Proportionnalité (premières situations)

Qu'est-ce que la proportionnalité ?

Deux grandeurs sont dites proportionnelles si l'on peut passer des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.

Par exemple, le prix à payer est proportionnel à la quantité de fruits achetés : si tu achètes deux fois plus de fruits, tu paieras deux fois plus cher. Si tu achètes trois fois moins de fruits, tu paieras trois fois moins cher (à condition que le prix au kilo reste le même).

Méthode
Identifie les deux grandeurs qui sont en jeu dans la situation (par exemple, la quantité et le prix, ou le nombre d'objets et leur masse totale).
Vérifie si, pour passer des valeurs de la première grandeur aux valeurs de la seconde, on utilise toujours la même opération de multiplication ou de division. Si c'est le cas, la situation est proportionnelle.

Exemple
Un boulanger vend des croissants. Voici un tableau qui indique le prix en fonction du nombre de croissants achetés :

| Nombre de croissants | Prix (en €) |
|----------------------|-------------|
| 1 | 1,20 |
| 2 | 2,40 |
| 3 | 3,60 |
| 5 | 6,00 |

Cette situation est-elle une situation de proportionnalité ?

Corrigé pas à pas
Pour passer du nombre de croissants au prix, nous allons vérifier si nous multiplions toujours par le même nombre :
• Pour 1 croissant : $1 \times 1,20 = 1,20$
• Pour 2 croissants : $2 \times 1,20 = 2,40$
• Pour 3 croissants : $3 \times 1,20 = 3,60$
• Pour 5 croissants : $5 \times 1,20 = 6,00$

Oui, dans tous les cas, nous multiplions par 1,20. C'est donc une situation de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est 1,20.

Erreurs fréquentes
Confondre une situation de proportionnalité avec une situation où les grandeurs augmentent ensemble mais pas de manière multiplicative (par exemple, l'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels).
Penser qu'une situation est proportionnelle si l'on ajoute ou soustrait toujours le même nombre (par exemple, si on ajoute 2 à chaque valeur, ce n'est pas de la proportionnalité).

Utiliser le coefficient de proportionnalité

Dans une situation de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité est le nombre fixe par lequel on multiplie les valeurs de la première grandeur pour obtenir les valeurs de la seconde grandeur. On peut aussi l'utiliser en divisant pour aller dans l'autre sens.

Méthode
Assure-toi que la situation est bien une situation de proportionnalité.
Trouve une colonne du tableau où les deux valeurs (pour la première et la deuxième grandeur) sont connues.
Calcule le coefficient de proportionnalité en divisant la valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première grandeur. Par exemple, si tu as une ligne (valeur A, valeur B), le coefficient est $B \div A$.
Utilise ce coefficient pour trouver les valeurs manquantes en multipliant ou en divisant selon le sens.

Exemple
Un magasin vend des paquets de bonbons. Le prix est proportionnel au nombre de paquets. Complète le tableau suivant :

| Nombre de paquets | Prix (en €) |
|-------------------|-------------|
| 2 | 3,00 |
| 4 | ? |
| ? | 7,50 |
| 10 | ? |

Corrigé pas à pas
1. Calcul du coefficient de proportionnalité :
Nous connaissons les valeurs pour 2 paquets : 2 paquets coûtent 3,00 €.
Coefficient = Prix $\div$ Nombre de paquets $= 3,00 \div 2 = 1,50$.
Le coefficient de proportionnalité est 1,50. Cela signifie qu'un paquet coûte 1,50 €.

2. Compléter le tableau :
• Pour 4 paquets : $4 \times 1,50 = 6,00$ €.
• Pour trouver le nombre de paquets pour 7,50 € : $7,50 \div 1,50 = 5$ paquets.
• Pour 10 paquets : $10 \times 1,50 = 15,00$ €.

Tableau complété :
| Nombre de paquets | Prix (en €) |
|-------------------|-------------|
| 2 | 3,00 |
| 4 | 6,00 |
| 5 | 7,50 |
| 10 | 15,00 |

Erreurs fréquentes
Diviser dans le mauvais sens pour trouver le coefficient (par exemple, diviser la première grandeur par la deuxième au lieu de l'inverse).
Oublier d'appliquer le coefficient à toutes les valeurs manquantes.
Faire des erreurs de calcul avec les nombres décimaux.

La méthode du retour à l'unité

La méthode du retour à l'unité est une technique pour résoudre les problèmes de proportionnalité. Elle consiste à calculer la valeur pour une seule unité de la première grandeur (par exemple, le prix d'un seul objet, la distance parcourue en une heure), puis à multiplier ce résultat par le nombre d'unités souhaité.

Méthode
Assure-toi que la situation est bien une situation de proportionnalité.
Identifie la valeur connue pour une certaine quantité (par exemple, '3 stylos coûtent 4,50 €').
Calcule la valeur pour une seule unité (par exemple, le prix d'un seul stylo). Pour cela, tu divises la valeur totale par la quantité connue.
Multiplie cette valeur unitaire par la nouvelle quantité pour laquelle tu cherches la réponse.

Exemple
Si 4 cahiers coûtent 10 €, combien coûtent 7 cahiers ?

