Fonction logarithme népérien

Définition et propriétés algébriques

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la bijection réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0, +\infty[$ par : pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$, $y = \ln(x) \iff e^y = x$.

Propriétés fondamentales :
- Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$, et pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.
- $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.
- Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :
• Relation fonctionnelle : $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
• Quotient : $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
• Inverse : $\ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)$
• Puissance : pour tout entier relatif $n$, $\ln(a^n) = n \ln(a)$ (et plus généralement pour tout rationnel/réel $r$, $\ln(a^r) = r \ln(a)$)
• Racine carrée : $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$

Méthode
Pour transformer une expression contenant des logarithmes, identifier les produits, quotients et puissances à l'intérieur du logarithme.
Appliquer les propriétés : transformer les produits en sommes et les quotients en différences.
Faire passer les exposants en facteurs devant le logarithme.
S'assurer à chaque étape que les arguments des logarithmes restent strictement positifs.

Exemple
Simplifier l'expression $A = \ln(72) - 3\ln(2) - \ln(3)$.

Corrigé pas à pas
On décompose $72$ en produit de facteurs premiers : $72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$.
On applique les propriétés algébriques du logarithme :
$$A = \ln(2^3 \times 3^2) - 3\ln(2) - \ln(3)$$
$$A = \ln(2^3) + \ln(3^2) - 3\ln(2) - \ln(3)$$
$$A = 3\ln(2) + 2\ln(3) - 3\ln(2) - \ln(3)$$
En simplifiant les termes opposés :
$$A = 2\ln(3) - \ln(3) = \ln(3)$$.

Erreurs fréquentes
Écrire $\ln(a + b) = \ln(a) + \ln(b)$ : c'est faux, le logarithme transforme le produit en somme, pas la somme en somme.
Confondre $(\ln(a))^n$ et $\ln(a^n)$ : seul $\ln(a^n)$ est égal à $n\ln(a)$.
Calculer le logarithme d'un nombre négatif ou nul : $\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$.

Étude analytique : dérivation, variations et limites

1. Dérivabilité et variations :
- La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$.
- Elle est dérivable sur $]0, +\infty[$ et pour tout $x > 0$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
- Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et : $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

2. Signe de $\ln(x)$ :
- Pour $x \in ]0, 1[$, $\ln(x) < 0$.
- $\ln(1) = 0$.
- Pour $x \in ]1, +\infty[$, $\ln(x) > 0$.

3. Limites aux bornes :
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ (l'axe des ordonnées $x=0$ est asymptote verticale).
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.

4. Croissances comparées et limites remarquables :
- $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
- Pour tout entier $n \ge 1$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$
- Taux de variation en 1 : $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = 1$ (ou $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1$).

5. Convexité :
- La dérivée seconde est $(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2} < 0$ pour tout $x > 0$. La fonction $\ln$ est donc strictement concave sur $]0, +\infty[$. Sa courbe est située sous toutes ses tangentes. En particulier, pour tout $x > 0$, $\ln(x) \le x - 1$.

Méthode
Pour étudier une fonction contenant $\ln(u(x))$, déterminer d'abord l'ensemble de définition en posant la condition $u(x) > 0$.
Calculer la dérivée à l'aide de la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.
Étudier le signe de la dérivée pour en déduire les variations.
Pour lever une forme indéterminée en l'infini ou en 0, factoriser par le terme prépondérant ou se ramener à une limite de croissance comparée.

Exemple
Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f(x) = x^2 - 3\ln(x)$.

Corrigé pas à pas
En $+\infty$, $x^2 \to +\infty$ et $-3\ln(x) \to -\infty$, ce qui donne une forme indéterminée « $\infty - \infty$ ».
On factorise par le terme dominant $x^2$ pour tout $x > 0$ :
$$f(x) = x^2\left(1 - 3\frac{\ln(x)}{x^2}\right)$$
Par croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0$.
Par somme : $\lim_{x \to +\infty} \left(1 - 3\frac{\ln(x)}{x^2}\right) = 1$.
Comme $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$, par produit :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$.

