Second degré : équations et fonctions

Fonction polynôme du second degré et forme canonique

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par une expression de la forme $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés avec $a \neq 0$.

Sa représentation graphique est une parabole dont l'axe de symétrie est la droite verticale d'équation $x = -\frac{b}{2a}$ et le sommet a pour coordonnées $S(\alpha ; \beta)$ avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.

Toute fonction polynôme du second degré admet une forme canonique unique : $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$ avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$.

Méthode
Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ du trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$.
Calculer l'abscisse du sommet : $\alpha = -\frac{b}{2a}$.
Calculer l'ordonnée du sommet : $\beta = f(\alpha)$.
Écrire la forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$.
Déduire le sens de variation : si $a > 0$, la parabole est orientée vers le haut (décroissante puis croissante, minimum en $\alpha$) ; si $a < 0$, elle est orientée vers le bas (croissante puis décroissante, maximum en $\alpha$).

Exemple
Déterminer la forme canonique de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$, puis donner les coordonnées de son sommet et ses variations.

Corrigé pas à pas
1. On identifie les coefficients : $a = 2$, $b = -8$, $c = 6$.
2. On calcule $\alpha$ :
$$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$
3. On calcule $\beta = f(2)$ :
$$\beta = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 2 \times 4 - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$
4. La forme canonique est donc :
$$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$
5. Le sommet de la parabole est $S(2 ; -2)$. Comme $a = 2 > 0$, la parabole est tournée vers le haut : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; 2]$ et strictement croissante sur $[2 ; +\infty[$. Elle admet un minimum égal à $-2$ atteint en $x = 2$.

Erreurs fréquentes
Oublier de factoriser par $a$ lors du passage à la forme canonique algébrique directe.
Confondre $\alpha = -\frac{b}{2a}$ avec $\frac{b}{2a}$ (attention au signe négatif).
Écrire $(x + \alpha)^2$ au lieu de $(x - \alpha)^2$ dans la forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$.

Équations du second degré et discriminant

Soit l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$. Le nombre réel noté $\Delta$ (delta) et défini par $$\Delta = b^2 - 4ac$$ est appelé le discriminant du trinôme.

Le nombre de solutions réelles de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ dépend du signe de $\Delta$ :
- Si $\Delta < 0$, l'équation n'admet aucune solution réelle ($S = \emptyset$).
- Si $\Delta = 0$, l'équation admet une unique solution réelle (dite racine double) : $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$
- Si $\Delta > 0$, l'équation admet deux solutions réelles distinctes : $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Méthode
Mettre l'équation sous la forme standard $ax^2 + bx + c = 0$.
Identifier précisément les valeurs de $a$, $b$ et $c$ (avec leurs signes).
Calculer le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$.
Analyser le signe de $\Delta$ :
- si $\Delta > 0$, calculer les deux racines $x_1$ et $x_2$ ;
- si $\Delta = 0$, calculer la racine double $x_0$ ;
- si $\Delta < 0$, conclure qu'il n'y a pas de solution réelle.
Écrire l'ensemble des solutions $S$.

Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

Corrigé pas à pas
1. L'équation est sous forme standard avec $a = 3$, $b = -5$ et $c = -2$.
2. On calcule le discriminant $\Delta$ :
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 25 + 24 = 49$$
3. Comme $\Delta > 0$, l'équation admet deux solutions réelles distinctes :
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \times 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$
$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \times 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$
4. L'ensemble des solutions est $S = \left\{-\frac{1}{3} ; 2\right\}$.

Erreurs fréquentes
Calculer $(-5)^2$ en oubliant les parenthèses et trouver $-25$ au lieu de $25$.
Oublier de multiplier par $2a$ au dénominateur (écrire $2$ au lieu de $2a$).
Ne pas changer le signe de $b$ dans la formule : $-b$ avec $b = -5$ donne $+5$.

Factorisation et signe du trinôme

Factorisation :
- Si $\Delta > 0$, le trinôme se factorise sous la forme : $$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$
- Si $\Delta = 0$, le trinôme se factorise sous la forme : $$f(x) = a(x - x_0)^2$$
- Si $\Delta < 0$, le trinôme ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré dans $\mathbb{R}$.

