Continuité, dérivation et convexité

1. Continuité d'une fonction sur un intervalle

La continuité d'une fonction est une propriété fondamentale en analyse. Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon. Plus rigoureusement, une fonction $f$ est continue en un point $a$ de son ensemble de définition si la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ est égale à $f(a)$.

Formellement, $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de cet intervalle. Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques, fonctions puissances) sont continues sur leur ensemble de définition. Les sommes, produits, quotients (avec dénominateur non nul) et compositions de fonctions continues sont continues.

Méthode
Pour démontrer la continuité d'une fonction sur un intervalle, on peut utiliser les propriétés de continuité des fonctions usuelles et des opérations sur les fonctions.
Pour étudier la continuité en un point spécifique, on calcule la limite de la fonction en ce point et on la compare à la valeur de la fonction en ce point.

Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2) = 4$. La fonction $f$ est-elle continue en $x = 2$ ?

Corrigé pas à pas
Pour que $f$ soit continue en $x=2$, il faut que $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$.

Calculons la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$ :
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$
Pour $x \neq 2$, on peut simplifier par $(x - 2)$ :
$\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$.

On a donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$. De plus, l'énoncé nous donne $f(2) = 4$.

Puisque $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, la fonction $f$ est continue en $x = 2$.

Erreurs fréquentes
Confondre continuité et dérivabilité : une fonction dérivable est toujours continue, mais une fonction continue n'est pas nécessairement dérivable (exemple : la fonction valeur absolue en 0).
Oublier de vérifier la valeur de la fonction au point étudié lors de l'étude de la continuité en un point.
Mal appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) en omettant une des conditions (continuité ou stricte monotonie).

2. Dérivabilité et interprétation graphique

La dérivabilité est une propriété plus forte que la continuité. Une fonction $f$ est dite dérivable en un point $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$. Cette limite est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

Graphiquement, le nombre dérivé $f'(a)$ représente la pente (ou coefficient directeur) de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$. L'équation de cette tangente est donnée par $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Une fonction est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout point de cet intervalle. Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable (par exemple, la fonction valeur absolue en $x=0$ présente un point anguleux).

Méthode
Pour calculer la dérivée d'une fonction, on applique les règles de dérivation usuelles (somme, produit, quotient, composition) et les formules de dérivation des fonctions de référence.
Pour trouver l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction en un point d'abscisse $a$, on calcule $f(a)$ et $f'(a)$, puis on utilise la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3 - 2x + 1$. Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 1$.

Corrigé pas à pas
1. Calculons $f(x_0)$ :
$f(1) = 1^3 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.
Le point de tangence est $(1, 0)$.

2. Calculons la dérivée $f'(x)$ :
$f'(x) = 3x^2 - 2$.

3. Calculons le nombre dérivé $f'(x_0)$ :
$f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 3 - 2 = 1$.
Le coefficient directeur de la tangente est $1$.

4. Écrivons l'équation de la tangente $T$ en utilisant la formule $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ :
$y = 1(x - 1) + 0$
$y = x - 1$.

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ est $y = x - 1$.

Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier le domaine de dérivabilité avant de calculer la dérivée.
Erreurs de calcul lors de l'application des règles de dérivation (notamment pour les quotients et les compositions).
Confondre le nombre dérivé $f'(a)$ avec la fonction dérivée $f'(x)$.

3. Convexité et points d'inflexion

La convexité d'une fonction décrit la courbure de sa représentation graphique. Une fonction $f$ est dite convexe sur un intervalle $I$ si sa courbe représentative est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle. De manière équivalente, pour tout $x_1, x_2 \in I$ et tout $\lambda \in [0, 1]$, on a $f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \le \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$ (la corde est au-dessus de la courbe).

Une fonction est dite concave sur un intervalle $I$ si sa courbe représentative est située entièrement en dessous de chacune de ses tangentes sur cet intervalle. De manière équivalente, pour tout $x_1, x_2 \in I$ et tout $\lambda \in [0, 1]$, on a $f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \ge \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$ (la corde est en dessous de la courbe).

