Dérivation

Nombre dérivé et tangente

La dérivation est une notion fondamentale en analyse mathématique qui permet d'étudier les variations d'une fonction et de caractériser localement son comportement. Elle est étroitement liée à la notion de pente d'une courbe. Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ (où $h$ est un réel non nul tel que $a+h \in I$) est donné par l'expression : $$T_h(a) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ Ce taux représente la pente de la sécante à la courbe représentative de $f$ passant par les points d'abscisses $a$ et $a+h$. Lorsque $h$ tend vers 0, si ce taux de variation admet une limite finie, cette limite est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$. On écrit : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ Géométriquement, le nombre dérivé $f'(a)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$. L'équation de cette tangente est donnée par : $$y = f'(a)(x-a) + f(a)$$

Méthode
Pour calculer le nombre dérivé $f'(a)$ d'une fonction $f$ en un point $a$ à l'aide de la définition :
1. Calculer l'expression du taux de variation $T_h(a) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
2. Simplifier cette expression autant que possible.
3. Calculer la limite de $T_h(a)$ lorsque $h$ tend vers 0. Cette limite est $f'(a)$.
Pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ :
1. Calculer $f(a)$.
2. Calculer $f'(a)$ (soit par la définition, soit en utilisant les règles de dérivation si la fonction dérivée est connue).
3. Substituer $f(a)$ et $f'(a)$ dans la formule de l'équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$. Calculez le nombre dérivé de $f$ en $a=2$ en utilisant la définition, puis déterminez l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$.

Corrigé pas à pas
1. Calcul du nombre dérivé $f'(2)$ :\n Le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+h$ est :\n $$T_h(2) = \frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$ \n Nous avons $f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$ et $f(2) = 2^2 = 4$.\n Donc :\n $$T_h(2) = \frac{(4 + 4h + h^2) - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h}$$ \n Pour $h \neq 0$, nous pouvons simplifier par $h$ :\n $$T_h(2) = 4 + h$$ \n Calculons la limite lorsque $h$ tend vers 0 :\n $$f'(2) = \lim_{h \to 0} (4+h) = 4$$ \n Le nombre dérivé de $f$ en $2$ est $f'(2) = 4$.\n\n2. Détermination de l'équation de la tangente :\n Nous avons $a=2$, $f(a) = f(2) = 4$ et $f'(a) = f'(2) = 4$.\n L'équation de la tangente est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.\n En substituant les valeurs :\n $$y = 4(x-2) + 4$$ \n $$y = 4x - 8 + 4$$ \n $$y = 4x - 4$$ \n L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ est $y = 4x - 4$.

Erreurs fréquentes
Confondre le taux de variation (pente d'une sécante) avec le nombre dérivé (pente de la tangente). Le nombre dérivé est la limite du taux de variation.
Oublier de simplifier l'expression du taux de variation avant de calculer la limite, ce qui peut rendre le calcul de la limite difficile ou impossible.
Faire des erreurs de calcul algébrique lors du développement de $f(a+h)$ ou de la simplification de l'expression.
Utiliser incorrectement la formule de l'équation de la tangente, notamment en inversant $f(a)$ et $f'(a)$ ou en oubliant le terme $(x-a)$.

Fonction dérivée et règles de dérivation

Lorsqu'une fonction $f$ est dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$, on peut définir une nouvelle fonction, appelée la fonction dérivée de $f$, notée $f'$. Cette fonction $f'$ associe à chaque $x \in I$ le nombre dérivé $f'(x)$. Le calcul de la fonction dérivée est grandement simplifié par l'utilisation de règles de dérivation et par la connaissance des dérivées des fonctions usuelles. Ces règles permettent de dériver des fonctions complexes à partir de fonctions plus simples.