Signe du trinôme :
Un trinôme $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines (lorsqu'elles existent).
- Si $\Delta > 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ sur $]-\infty ; x_1[$ et sur $]x_2 ; +\infty[$, et du signe de $-a$ sur $]x_1 ; x_2[$ (en supposant $x_1 < x_2$).
- Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$, et s'annule en $x_0$.
- Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ est strictement du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (la courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses).

Méthode
Calculer $\Delta$ et déterminer les éventuelles racines $x_1$ et $x_2$ (avec $x_1 < x_2$).
Dresser le tableau de signes avec les valeurs de $x$ ordonnées.
Placer les zéros sous les racines.
Appliquer la règle : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ entre les racines.
Conclure pour résoudre une inéquation en lisant l'intervalle correspondant au signe cherché.

Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-2x^2 + 5x + 3 \geq 0$.

Corrigé pas à pas
1. On étudie le trinôme $f(x) = -2x^2 + 5x + 3$ avec $a = -2$, $b = 5$, $c = 3$.
2. Calcul de $\Delta$ :
$$\Delta = 5^2 - 4 \times (-2) \times 3 = 25 + 24 = 49 > 0$$
3. Calcul des racines :
$$x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \times (-2)} = \frac{-12}{-4} = 3$$
$$x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \times (-2)} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$$
4. Signe du trinôme : $a = -2 < 0$. Le trinôme est du signe de $-a$ (donc positif) entre les racines et du signe de $a$ (donc négatif) à l'extérieur.
5. On cherche les $x$ tels que $f(x) \geq 0$. L'ensemble des solutions est $S = \left[-\frac{1}{2} ; 3\right]$.

Erreurs fréquentes
Oublier le coefficient $a$ devant la forme factorisée : écrire $(x - x_1)(x - x_2)$ au lieu de $a(x - x_1)(x - x_2)$.
Inverser la règle des signes : placer le signe de $a$ à l'intérieur des racines au lieu de l'extérieur.
Oublier d'ordonner les racines ($x_1 < x_2$) dans la première ligne du tableau de signes.

Résoudre une équation du second degré

1. Écrire l'équation sous la forme standard $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifier $a$, $b$ et $c$.
3. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Si $\Delta < 0$, conclure : aucune solution réelle.
5. Si $\Delta = 0$, calculer l'unique solution $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
6. Si $\Delta > 0$, calculer les deux solutions distinctes $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2 + 3x - 5 = 0$.

Corrigé pas à pas
- $a = 2$, $b = 3$, $c = -5$
- $\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times (-5) = 9 + 40 = 49$
- Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles :
$$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$$
$$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
- Conclusion : $S = \left\{-\frac{5}{2} ; 1\right\}$.

Résoudre une inéquation du second degré

1. Transposer tous les termes d'un seul côté pour obtenir une expression de la forme $ax^2 + bx + c \ge 0$ (ou $\le, >, <$).
2. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ du trinôme associé.
3. Déterminer les racines éventuelles du trinôme.
4. Appliquer la règle du signe du trinôme : du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe de $-a$ entre les racines.
5. Conclure en écrivant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2 - 4x - 5 < 0$.

Corrigé pas à pas
- Trinôme $f(x) = x^2 - 4x - 5$ avec $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$.
- Discriminant : $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-5) = 16 + 20 = 36 > 0$.
- Racines : $x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1$ et $x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
- Comme $a = 1 > 0$, le trinôme est strictement négatif (signe de $-a$) entre les racines.
- L'inégalité étant stricte, on exclut les racines : $S = ]-1 ; 5[$.

Forme canonique et sommet

• Forme développée : $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$)
• Forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$
• Coordonnées du sommet : $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$
• Axe de symétrie : droite d'équation $x = \alpha$

Résolution et factorisation

• Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$
• $\Delta > 0$ : 2 racines $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ et factorisation $a(x - x_1)(x - x_2)$
• $\Delta = 0$ : 1 racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$ et factorisation $a(x - x_0)^2$
• $\Delta < 0$ : pas de racine réelle, pas de factorisation dans $\mathbb{R}$
• Signe du trinôme : du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe de $-a$ entre les racines