs connues :
$$ \text{sin}(45°) = \frac{\text{HI}}{8} $$
5. On résout pour trouver HI :
$$ \text{HI} = 8 \times \text{sin}(45°) $$
À l'aide d'une calculatrice, $\text{sin}(45°) \approx 0,707$.
$$ \text{HI} \approx 8 \times 0,707 \approx 5,66 \text{ cm} $$
La longueur du côté HI est environ 5,66 cm.

Erreurs fréquentes
Utiliser le mauvais côté (adjacent au lieu d'opposé).
Confondre le sinus et le cosinus.

La tangente d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent à cet angle. C'est une valeur sans unité.

La formule est la suivante :
$$ \text{tan}(\text{angle aigu}) = \frac{\text{longueur du côté opposé à l'angle}}{\text{longueur du côté adjacent à l'angle}} $$

Méthode
1. Identifier le triangle rectangle : Assure-toi que le triangle est bien rectangle et identifie l'angle aigu concerné.
2. Identifier les côtés : Détermine quel est le côté opposé à l'angle et quel est le côté adjacent.
3. Écrire la formule : Note la formule de la tangente.
4. Remplacer les valeurs connues : Insère les longueurs connues dans la formule.
5. Calculer : Effectue le calcul pour trouver la valeur manquante (longueur ou tangente de l'angle).

Exemple
Dans le triangle OPQ rectangle en O, on a OP = 7 cm et $\widehat{P} = 50°$. Calcule la longueur du côté OQ.

Corrigé pas à pas
1. Le triangle OPQ est rectangle en O.
2. Pour l'angle $\widehat{P}$ :
• Le côté opposé est OQ (c'est ce que l'on cherche).
• Le côté adjacent est OP = 7 cm.
3. On applique la formule de la tangente :
$$ \text{tan}(\widehat{P}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{\text{OQ}}{\text{OP}} $$
4. On remplace par les valeurs connues :
$$ \text{tan}(50°) = \frac{\text{OQ}}{7} $$
5. On résout pour trouver OQ :
$$ \text{OQ} = 7 \times \text{tan}(50°) $$
À l'aide d'une calculatrice, $\text{tan}(50°) \approx 1,192$.
$$ \text{OQ} \approx 7 \times 1,192 \approx 8,34 \text{ cm} $$
La longueur du côté OQ est environ 8,34 cm.

Erreurs fréquentes
Utiliser l'hypoténuse dans la formule de la tangente (la tangente n'utilise pas l'hypoténuse).
Confondre la tangente avec le sinus ou le cosinus.

Calculer la mesure d'un angle aigu

Pour trouver la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle lorsque tu connais les longueurs de deux de ses côtés, tu dois utiliser les fonctions trigonométriques inverses (ou réciproques). Elles sont souvent notées $\text{cos}^{-1}$, $\text{sin}^{-1}$ et $\text{tan}^{-1}$ sur ta calculatrice (parfois aussi \text{arccos}, \text{arcsin}, \text{arctan}).
• Si tu connais le cosinus de l'angle, tu utilises $\text{cos}^{-1}$.
• Si tu connais le sinus de l'angle, tu utilises $\text{sin}^{-1}$.
• Si tu connais la tangente de l'angle, tu utilises $\text{tan}^{-1}$.

Méthode
1. Identifier le triangle rectangle : Assure-toi que le triangle est bien rectangle.
2. Identifier l'angle et les côtés connus : Détermine quel angle tu cherches et quels sont les deux côtés dont tu connais la longueur par rapport à cet angle (opposé, adjacent, hypoténuse).
3. Choisir la bonne formule : En fonction des côtés connus, choisis la formule appropriée (cosinus, sinus ou tangente).
4. Écrire la formule et remplacer les valeurs : Calcule le rapport des longueurs.
5. Utiliser la fonction réciproque : Utilise la fonction inverse correspondante sur ta calculatrice pour trouver la mesure de l'angle (n'oublie pas de vérifier que ta calculatrice est en mode degrés).

Exemple
Dans le triangle XYZ rectangle en Y, on a XY = 4 cm et XZ = 7 cm. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{X}$ (arrondie au degré près).

Corrigé pas à pas
1. Le triangle XYZ est rectangle en Y.
2. Pour l'angle $\widehat{X}$ :
• Le côté adjacent est XY = 4 cm.
• L'hypoténuse est XZ = 7 cm.
3. Les côtés connus sont le côté adjacent et l'hypoténuse, on utilise donc la formule du cosinus :
$$ \text{cos}(\widehat{X}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{\text{XY}}{\text{XZ}} $$
4. On remplace par les valeurs connues :
$$ \text{cos}(\widehat{X}) = \frac{4}{7} $$
5. On utilise la fonction $\text{cos}^{-1}$ sur la calculatrice :
$$ \widehat{X} = \text{cos}^{-1}\left(\frac{4}{7}\right) $$
$$ \widehat{X} \approx 55,15° $$
Arrondi au degré près, l'angle $\widehat{X}$ mesure environ 55°.

Erreurs fréquentes
Oublier d'utiliser la fonction réciproque (par exemple, donner le cosinus de l'angle au lieu de l'angle lui-même).
Ne pas mettre la calculatrice en mode degrés (DRG ou DEG).