Méthode
Pour dériver une fonction $f(x)$ :
1. Identifier la structure de la fonction : est-ce une somme, un produit, un quotient, une puissance d'une fonction usuelle ?
2. Appliquer les règles de dérivation appropriées :
- Dérivée d'une somme : $(u+v)' = u'+v'$
- Dérivée du produit par un scalaire : $(ku)' = ku'$ (où $k$ est une constante)
- Dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$
- Dérivée d'un quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
- Dérivée d'une puissance : $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ (pour $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 0$)
3. Utiliser le tableau des dérivées des fonctions usuelles pour les composants de base.
4. Simplifier l'expression obtenue pour la fonction dérivée $f'(x)$.

Exemple
Calculez la fonction dérivée des fonctions suivantes :\n1. $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 10$\n2. $g(x) = (2x+3)(x^2-1)$\n3. $h(x) = \frac{x-1}{x+2}$

Corrigé pas à pas
1. Pour $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 10$ :\n On utilise la règle de dérivation d'une somme et du produit par un scalaire, ainsi que les dérivées de $x^n$ et d'une constante.\n - La dérivée de $5x^3$ est $5 \times (3x^{3-1}) = 15x^2$.\n - La dérivée de $-2x^2$ est $-2 \times (2x^{2-1}) = -4x$.\n - La dérivée de $7x$ est $7 \times 1 = 7$.\n - La dérivée de $-10$ est $0$.\n Donc, $f'(x) = 15x^2 - 4x + 7$.\n\n2. Pour $g(x) = (2x+3)(x^2-1)$ :\n On utilise la règle de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$.\n Posons $u(x) = 2x+3$ et $v(x) = x^2-1$.\n Alors $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 2x$.\n Donc, $g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2(x^2-1) + (2x+3)(2x)$.\n Développons et simplifions :\n $g'(x) = 2x^2 - 2 + 4x^2 + 6x = 6x^2 + 6x - 2$.\n\n3. Pour $h(x) = \frac{x-1}{x+2}$ :\n On utilise la règle de dérivation d'un quotient $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.\n Posons $u(x) = x-1$ et $v(x) = x+2$.\n Alors $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 1$.\n Donc, $h'(x) = \frac{1(x+2) - (x-1)(1)}{(x+2)^2}$.\n Développons et simplifions le numérateur :\n $h'(x) = \frac{x+2 - x+1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}$.

Erreurs fréquentes
Oublier les parenthèses lors de l'application des règles de produit ou de quotient, ce qui peut entraîner des erreurs de signe ou de distribution.
Confondre les règles de dérivation, par exemple appliquer la règle du produit à un quotient ou vice-versa.
Faire des erreurs dans la dérivation des fonctions usuelles, notamment pour les puissances de $x$ ou la fonction racine carrée.
Ne pas simplifier suffisamment l'expression de la dérivée, ce qui peut compliquer les étapes suivantes (étude du signe, par exemple).

Applications de la dérivation à l'étude des fonctions

La fonction dérivée est un outil puissant pour analyser le comportement d'une fonction. En particulier, elle permet de déterminer les variations d'une fonction (croissance ou décroissance) et de localiser ses extremums (maximums ou minimums locaux). Le lien fondamental est le suivant :\n Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.\n Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.\n* Si $f'(x) = 0$ en un point $x_0$ et que $f'(x)$ change de signe autour de $x_0$, alors $f$ admet un extremum local (maximum ou minimum) en $x_0$. Si $f'(x)$ passe de positif à négatif, c'est un maximum local. Si $f'(x)$ passe de négatif à positif, c'est un minimum local.

Méthode
Pour étudier les variations d'une fonction $f$ :
1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.
2. Calculer la fonction dérivée $f'(x)$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'ensemble de définition. Pour cela, il peut être nécessaire de résoudre des équations ou inéquations ($f'(x)=0$, $f'(x)>0$, $f'(x)<0$).
4. Construire un tableau de variation qui récapitule le signe de $f'(x)$ et les variations correspondantes de $f$. Indiquer les valeurs de $f$ aux points où la dérivée s'annule et aux bornes de l'intervalle de définition (si elles sont finies).

