Le produit scalaire dans le plan

Définitions géométriques et trigonométriques du produit scalaire

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est le nombre réel défini par :
- Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
- Si $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $\vec{v} \neq \vec{0}$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos(\theta)$, où $\theta = (\vec{u}, \vec{v})$ est l'angle formé par les deux vecteurs.

Formulation géométrique avec projection orthogonale : soient trois points $A$, $B$ et $C$ avec $A \neq B$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Alors :
$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$$
- Si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont de même sens : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH$.
- Si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont de sens contraire : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = - AB \times AH$.

Méthode
Identifier si les longueurs et l'angle entre les vecteurs sont connus ; dans ce cas, appliquer directement la formule trigonométrique $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \lVert\vec{v}\rVert \cos(\theta)$.
Si l'angle n'est pas explicite mais qu'un projeté orthogonal est aisé à déterminer (triangle rectangle, hauteur), projeter l'un des vecteurs sur la droite portant l'autre.
Veiller au signe du produit scalaire : positif si l'angle est aigu ($0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$), nul si l'angle est droit ($\theta = \frac{\pi}{2}$), négatif si l'angle est obtus ($\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$).

Exemple
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a = 6$. Soit $H$ le milieu de $[BC]$. Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ puis $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$.

Corrigé pas à pas
1. Dans le triangle équilatéral $ABC$, l'angle $\widehat{BAC}$ mesure $60^\circ$ (soit $\frac{\pi}{3}$ rad). Ainsi :
$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(60^\circ) = 6 \times 6 \times \frac{1}{2} = 18$$
2. Pour $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$, exprimons les vecteurs avec une même origine : $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = - \vec{BA} \cdot \vec{BC}$. L'angle $\widehat{ABC}$ vaut $60^\circ$, donc :
$$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = - (BA \times BC \times \cos(60^\circ)) = - (6 \times 6 \times 0{,}5) = -18$$

Erreurs fréquentes
Confondre produit scalaire (dont le résultat est un nombre réel) et produit d'un vecteur par un réel (qui est un vecteur). Le produit scalaire de deux vecteurs n'est jamais un vecteur.
Oublier le signe négatif lors de l'application de la projection lorsque les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ ont des sens opposés.
Utiliser la mesure de l'angle géométrique au lieu de l'angle entre les deux vecteurs orientés depuis une même origine.

Expression analytique et orthogonalité

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, si $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, alors le produit scalaire est donné par :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$

Norme d'un vecteur : $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Critère fondamental d'orthogonalité : deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff xx' + yy' = 0$$

Méthode
Vérifier que le repère utilisé est bien orthonormé avant d'appliquer la formule $xx' + yy'$.
Calculer les coordonnées des vecteurs en faisant la différence des coordonnées des extrémités et des origines : $\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.
Effectuer le produit des abscisses, le produit des ordonnées, puis les additionner.
Pour prouver que deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires, calculer $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$ et vérifier si le résultat est égal à 0.

Exemple
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1; 2)$, $B(4; 6)$, $C(-2; 1)$ et $D(2; -2)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ?

Corrigé pas à pas
Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ :
$$\vec{AB} \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 6 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{CD} \begin{pmatrix} 2 - (-2) \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$$
Calculons leur produit scalaire :
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = x_{\vec{AB}} x_{\vec{CD}} + y_{\vec{AB}} y_{\vec{CD}} = 3 \times 4 + 4 \times (-3) = 12 - 12 = 0$$
Puisque $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont orthogonaux. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc perpendiculaires.

Erreurs fréquentes
Appliquer l'expression analytique $xx' + yy'$ dans un repère quelconque non orthonormé.
Multiplier les coordonnées entre elles sous forme d'un couple $(xx'; yy')$ au lieu d'additionner pour obtenir un scalaire unique $xx' + yy'$.

Formules de polarisation et théorème d'Al-Kashi

Identités remarquables et formules de polarisation : pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2\right)$
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2\right)$

Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) : dans un triangle $ABC$ quelconque, en notant $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ et $\widehat{A}$ l'angle en $A$ :
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})$$
(de même, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\widehat{B})$ et $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{C})$).