Erreurs fréquentes
Oublier de dériver $u$ dans la composition : écrire $(\ln(u))' = \frac{1}{u}$ au lieu de $\frac{u'}{u}$.
Appliquer les croissances comparées en un point autre que $0^+$ ou $+\infty$ (par exemple en 1).
Affirmer que $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 1$ par analogie avec les quotients de polynômes : le polynôme l'emporte toujours sur le logarithme en $+\infty$.

Résoudre une équation ou une inéquation avec des logarithmes

1. 1. Déterminer l'ensemble de validité : chaque expression située à l'intérieur d'un logarithme doit être strictement positive. Résoudre les inéquations associées et prendre l'intersection des intervalles obtenus.
2. 2. Regrouper les logarithmes à l'aide des propriétés algébriques pour se ramener à une forme simple du type $\ln(A) = \ln(B)$ ou $\ln(A) = k$ (respectivement $\ln(A) \le \ln(B)$ ou $\ln(A) \le k$).
3. 3. Utiliser la stricte croissance de la fonction exponentielle et de la fonction $\ln$ :
   - $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$
   - $\ln(A) = k \iff A = e^k$
   - $\ln(A) \le \ln(B) \iff A \le B$
   - $\ln(A) \le k \iff A \le e^k$
4. 4. Résoudre l'équation ou l'inéquation algébrique obtenue.
5. 5. Conclure en ne conservant QUE les solutions qui appartiennent à l'ensemble de validité déterminé à l'étape 1.

Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(2x - 3) \le \ln(x + 1)$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Domaine de validité
L'inéquation est définie si et seulement si :
$2x - 3 > 0 \iff x > \frac{3}{2}$
et $x + 1 > 0 \iff x > -1$.
L'ensemble de validité est donc $D = \left]\frac{3}{2}, +\infty\right[$.

Étape 2 et 3 : Utilisation de la stricte croissance
Pour tout $x \in D$, comme la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ :
$$\ln(2x - 3) \le \ln(x + 1) \iff 2x - 3 \le x + 1$$

Étape 4 : Résolution algébrique
$$2x - x \le 1 + 3 \iff x \le 4$$

Étape 5 : Intersection avec le domaine de validité
On cherche les réels $x$ tels que $x \in D$ et $x \le 4$ :
$$x \in \left]\frac{3}{2}, 4\right]$$
L'ensemble des solutions est $S = \left]\frac{3}{2}, 4\right]$.

Dériver une fonction de la forme ln(u(x))

1. 1. Vérifier que la fonction $u$ est strictement positive et dérivable sur l'intervalle d'étude $I$.
2. 2. Déterminer l'expression de la dérivée $u'(x)$.
3. 3. Appliquer la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.
4. 4. Mettre si possible l'expression sous forme factorisée pour étudier son signe.

Exemple
Soit $f$ définie sur $]1, +\infty[$ par $f(x) = \ln(x^2 - 1)$. Calculer sa dérivée $f'(x)$.

Corrigé pas à pas
1. On pose $u(x) = x^2 - 1$. Pour tout $x > 1$, $x^2 > 1$ donc $u(x) > 0$. De plus, $u$ est dérivable sur $]1, +\infty[$.
2. On calcule la dérivée de $u$ : $u'(x) = 2x$.
3. On applique la formule de dérivation de $\ln(u)$ :
$$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x}{x^2 - 1}$$
Pour tout $x \in ]1, +\infty[$, $2x > 0$ et $x^2 - 1 > 0$, donc $f'(x) > 0$.

Propriétés fondamentales et algébriques

• $\ln(1) = 0$, $\ln(e) = 1$
• $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, et $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$
• $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ pour tous $a, b > 0$
• $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ et $\ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)$
• $\ln(a^n) = n\ln(a)$ et $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$

Analyse : dérivées, limites et convexité

• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ ; $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ si $u > 0$
• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
• Croissances comparées : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ ($n \ge 1$)
• Taux de variation en 1 : $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1$
• Concavité : $\ln''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$, la fonction $\ln$ est strictement concave sur $]0, +\infty[$ (d'où $\ln(x) \le x - 1$)