Calculer une longueur avec la trigonométrie

1. 1. Vérifier le triangle rectangle : Assure-toi que tu travailles bien dans un triangle rectangle.
2. 2. Identifier l'angle connu et les côtés : Repère l'angle aigu dont tu connais la mesure, le côté dont tu connais la longueur, et le côté dont tu cherches la longueur. Par rapport à l'angle connu, détermine si les côtés sont l'hypoténuse, le côté adjacent ou le côté opposé.
3. 3. Choisir la bonne formule trigonométrique :
   • Si tu as l'adjacent et l'hypoténuse, utilise le cosinus.
   • Si tu as l'opposé et l'hypoténuse, utilise le sinus.
   • Si tu as l'opposé et l'adjacent, utilise la tangente.
4. 4. Écrire l'équation et résoudre : Écris la formule avec les valeurs connues et résous l'équation pour trouver la longueur inconnue. N'oublie pas d'utiliser ta calculatrice en mode degrés.

Exemple
Dans le triangle KLM rectangle en L, l'angle $\widehat{K}$ mesure 40° et le côté KL mesure 8 cm. Calcule la longueur du côté LM (arrondie au dixième).

Corrigé pas à pas
1. Le triangle KLM est rectangle en L.
2. Pour l'angle $\widehat{K} = 40°$ :
• Le côté connu est KL = 8 cm (c'est le côté adjacent à $\widehat{K}$).
• Le côté recherché est LM (c'est le côté opposé à $\widehat{K}$).
3. Puisque nous avons le côté opposé et le côté adjacent, nous utilisons la tangente.
$$ \text{tan}(\widehat{K}) = \frac{\text{LM}}{\text{KL}} $$
4. On remplace les valeurs et on résout :
$$ \text{tan}(40°) = \frac{\text{LM}}{8} $$
$$ \text{LM} = 8 \times \text{tan}(40°) $$
À l'aide de la calculatrice, $\text{tan}(40°) \approx 0,839$.
$$ \text{LM} \approx 8 \times 0,839 \approx 6,712 \text{ cm} $$
Arrondi au dixième, LM $\approx$ 6,7 cm.

Calculer la mesure d'un angle avec la trigonométrie

1. 1. Vérifier le triangle rectangle : Assure-toi que tu travailles bien dans un triangle rectangle.
2. 2. Identifier l'angle recherché et les côtés connus : Repère l'angle aigu dont tu cherches la mesure et les deux côtés dont tu connais la longueur. Par rapport à l'angle recherché, détermine si les côtés sont l'hypoténuse, le côté adjacent ou le côté opposé.
3. 3. Choisir la bonne formule trigonométrique :
   • Si tu as l'adjacent et l'hypoténuse, utilise le cosinus.
   • Si tu as l'opposé et l'hypoténuse, utilise le sinus.
   • Si tu as l'opposé et l'adjacent, utilise la tangente.
4. 4. Écrire l'équation et utiliser la fonction réciproque : Écris la formule avec les valeurs connues pour calculer le rapport. Puis, utilise la fonction réciproque correspondante ($\text{cos}^{-1}$, $\text{sin}^{-1}$ ou $\text{tan}^{-1}$) sur ta calculatrice pour trouver la mesure de l'angle. N'oublie pas de vérifier que ta calculatrice est en mode degrés.

Exemple
Dans le triangle PQR rectangle en Q, le côté PQ mesure 6 cm et le côté PR mesure 10 cm. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{P}$ (arrondie au degré près).

Corrigé pas à pas
1. Le triangle PQR est rectangle en Q.
2. Pour l'angle $\widehat{P}$ :
• Le côté connu PQ = 6 cm est le côté adjacent à $\widehat{P}$.
• Le côté connu PR = 10 cm est l'hypoténuse.
3. Puisque nous avons le côté adjacent et l'hypoténuse, nous utilisons le cosinus.
$$ \text{cos}(\widehat{P}) = \frac{\text{PQ}}{\text{PR}} $$
4. On remplace les valeurs et on utilise la fonction réciproque :
$$ \text{cos}(\widehat{P}) = \frac{6}{10} = 0,6 $$
$$ \widehat{P} = \text{cos}^{-1}(0,6) $$
À l'aide de la calculatrice, $\widehat{P} \approx 53,13°$.
Arrondi au degré près, $\widehat{P} \approx$ 53°.

Formules de trigonométrie dans le triangle rectangle

• Cosinus : $\text{cos}(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
• Sinus : $\text{sin}(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
• Tangente : $\text{tan}(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Pour trouver un angle

• Si $\text{cos}(\text{angle}) = x$, alors $\text{angle} = \text{cos}^{-1}(x)$
• Si $\text{sin}(\text{angle}) = x$, alors $\text{angle} = \text{sin}^{-1}(x)$
• Si $\text{tan}(\text{angle}) = x$, alors $\text{angle} = \text{tan}^{-1}(x)$

Mémo pour les formules (CAH SOH TOA)

• Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
• Sinus = Opposé / Hypoténuse
• Tangente = Opposé / Adjacent