Méthode
Pour déterminer une longueur inconnue dans un triangle où l'on connaît deux côtés et l'angle compris, appliquer directement la relation d'Al-Kashi.
Pour calculer la mesure d'un angle dans un triangle dont les trois longueurs sont connues, isoler $\cos(\widehat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$, puis utiliser la fonction réciproque $\arccos$.

Exemple
Dans un triangle $ABC$, on donne $AB = 5$, $AC = 8$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Calculer la longueur exacte de $BC$.

Corrigé pas à pas
D'après le théorème d'Al-Kashi dans le triangle $ABC$ :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$$
On remplace par les valeurs numériques :
$$BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos(60^\circ)$$
$$BC^2 = 25 + 64 - 80 \times 0{,}5 = 89 - 40 = 49$$
Puisque $BC > 0$, on obtient $BC = \sqrt{49} = 7$.

Erreurs fréquentes
Oublier le facteur 2 dans le terme $-2bc\cos(\widehat{A})$.
Se tromper de côté opposé à l'angle : le terme isolé à gauche du signe égal ($a^2$) doit toujours être le côté opposé à l'angle utilisé dans le cosinus ($\\widehat{A}$).
Effectuer la soustraction $b^2 + c^2 - 2bc$ avant la multiplication par le cosinus, en violant la priorité opératoire.

Calculer l'angle entre deux vecteurs à l'aide des coordonnées

1. Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
2. Calculer les normes des deux vecteurs : $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $\lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{x'^2 + y'^2}$.
3. Utiliser l'égalité $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos(\theta)$ pour isoler le cosinus : $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert \lVert\vec{v}\rVert}$.
4. Déterminer l'angle $\theta$ en degrés ou en radians en utilisant la fonction $\arccos$.

Exemple
Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$. Déterminer une valeur approchée au degré près de l'angle $\theta = (\vec{u}, \vec{v})$.

Corrigé pas à pas
1. Calcul du produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times 1 = 3 + 2 = 5$.
2. Calcul des normes :
$$\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, \quad \lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$$
3. Calcul du cosinus :
$$\cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
4. Détermination de l'angle : $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ donne $\theta = 45^\circ$ (ou $\frac{\pi}{4}$ rad).

Déterminer une équation cartésienne de droite à l'aide d'un vecteur normal

1. Rappeler qu'un vecteur non nul $\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est normal à une droite $d$ si et seulement si $d$ admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$.
2. Remplacer $a$ et $b$ dans l'équation par les coordonnées du vecteur normal $\vec{n}$.
3. Déterminer la constante $c$ en injectant les coordonnées d'un point $A(x_A; y_A)$ appartenant à la droite : $a x_A + b y_A + c = 0 \iff c = -a x_A - b y_A$.

Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A(3; -1)$ et admettant $\vec{n} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}$ pour vecteur normal.

Corrigé pas à pas
Puisque $\vec{n} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}$ est normal à $d$, la droite admet une équation cartésienne de la forme :
$$2x - 5y + c = 0$$
Le point $A(3; -1)$ appartient à $d$, ses coordonnées vérifient donc l'équation :
$$2(3) - 5(-1) + c = 0 \iff 6 + 5 + c = 0 \iff 11 + c = 0 \iff c = -11$$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $2x - 5y - 11 = 0$.

Expressions fondamentales du produit scalaire

• Formule trigonométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \lVert\vec{v}\rVert \cos(\theta)$
• Formule analytique (repère orthonormé) : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$
• Projection orthogonale : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH} = \pm AB \times AH$
• Lien avec la norme : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert\vec{u}\rVert^2$, $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}$

Propriétés et théorèmes associés

• Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
• Symétrie et bilinéarité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ et $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
• Théorème d'Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})$
• Droite et vecteur normal : $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \perp d \iff d : ax + by + c = 0$