Énergie : travail, énergie cinétique et potentielle

Le travail d'une force

En physique, le travail d'une force est une grandeur scalaire qui caractérise l'énergie transférée par cette force à un système lorsque son point d'application se déplace. Il s'exprime en joules (J) dans le Système International d'Unités. Le travail d'une force constante $\vec{F}$ lors d'un déplacement rectiligne $\vec{AB}$ de son point d'application est défini par le produit scalaire de la force et du vecteur déplacement.

Méthode
Identifier la force $\vec{F}$ dont on souhaite calculer le travail.
Identifier le vecteur déplacement $\vec{AB}$ du point d'application de la force.
Déterminer l'angle $\alpha$ entre la direction de la force et celle du déplacement.
Appliquer la formule du travail : $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos(\alpha)$.
Interpréter le signe du travail : positif (moteur), négatif (résistant) ou nul (force perpendiculaire au déplacement).

Exemple
Un chariot de masse $m = 100\ \text{kg}$ est tiré sur une distance $d = 20\ \text{m}$ par une force de traction $\vec{F}$ d'intensité $F = 300\ \text{N}$. La force forme un angle de $30^{\circ}$ avec la direction du déplacement. Calculer le travail de cette force.

Corrigé pas à pas
Le travail de la force de traction est donné par la formule $W = F \times d \times \cos(\alpha)$.
Dans cet exemple :
$F = 300\ \text{N}$
$d = 20\ \text{m}$
$\alpha = 30^{\circ}$

$W = 300\ \text{N} \times 20\ \text{m} \times \cos(30^{\circ})$
$W = 6000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 6000 \times 0,866$
$W \approx 5196\ \text{J}$

Le travail de la force de traction est d'environ $5196\ \text{J}$. C'est un travail moteur car il est positif, ce qui signifie que la force fournit de l'énergie au chariot.

Erreurs fréquentes
Oublier l'angle $\alpha$ ou utiliser un angle incorrect (par exemple, l'angle avec la verticale au lieu de l'horizontale).
Confondre le travail avec la force ou la puissance.
Ne pas respecter les unités du Système International (Newton pour la force, mètre pour la distance, Joule pour le travail).

L'énergie cinétique

L'énergie cinétique ($E_c$) est l'énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Elle dépend de sa masse et de sa vitesse. Plus un corps est lourd et rapide, plus son énergie cinétique est élevée. Elle s'exprime en joules (J).

Méthode
Identifier la masse $m$ du corps en mouvement (en kilogrammes, kg).
Identifier la vitesse $v$ du corps (en mètres par seconde, m/s).
Appliquer la formule de l'énergie cinétique : $E_c = \frac{1}{2}mv^2$.

Exemple
Calculer l'énergie cinétique d'une voiture de masse $m = 1200\ \text{kg}$ roulant à une vitesse $v = 90\ \text{km/h}$.

Corrigé pas à pas
Avant d'appliquer la formule, il est impératif de convertir la vitesse en mètres par seconde (m/s), car l'unité SI de vitesse est le m/s.
$v = 90\ \text{km/h} = \frac{90 \times 1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}} = 25\ \text{m/s}$

Maintenant, appliquons la formule de l'énergie cinétique :
$E_c = \frac{1}{2}mv^2$
$E_c = \frac{1}{2} \times 1200\ \text{kg} \times (25\ \text{m/s})^2$
$E_c = 600 \times 625$
$E_c = 375000\ \text{J} = 375\ \text{kJ}$

L'énergie cinétique de la voiture est de $375\ \text{kJ}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de convertir la vitesse en m/s si elle est donnée en km/h.
Oublier d'élever la vitesse au carré ($v^2$).
Utiliser une masse en grammes au lieu de kilogrammes.

Les énergies potentielles

L'énergie potentielle est l'énergie qu'un corps possède en raison de sa position ou de sa configuration. Il existe plusieurs formes d'énergie potentielle, dont les plus courantes sont l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie potentielle élastique.

Exemple
Un livre est posé sur une étagère à $1,5\ \text{m}$ du sol. Sa masse est de $0,8\ \text{kg}$. Calculer son énergie potentielle de pesanteur par rapport au sol.