Pour étudier la convexité d'une fonction deux fois dérivable, on utilise la dérivée seconde $f''$ :
• Si $f''(x) \ge 0$ sur $I$, alors $f$ est convexe sur $I$.
• Si $f''(x) \le 0$ sur $I$, alors $f$ est concave sur $I$.

Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité (elle passe de convexe à concave, ou de concave à convexe). Si $f$ est deux fois dérivable en $x_0$, alors si $x_0$ est un point d'inflexion, on a nécessairement $f''(x_0) = 0$. Cependant, la condition $f''(x_0) = 0$ n'est pas suffisante : il faut aussi que $f''(x)$ change de signe en $x_0$.

Méthode
Pour étudier la convexité d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ : calculez la dérivée première $f'(x)$, puis la dérivée seconde $f''(x)$.
Étudiez le signe de $f''(x)$ sur l'intervalle $I$.
Si $f''(x) \ge 0$, la fonction est convexe. Si $f''(x) \le 0$, la fonction est concave.
Pour trouver les points d'inflexion : recherchez les valeurs de $x$ pour lesquelles $f''(x) = 0$. Pour chacune de ces valeurs, vérifiez si $f''(x)$ change de signe. Si c'est le cas, le point $(x, f(x))$ est un point d'inflexion.

Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^4 - 6x^2 + 1$. Étudiez la convexité de $f$ et déterminez les coordonnées de ses points d'inflexion.

Corrigé pas à pas
1. Calculons la dérivée première $f'(x)$ :
$f'(x) = 4x^3 - 12x$.

2. Calculons la dérivée seconde $f''(x)$ :
$f''(x) = 12x^2 - 12$.

3. Étudions le signe de $f''(x)$ :
$f''(x) = 12(x^2 - 1)$.
$f''(x) = 0 \iff 12(x^2 - 1) = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff (x - 1)(x + 1) = 0$.
Les racines sont $x = -1$ et $x = 1$.

Le trinôme $12(x^2 - 1)$ est du signe de $a=12$ (positif) à l'extérieur de ses racines et du signe opposé entre ses racines.
• Pour $x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$, $f''(x) > 0$, donc $f$ est convexe.
• Pour $x \in ]-1, 1[$, $f''(x) < 0$, donc $f$ est concave.

4. Déterminons les points d'inflexion :
$f''(x)$ s'annule en $x = -1$ et $x = 1$, et change de signe à ces points.

Calculons les ordonnées correspondantes :
Pour $x = -1$ : $f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 + 1 = 1 - 6 + 1 = -4$.
Le premier point d'inflexion est $I_1(-1, -4)$.

Pour $x = 1$ : $f(1) = (1)^4 - 6(1)^2 + 1 = 1 - 6 + 1 = -4$.
Le second point d'inflexion est $I_2(1, -4)$.

En résumé :
• $f$ est convexe sur $]-\infty, -1]$ et sur $[1, +\infty[$.
• $f$ est concave sur $[-1, 1]$.
• Les points d'inflexion sont $I_1(-1, -4)$ et $I_2(1, -4)$.

Erreurs fréquentes
Confondre un point d'inflexion avec un extremum local (maximum ou minimum). Un extremum est lié à l'annulation de $f'(x)$, un point d'inflexion à l'annulation de $f''(x)$ avec changement de signe.
Oublier de vérifier le changement de signe de $f''(x)$ : $f''(x_0) = 0$ n'est pas une condition suffisante pour un point d'inflexion (par exemple, pour $f(x) = x^4$, $f''(0) = 0$ mais $x=0$ n'est pas un point d'inflexion car $f''(x) = 12x^2$ ne change pas de signe en 0).
Erreurs de calcul des dérivées première et seconde.

Appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et son corollaire

1. Vérifier que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ (ou $]a, b[$ ou $I$).
2. Calculer les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle, $f(a)$ et $f(b)$.
3. Identifier la valeur $k$ pour laquelle on cherche une solution à $f(x) = k$.
4. Vérifier que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $k \in [f(a), f(b)]$ ou $k \in [f(b), f(a)]$).
5. Conclure, grâce au TVI, qu'il existe au moins une solution $c \in [a, b]$ telle que $f(c) = k$.
6. Si l'on souhaite prouver l'unicité de la solution, il faut en plus vérifier que la fonction $f$ est strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur l'intervalle $[a, b]$. Pour cela, on étudie le signe de la dérivée $f'(x)$.