Corrigé pas à pas
1. Calcul du prix d'un cahier (retour à l'unité) :
4 cahiers coûtent 10 €.
Donc, 1 cahier coûte $10 \div 4 = 2,50$ €.

2. Calcul du prix de 7 cahiers :
Puisque 1 cahier coûte 2,50 €,
7 cahiers coûtent $7 \times 2,50 = 17,50$ €.

Réponse : 7 cahiers coûtent 17,50 €.

Erreurs fréquentes
Confondre les étapes de division et de multiplication.
Ne pas identifier correctement la valeur unitaire à calculer.
Faire des erreurs de calcul, surtout avec les décimaux.

Identifier une situation de proportionnalité

1. Lis attentivement l'énoncé pour comprendre les deux grandeurs qui varient (par exemple, le nombre d'objets et leur prix, ou la quantité de carburant et la distance parcourue).
2. Cherche si, pour passer d'une grandeur à l'autre, il y a une relation de multiplication ou de division constante. Demande-toi : 'Si je double une quantité, l'autre double-t-elle ? Si je divise par trois, l'autre divise-t-elle par trois ?'
3. Si cette relation multiplicative ou de division est toujours la même, alors c'est une situation de proportionnalité. Sinon, ce n'en est pas une.

Exemple
Est-ce une situation de proportionnalité ?

1. Le nombre de personnes dans une pièce et le nombre de chaises.
2. Le nombre de billes achetées et le prix total, si chaque bille coûte 0,50 €.

Corrigé pas à pas
1. Le nombre de personnes et le nombre de chaises : Non, ce n'est pas une situation de proportionnalité. Si tu doubles le nombre de personnes, le nombre de chaises ne double pas forcément, il peut y avoir plus ou moins de chaises que de personnes. Il n'y a pas de relation multiplicative constante.

2. Le nombre de billes achetées et le prix total : Oui, c'est une situation de proportionnalité. Si tu achètes 1 bille (0,50 €), 2 billes (1 €), 3 billes (1,50 €). Le prix est toujours le nombre de billes multiplié par 0,50. Le coefficient de proportionnalité est 0,50.

Utiliser le coefficient de proportionnalité pour compléter un tableau

1. Vérifie qu'il s'agit bien d'une situation de proportionnalité.
2. Repère une colonne du tableau où les deux valeurs (pour la première et la deuxième grandeur) sont déjà connues.
3. Calcule le coefficient de proportionnalité en divisant la valeur de la deuxième grandeur par la valeur de la première grandeur dans cette colonne. Par exemple, si tu as (quantité, prix), le coefficient est Prix $\div$ Quantité.
4. Pour trouver une valeur manquante dans la deuxième grandeur, multiplie la valeur correspondante de la première grandeur par le coefficient.
5. Pour trouver une valeur manquante dans la première grandeur, divise la valeur correspondante de la deuxième grandeur par le coefficient.

Exemple
Complète le tableau de proportionnalité suivant :

| Nombre de stylos | Prix (en €) |
|------------------|-------------|
| 3 | 4,50 |
| 5 | ? |
| ? | 12,00 |

Corrigé pas à pas
1. Calcul du coefficient de proportionnalité :
Dans la première colonne, nous avons 3 stylos pour 4,50 €.
Coefficient = $4,50 \div 3 = 1,50$.
Le coefficient de proportionnalité est 1,50.

2. Compléter le tableau :
• Pour 5 stylos : $5 \times 1,50 = 7,50$ €.
• Pour trouver le nombre de stylos pour 12,00 € : $12,00 \div 1,50 = 8$ stylos.

Tableau complété :
| Nombre de stylos | Prix (en €) |
|------------------|-------------|
| 3 | 4,50 |
| 5 | 7,50 |
| 8 | 12,00 |

Utiliser la méthode du retour à l'unité

1. Vérifie que la situation est proportionnelle.
2. Identifie les informations données : une quantité et la valeur qui lui correspond (par exemple, '5 litres de jus coûtent 7,50 €').
3. Calcule la valeur pour une seule unité. Pour cela, divise la valeur totale par la quantité connue (par exemple, $7,50 \div 5$ pour trouver le prix d'un litre).
4. Utilise cette valeur unitaire pour calculer la réponse à la question posée en multipliant par la nouvelle quantité.

Exemple
Si 6 œufs coûtent 1,80 €, combien coûtent 10 œufs ?

Corrigé pas à pas
1. Calcul du prix d'un œuf (retour à l'unité) :
6 œufs coûtent 1,80 €.
Prix d'un œuf $= 1,80 \div 6 = 0,30$ €.

2. Calcul du prix de 10 œufs :
Puisque 1 œuf coûte 0,30 €,
10 œufs coûtent $10 \times 0,30 = 3,00$ €.

Réponse : 10 œufs coûtent 3,00 €.

La proportionnalité

• Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant (ou divisant) toujours par le même nombre.
• Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.

Méthodes pour résoudre un problème de proportionnalité

• Méthode du coefficient :
  1. Calculer le coefficient de proportionnalité (valeur 2 $\div$ valeur 1).
  2. Multiplier (ou diviser) les autres valeurs par ce coefficient.
• Méthode du retour à l'unité :
  1. Calculer la valeur pour une seule unité (par une division).
  2. Multiplier cette valeur unitaire par la quantité souhaitée.