Corrigé pas à pas
La masse du livre est $m = 0,8\ \text{kg}$, la hauteur est $h = 1,5\ \text{m}$ et l'accélération de la pesanteur est $g = 9,81\ \text{N/kg}$ (ou $9,81\ \text{m/s}^2$).
L'énergie potentielle de pesanteur est donnée par :
$E_{pp} = mgh$
$E_{pp} = 0,8\ \text{kg} \times 9,81\ \text{N/kg} \times 1,5\ \text{m}$
$E_{pp} = 11,772\ \text{J}$
L'énergie potentielle de pesanteur du livre est d'environ $11,77\ \text{J}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de définir un niveau de référence pour l'énergie potentielle de pesanteur.
Confondre la constante de raideur $k$ d'un ressort avec la constante de gravitation $g$.
Oublier d'élever l'allongement $x$ au carré pour l'énergie potentielle élastique.

L'énergie potentielle de pesanteur (EPP)

L'énergie potentielle de pesanteur ($E_{pp}$) est l'énergie qu'un corps possède en raison de sa position dans un champ de pesanteur. Elle dépend de sa masse, de l'accélération de la pesanteur et de sa hauteur par rapport à un niveau de référence choisi arbitrairement (souvent le sol).

Méthode
Identifier la masse $m$ du corps (en kg).
Identifier la hauteur $h$ du corps par rapport au niveau de référence (en m).
Utiliser la valeur de l'accélération de la pesanteur $g$ (environ $9,81\ \text{N/kg}$ ou $9,81\ \text{m/s}^2$ à la surface de la Terre).
Appliquer la formule : $E_{pp} = mgh$.

Exemple
Un alpiniste de $80\ \text{kg}$ se trouve à une altitude de $2000\ \text{m}$. Calculer son énergie potentielle de pesanteur par rapport au niveau de la mer (considéré comme $h=0$). On prendra $g = 9,81\ \text{N/kg}$.

Corrigé pas à pas
La masse de l'alpiniste est $m = 80\ \text{kg}$, sa hauteur est $h = 2000\ \text{m}$ et $g = 9,81\ \text{N/kg}$.
L'énergie potentielle de pesanteur est :
$E_{pp} = mgh$
$E_{pp} = 80\ \text{kg} \times 9,81\ \text{N/kg} \times 2000\ \text{m}$
$E_{pp} = 1569600\ \text{J} = 1,57\ \text{MJ}$ (méga joules)
L'énergie potentielle de pesanteur de l'alpiniste est d'environ $1,57\ \text{MJ}$.

Erreurs fréquentes
Ne pas choisir ou spécifier clairement le niveau de référence $h=0$. Le choix du niveau de référence affecte la valeur absolue de $E_{pp}$, mais pas les variations d'énergie potentielle.
Utiliser une masse en grammes.

L'énergie potentielle élastique (EPE)

L'énergie potentielle élastique ($E_{pe}$) est l'énergie emmagasinée dans un corps élastique (comme un ressort) lorsqu'il est déformé (étiré ou comprimé) par rapport à sa position d'équilibre. Elle est proportionnelle au carré de la déformation.

Méthode
Identifier la constante de raideur $k$ du ressort (en Newtons par mètre, N/m).
Identifier l'allongement ou la compression $x$ du ressort par rapport à sa position d'équilibre (en mètres, m).
Appliquer la formule : $E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2$.

Exemple
Un ressort de constante de raideur $k = 150\ \text{N/m}$ est étiré de $10\ \text{cm}$ par rapport à sa longueur au repos. Calculer l'énergie potentielle élastique emmagasinée.

Corrigé pas à pas
La constante de raideur est $k = 150\ \text{N/m}$. L'allongement est $x = 10\ \text{cm} = 0,10\ \text{m}$.
L'énergie potentielle élastique est :
$E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2$
$E_{pe} = \frac{1}{2} \times 150\ \text{N/m} \times (0,10\ \text{m})^2$
$E_{pe} = 75 \times 0,01$
$E_{pe} = 0,75\ \text{J}$
L'énergie potentielle élastique emmagasinée dans le ressort est de $0,75\ \text{J}$.

Erreurs fréquentes
Utiliser l'allongement en centimètres au lieu de mètres.
Oublier le facteur $\frac{1}{2}$ dans la formule.