Exemple
Démontrez que l'équation $e^x + x = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

Corrigé pas à pas
Soit $f(x) = e^x + x$. Nous cherchons à résoudre $f(x) = 0$.

1. Continuité : La fonction $f$ est la somme de la fonction exponentielle (continue sur $\mathbb{R}$) et de la fonction identité (continue sur $\mathbb{R}$). Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2. Stricte monotonie : Calculons la dérivée $f'(x)$ :
$f'(x) = e^x + 1$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$, donc $e^x + 1 > 1 > 0$. Ainsi, $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. Intervalle et valeurs : Étudions les limites de $f(x)$ aux bornes de $\mathbb{R}$ :
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (e^x + x) = 0 + (-\infty) = -\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (e^x + x) = +\infty + (+\infty) = +\infty$.
L'intervalle image de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $]-\infty, +\infty[$.

4. Application du corollaire du TVI : Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et que $0$ est compris entre $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ (c'est-à-dire $0 \in ]-\infty, +\infty[$), alors d'après le corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

Déterminer la convexité d'une fonction et ses points d'inflexion

1. S'assurer que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle d'étude $I$.
2. Calculer la dérivée première de la fonction, $f'(x)$.
3. Calculer la dérivée seconde de la fonction, $f''(x)$.
4. Étudier le signe de la dérivée seconde $f''(x)$ sur l'intervalle $I$. Pour cela, on peut résoudre $f''(x) = 0$ et construire un tableau de signes.
5. En déduire la convexité de $f$ : si $f''(x) \ge 0$, $f$ est convexe ; si $f''(x) \le 0$, $f$ est concave.
6. Identifier les points d'inflexion : ce sont les points où $f''(x)$ s'annule et change de signe. Calculer l'ordonnée $f(x_0)$ pour chaque abscisse $x_0$ de point d'inflexion.

Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$. Déterminez les intervalles de convexité/concavité et les points d'inflexion de $f$.

Corrigé pas à pas
1. Calcul de la dérivée première :
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$.

2. Calcul de la dérivée seconde :
$f''(x) = 6x - 6$.

3. Étude du signe de $f''(x)$ :
Résolvons $f''(x) = 0$ :
$6x - 6 = 0 \iff 6x = 6 \iff x = 1$.
• Pour $x < 1$, $6x - 6 < 0$, donc $f''(x) < 0$.
• Pour $x > 1$, $6x - 6 > 0$, donc $f''(x) > 0$.

4. Déduction de la convexité/concavité :
• Sur $]-\infty, 1]$, $f''(x) \le 0$, donc $f$ est concave.
• Sur $[1, +\infty[$, $f''(x) \ge 0$, donc $f$ est convexe.

5. Identification des points d'inflexion :
$f''(x)$ s'annule en $x = 1$ et change de signe (passe de négatif à positif).
Calculons l'ordonnée du point d'inflexion :
$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2(1) = 1 - 3 + 2 = 0$.
Le point d'inflexion est $I(1, 0)$.

Continuité

• Définition : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
• TVI : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
• Corollaire TVI (unicité) : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Dérivabilité

• Définition : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ existe et est finie. Cette limite est $f'(a)$.
• Interprétation graphique : $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.
• Équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
• Lien continuité/dérivabilité : Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$ (la réciproque est fausse).

Convexité et points d'inflexion

• Convexité : $f$ est convexe sur $I$ si $f''(x) \ge 0$ sur $I$. La courbe est au-dessus de ses tangentes.
• Concavité : $f$ est concave sur $I$ si $f''(x) \le 0$ sur $I$. La courbe est en dessous de ses tangentes.
• Point d'inflexion : Point où la fonction change de convexité. Si $f$ est deux fois dérivable, alors $f''(x_0) = 0$ et $f''(x)$ change de signe en $x_0$.