Exemple
Étudiez les variations de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $\mathbb{R}$.

Corrigé pas à pas
1. Ensemble de définition : La fonction $f$ est une fonction polynomiale, elle est donc définie sur $\mathbb{R}$.\n\n2. Calcul de la fonction dérivée :\n $f'(x) = 3x^2 - 3$.\n\n3. Étude du signe de $f'(x)$ :\n Nous cherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x) = 0$ :\n $3x^2 - 3 = 0 \iff 3(x^2 - 1) = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff (x-1)(x+1) = 0$.\n Les racines sont $x_1 = -1$ et $x_2 = 1$.\n $f'(x)$ est un polynôme du second degré avec un coefficient dominant positif ($3 > 0$). Donc $f'(x)$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.\n - $f'(x) > 0$ pour $x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$.\n - $f'(x) < 0$ pour $x \in ]-1, 1[$.\n - $f'(x) = 0$ pour $x = -1$ et $x = 1$.\n\n4. Tableau de variation :\n Calculons les valeurs de $f$ aux points critiques :\n $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.\n $f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.\n\n | $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ |\n | :------------ | :--------: | :--: | :--: | :--------: |\n | Signe de $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |\n | Variations de $f$ | $\nearrow$ | $4$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ |\n\n La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty, -1]$ et sur $[1, +\infty[$. Elle est strictement décroissante sur $[-1, 1]$.\n Elle admet un maximum local en $x=-1$, de valeur $f(-1)=4$.\n Elle admet un minimum local en $x=1$, de valeur $f(1)=0$.

Erreurs fréquentes
Confondre le signe de la fonction $f(x)$ avec le signe de sa dérivée $f'(x)$. Le signe de $f(x)$ indique si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses, tandis que le signe de $f'(x)$ indique si la fonction est croissante ou décroissante.
Oublier de calculer les valeurs de la fonction $f$ aux points où la dérivée s'annule pour compléter le tableau de variation.
Faire des erreurs dans l'étude du signe de la dérivée, notamment pour les polynômes du second degré ou les quotients.
Ne pas justifier les variations de la fonction par le signe de sa dérivée, mais simplement les affirmer.

Calculer un nombre dérivé en utilisant la définition

1. 1. Écrire la formule du taux de variation : $T_h(a) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
2. 2. Calculer $f(a)$ et $f(a+h)$. Pour $f(a+h)$, remplacer chaque $x$ dans l'expression de $f(x)$ par $(a+h)$.
3. 3. Substituer $f(a)$ et $f(a+h)$ dans la formule du taux de variation.
4. 4. Développer et simplifier l'expression du numérateur. Factoriser par $h$ si possible.
5. 5. Simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par $h$ (valable pour $h \neq 0$).
6. 6. Calculer la limite de l'expression simplifiée lorsque $h$ tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$.

Exemple
Calculez le nombre dérivé de $f(x) = x^2 + 3x$ en $a=1$ par la définition.

Corrigé pas à pas
1. Formule du taux de variation : $T_h(1) = \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$.\n2. Calcul de $f(1)$ et $f(1+h)$ :\n $f(1) = (1)^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$.\n $f(1+h) = (1+h)^2 + 3(1+h) = (1+2h+h^2) + (3+3h) = h^2 + 5h + 4$.\n3. Substitution dans la formule :\n $T_h(1) = \frac{(h^2 + 5h + 4) - 4}{h}$.\n4. Simplification du numérateur :\n $T_h(1) = \frac{h^2 + 5h}{h}$.\n5. Simplification de la fraction (pour $h \neq 0$) :\n $T_h(1) = \frac{h(h+5)}{h} = h+5$.\n6. Calcul de la limite :\n $f'(1) = \lim_{h \to 0} (h+5) = 5$.\n Le nombre dérivé de $f$ en $1$ est $5$.