L'énergie mécanique et sa conservation

L'énergie mécanique ($E_m$) d'un système est la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles (gravitationnelle et élastique, si applicable). Elle représente l'énergie totale liée au mouvement et à la position du système.
$E_m = E_c + E_{pp} + E_{pe}$

Conservation de l'énergie mécanique :
Dans un système où seules des forces conservatives (comme la pesanteur ou la force de rappel d'un ressort idéal) agissent, l'énergie mécanique totale du système reste constante. Cela signifie que l'énergie peut se transformer d'une forme à l'autre (par exemple, cinétique en potentielle et inversement), mais la somme reste inchangée. Si des forces non conservatives (comme les frottements) agissent, l'énergie mécanique n'est pas conservée ; elle est dissipée, souvent sous forme de chaleur.

Méthode
Calculer l'énergie cinétique $E_c$ du système à un instant donné.
Calculer l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ du système à ce même instant (en définissant un niveau de référence).
Calculer l'énergie potentielle élastique $E_{pe}$ si le système est lié à un ressort déformé.
Additionner ces énergies pour obtenir l'énergie mécanique totale : $E_m = E_c + E_{pp} + E_{pe}$.
Si seules des forces conservatives agissent, l'énergie mécanique $E_m$ est conservée au cours du mouvement.

Exemple
Un pendule de masse $m = 0,5\ \text{kg}$ est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur $h_1 = 0,2\ \text{m}$ par rapport à sa position la plus basse. Calculer son énergie mécanique au point de départ. En l'absence de frottements, quelle sera sa vitesse au point le plus bas ($h_2 = 0\ \text{m}$) ?

Corrigé pas à pas
1. Énergie mécanique au point de départ (point 1) :
Au point de départ, la vitesse est nulle ($v_1 = 0$), donc l'énergie cinétique $E_{c1} = 0$. L'énergie potentielle de pesanteur est $E_{pp1} = mgh_1$. On prend le point le plus bas comme référence ($h=0$).
$E_{pp1} = 0,5\ \text{kg} \times 9,81\ \text{N/kg} \times 0,2\ \text{m} = 0,981\ \text{J}$
L'énergie mécanique au point 1 est $E_{m1} = E_{c1} + E_{pp1} = 0 + 0,981 = 0,981\ \text{J}$.

2. Vitesse au point le plus bas (point 2) :
En l'absence de frottements, l'énergie mécanique est conservée : $E_{m1} = E_{m2}$.
Au point le plus bas, la hauteur est $h_2 = 0$, donc l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp2} = 0$. L'énergie cinétique est $E_{c2} = \frac{1}{2}mv_2^2$.
Donc, $E_{m2} = \frac{1}{2}mv_2^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_2^2$.

Par conservation de l'énergie mécanique :
$E_{m1} = E_{m2} \implies 0,981 = \frac{1}{2}mv_2^2$
$0,981 = \frac{1}{2} \times 0,5 \times v_2^2$
$0,981 = 0,25 \times v_2^2$
$v_2^2 = \frac{0,981}{0,25} = 3,924$
$v_2 = \sqrt{3,924} \approx 1,98\ \text{m/s}$

La vitesse du pendule au point le plus bas sera d'environ $1,98\ \text{m/s}$.

Erreurs fréquentes
Oublier d'inclure toutes les formes d'énergie potentielle pertinentes dans le calcul de l'énergie mécanique.
Appliquer la conservation de l'énergie mécanique en présence de forces non conservatives (frottements, résistance de l'air) sans tenir compte de leur travail.
Confondre la conservation de l'énergie mécanique avec la conservation de l'énergie totale (qui inclut l'énergie thermique, chimique, etc.).

Le théorème de l'énergie cinétique

Le théorème de l'énergie cinétique établit que la variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures et intérieures qui s'exercent sur ce système pendant cet intervalle de temps.
$\Delta E_c = E_{c,finale} - E_{c,initiale} = \sum W_{forces}$
Ce théorème est fondamental car il s'applique même en présence de forces non conservatives (comme les frottements), contrairement à la conservation de l'énergie mécanique. Il permet de relier directement le mouvement d'un corps aux forces qui agissent sur lui.

Méthode
Identifier l'état initial (vitesse $v_i$) et l'état final (vitesse $v_f$) du système.
Calculer l'énergie cinétique initiale $E_{c,i} = \frac{1}{2}mv_i^2$ et finale $E_{c,f} = \frac{1}{2}mv_f^2$.
Identifier toutes les forces agissant sur le système pendant le déplacement.
Calculer le travail de chaque force sur le déplacement considéré.
Faire la somme algébrique de tous les travaux : $\sum W_{forces}$.
Appliquer le théorème : $E_{c,f} - E_{c,i} = \sum W_{forces}$ pour déterminer une inconnue (vitesse, force, distance).