Déterminer l'équation de la tangente à une courbe

1. 1. Identifier la fonction $f(x)$ et l'abscisse $a$ du point de tangence.
2. 2. Calculer la valeur de la fonction au point $a$ : $f(a)$. C'est l'ordonnée du point de tangence.
3. 3. Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ en utilisant les règles de dérivation.
4. 4. Calculer la valeur du nombre dérivé au point $a$ : $f'(a)$. C'est le coefficient directeur de la tangente.
5. 5. Substituer les valeurs de $f(a)$ et $f'(a)$ dans la formule de l'équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
6. 6. Développer et simplifier l'équation pour obtenir la forme $y = mx+p$.

Exemple
Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2 - 2x + 3$ au point d'abscisse $a=3$.

Corrigé pas à pas
1. Fonction $f(x) = x^2 - 2x + 3$, abscisse $a=3$.\n2. Calcul de $f(3)$ :\n $f(3) = (3)^2 - 2(3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6$.\n3. Calcul de la fonction dérivée $f'(x)$ :\n $f'(x) = 2x - 2$.\n4. Calcul de $f'(3)$ :\n $f'(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$.\n5. Substitution dans la formule de la tangente :\n $y = f'(3)(x-3) + f(3)$.\n $y = 4(x-3) + 6$.\n6. Simplification de l'équation :\n $y = 4x - 12 + 6$.\n $y = 4x - 6$.\n L'équation de la tangente est $y = 4x - 6$.

Dériver une fonction en utilisant les règles

1. 1. Identifier les composantes de la fonction et les opérations qui les lient (somme, produit, quotient, puissance).
2. 2. Pour chaque composante, identifier sa forme (constante, $x^n$, $\frac{1}{x}$, $\sqrt{x}$) et noter sa dérivée usuelle.
3. 3. Appliquer la règle de dérivation correspondant à l'opération principale de la fonction :
4. - Si $f(x) = u(x) + v(x)$, alors $f'(x) = u'(x) + v'(x)$.
5. - Si $f(x) = k \cdot u(x)$, alors $f'(x) = k \cdot u'(x)$.
6. - Si $f(x) = u(x)v(x)$, alors $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
7. - Si $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, alors $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.
8. - Si $f(x) = (u(x))^n$, alors $f'(x) = n(u(x))^{n-1}u'(x)$ (pour $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 0$).
9. 4. Développer et simplifier l'expression obtenue pour $f'(x)$.

Exemple
Dérivez la fonction $f(x) = (3x^2+1)(x-5)$.

Corrigé pas à pas
1. La fonction est un produit de deux fonctions : $u(x) = 3x^2+1$ et $v(x) = x-5$.\n2. Dérivées des composantes :\n $u'(x) = 3 \times (2x) + 0 = 6x$.\n $v'(x) = 1 - 0 = 1$.\n3. Application de la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ :\n $f'(x) = (6x)(x-5) + (3x^2+1)(1)$.\n4. Développement et simplification :\n $f'(x) = 6x^2 - 30x + 3x^2 + 1$.\n $f'(x) = 9x^2 - 30x + 1$.\n La dérivée de $f(x)$ est $f'(x) = 9x^2 - 30x + 1$.

Formules clés de la dérivation

• Taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ : $T_h(a) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
• Nombre dérivé de $f$ en $a$ : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
• Équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$

Dérivées des fonctions usuelles

• Constante $c$ : $(c)' = 0$
• $x$ : $(x)' = 1$
• $x^n$ (pour $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 0$) : $(x^n)' = nx^{n-1}$
• $\frac{1}{x}$ : $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$
• $\sqrt{x}$ : $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Règles de dérivation

• Somme : $(u+v)' = u'+v'$
• Produit par un scalaire : $(ku)' = ku'$ (où $k$ est une constante)
• Produit : $(uv)' = u'v + uv'$
• Quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction

• Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ et change de signe en $x_0$, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.