Exemple
Un skieur de $70\ \text{kg}$ (équipement compris) part du repos en haut d'une piste de $50\ \text{m}$ de long, inclinée à $30^{\circ}$ par rapport à l'horizontale. Les frottements sont modélisés par une force constante de $100\ \text{N}$ opposée au mouvement. Quelle est la vitesse du skieur en bas de la piste ? ($g = 9,81\ \text{N/kg}$)

Corrigé pas à pas
1. Forces en jeu et leurs travaux :
• Poids (gravité) : La force de pesanteur $P = mg$ agit verticalement vers le bas. Le déplacement vertical est $h = L \sin(30^{\circ}) = 50 \times 0,5 = 25\ \text{m}$. Le travail du poids est moteur : $W_P = mgh = 70 \times 9,81 \times 25 = 17167,5\ \text{J}$.
• Réaction normale du support : La force de réaction normale $\vec{R}_N$ est perpendiculaire à la piste, donc perpendiculaire au déplacement. Son travail est nul : $W_{R_N} = 0$.
• Frottements : La force de frottement $\vec{f}$ est opposée au mouvement. L'angle entre $\vec{f}$ et le déplacement est $180^{\circ}$. Son travail est résistant : $W_f = f \times L \times \cos(180^{\circ}) = 100 \times 50 \times (-1) = -5000\ \text{J}$.

2. Somme des travaux :
$\sum W_{forces} = W_P + W_{R_N} + W_f = 17167,5 + 0 - 5000 = 12167,5\ \text{J}$.

3. Application du théorème de l'énergie cinétique :
Le skieur part du repos, donc $E_{c,initiale} = 0$. L'énergie cinétique finale est $E_{c,finale} = \frac{1}{2}mv_f^2$.
$\Delta E_c = E_{c,finale} - E_{c,initiale} = \sum W_{forces}$
$\frac{1}{2}mv_f^2 - 0 = 12167,5$
$\frac{1}{2} \times 70 \times v_f^2 = 12167,5$
$35 v_f^2 = 12167,5$
$v_f^2 = \frac{12167,5}{35} = 347,64$
$v_f = \sqrt{347,64} \approx 18,65\ \text{m/s}$

La vitesse du skieur en bas de la piste est d'environ $18,65\ \text{m/s}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de prendre en compte toutes les forces agissant sur le système (par exemple, négliger les frottements quand ils sont mentionnés).
Ne pas calculer correctement le travail de chaque force (erreur d'angle ou de signe).
Confondre le théorème de l'énergie cinétique avec la conservation de l'énergie mécanique (le TEC est plus général).

Calculer le travail d'une force constante

1. Étape 1 : Identifier la force et le déplacement. Notez l'intensité de la force $F$ (en N) et la distance $d$ parcourue par son point d'application (en m). Représentez les vecteurs force $\vec{F}$ et déplacement $\vec{d}$ (ou $\vec{AB}$).
2. Étape 2 : Déterminer l'angle. Mesurez l'angle $\alpha$ (en degrés ou radians) entre la direction de la force et celle du déplacement.
3. Étape 3 : Appliquer la formule. Utilisez la formule $W = F \times d \times \cos(\alpha)$.
4. Étape 4 : Interpréter le résultat. Un travail positif signifie que la force fournit de l'énergie au système (travail moteur). Un travail négatif signifie que la force retire de l'énergie au système (travail résistant). Un travail nul signifie que la force ne transfère pas d'énergie (par exemple, si elle est perpendiculaire au déplacement).

Exemple
Un enfant tire un jouet avec une force de $15\ \text{N}$ sur une distance de $5\ \text{m}$. La corde avec laquelle il tire fait un angle de $20^{\circ}$ avec le sol. Calculer le travail de la force de traction.

Corrigé pas à pas
1. Identification :
Force $F = 15\ \text{N}$
Déplacement $d = 5\ \text{m}$
Angle $\alpha = 20^{\circ}$

2. Application de la formule :
$W = F \times d \times \cos(\alpha)$
$W = 15\ \text{N} \times 5\ \text{m} \times \cos(20^{\circ})$
$W = 75 \times 0,9397$
$W \approx 70,48\ \text{J}$

3. Interprétation :
Le travail est positif ($70,48\ \text{J}$), c'est donc un travail moteur. La force de traction fournit de l'énergie au jouet.

Appliquer le théorème de l'énergie cinétique

1. Étape 1 : Définir les états initial et final. Identifiez les vitesses ($v_i$, $v_f$) et les positions du système aux début et fin du mouvement étudié.
2. Étape 2 : Calculer la variation d'énergie cinétique. Déterminez $E_{c,i} = \frac{1}{2}mv_i^2$ et $E_{c,f} = \frac{1}{2}mv_f^2$. Calculez ensuite $\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i}$. Assurez-vous que la masse est en kg et les vitesses en m/s.
3. Étape 3 : Identifier et calculer le travail de toutes les forces. Listez toutes les forces agissant sur le système pendant le déplacement (poids, réaction normale, frottements, forces de traction, etc.). Calculez le travail de chaque force $W_i$ en utilisant $W_i = F_i \times d \times \cos(\alpha_i)$.
4. Étape 4 : Calculer la somme des travaux. Additionnez algébriquement tous les travaux calculés : $\sum W_{forces} = W_1 + W_2 + ...$.
5. Étape 5 : Appliquer le théorème. Écrivez l'équation $\Delta E_c = \sum W_{forces}$ et résolvez-la pour trouver la grandeur inconnue (vitesse finale, intensité d'une force, etc.).

Exemple
Un objet de masse $m = 2\ \text{kg}$ est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0 = 10\ \text{m/s}$. En négligeant la résistance de l'air, quelle hauteur maximale $h$ atteindra-t-il ? ($g = 9,81\ \text{N/kg}$)

Corrigé pas à pas
1. États initial et final :
• Initial : $v_i = 10\ \text{m/s}$ (au sol, $h=0$).
• Final : $v_f = 0\ \text{m/s}$ (à la hauteur maximale $h$).

2. Variation d'énergie cinétique :
$E_{c,i} = \frac{1}{2} \times 2\ \text{kg} \times (10\ \text{m/s})^2 = 100\ \text{J}$
$E_{c,f} = \frac{1}{2} \times 2\ \text{kg} \times (0\ \text{m/s})^2 = 0\ \text{J}$
$\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = 0 - 100 = -100\ \text{J}$

3. Travail des forces :
La seule force agissant est le poids $\vec{P} = m\vec{g}$. Le déplacement est vertical vers le haut, le poids est vertical vers le bas. L'angle entre $\vec{P}$ et $\vec{d}$ est $180^{\circ}$.
$W_P = P \times h \times \cos(180^{\circ}) = mg \times h \times (-1) = -mgh$
$W_P = -2\ \text{kg} \times 9,81\ \text{N/kg} \times h = -19,62h$

4. Somme des travaux :
$\sum W_{forces} = W_P = -19,62h$

5. Application du théorème :
$\Delta E_c = \sum W_{forces}$
$-100 = -19,62h$
$h = \frac{-100}{-19,62} \approx 5,09\ \text{m}$

L'objet atteindra une hauteur maximale d'environ $5,09\ \text{m}$.

Formules clés

• Travail d'une force constante : $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos(\alpha)$
• Énergie cinétique : $E_c = \frac{1}{2}mv^2$
• Énergie potentielle de pesanteur : $E_{pp} = mgh$ (avec $h$ par rapport à une référence)
• Énergie potentielle élastique : $E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2$
• Énergie mécanique : $E_m = E_c + E_{pp} + E_{pe}$
• Théorème de l'énergie cinétique : $\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = \sum W_{forces}$

Unités SI

• Masse : kilogramme (kg)
• Vitesse : mètre par seconde (m/s)
• Hauteur/Déplacement : mètre (m)
• Force : Newton (N)
• Constante de raideur : Newton par mètre (N/m)
• Travail/Énergie : Joule (J)

Concepts importants

• Le travail est une forme de transfert d'énergie.
• L'énergie cinétique est liée au mouvement, l'énergie potentielle à la position ou la configuration.
• L'énergie mécanique est conservée en l'absence de forces non conservatives.
• Le théorème de l'énergie cinétique est une relation fondamentale qui s'applique toujours, même en présence de frottements.