Suites : limites et récurrence

Limite d'une suite numérique

La notion de limite pour une suite numérique décrit le comportement de ses termes lorsque le rang $n$ tend vers l'infini. Une suite $(u_n)$ peut converger vers une limite finie ou diverger vers l'infini.
• Convergence vers une limite finie $L$: Une suite $(u_n)$ converge vers un réel $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$, aussi petit soit-il, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$. Formellement, cela signifie que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n \ge N$, on ait $|u_n - L| < \varepsilon$.
• Divergence vers l'infini: Une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $]A, +\infty[$ (où $A$ est un réel arbitrairement grand) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. Formellement, cela signifie que pour tout $A \in \mathbb{R}$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n \ge N$, on ait $u_n > A$. La divergence vers $-\infty$ est définie de manière analogue.

Méthode
Identifier la forme de la suite (explicite, récurrente).
Si la suite est explicite, tenter de la relier à une fonction dont la limite est connue (ex: $\lim_{x \to +\infty} f(x)$).
Utiliser les propriétés des limites (somme, produit, quotient, composition) en faisant attention aux formes indéterminées.
Appliquer les théorèmes de comparaison (théorème des gendarmes, minoration/majoration) si la suite est encadrée ou dominée par d'autres suites dont les limites sont connues.

Exemple
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \ge 1$ par $u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{n^2 + 5}$.

Corrigé pas à pas
Pour déterminer la limite d'une fonction rationnelle en l'infini, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :
$$u_n = \frac{n^2\left(3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \frac{5}{n^2}\right)}$$
Pour $n \ge 1$, on peut simplifier par $n^2$ :
$$u_n = \frac{3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}}$$
Nous savons que $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$. Par conséquent :
• $\lim_{n \to +\infty} \left(3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right) = 3 - 0 + 0 = 3$
• $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{5}{n^2}\right) = 1 + 0 = 1$
Par la règle des limites pour un quotient, puisque le dénominateur tend vers une valeur non nulle :
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3}{1} = 3$$

Erreurs fréquentes
Confondre la limite d'une suite avec la valeur d'un terme pour un grand $n$. La limite est une valeur vers laquelle la suite tend, pas nécessairement une valeur qu'elle atteint.
Appliquer les opérations sur les limites sans vérifier les conditions, notamment en présence de formes indéterminées (ex: $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$).
Oublier de simplifier les expressions ou de factoriser par le terme de plus haut degré pour les suites rationnelles, ce qui peut conduire à des erreurs de calcul.

Convergence des suites définies par récurrence

Une suite $(u_n)$ est définie par récurrence si son premier terme $u_0$ est donné et si chaque terme $u_{n+1}$ est exprimé en fonction du terme précédent $u_n$ par une relation de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est une fonction.

L'étude de la convergence de telles suites repose souvent sur deux piliers :
• Le théorème de convergence monotone: Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.
• Le théorème du point fixe: Si une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers une limite finie $L$, et si la fonction $f$ est continue en $L$, alors $L$ est nécessairement une solution de l'équation $L = f(L)$. $L$ est appelé un point fixe de la fonction $f$.

Méthode
Démontrer le bornage de la suite: Utiliser un raisonnement par récurrence pour prouver que tous les termes $u_n$ restent dans un certain intervalle $[a, b]$.
Démontrer la monotonie de la suite: Étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, cela revient souvent à étudier le signe de $f(x) - x$ sur l'intervalle de bornage.
Appliquer le théorème de convergence monotone: Si la suite est croissante et majorée, ou décroissante et minorée, conclure qu'elle converge vers une limite finie $L$.
Calculer la limite $L$: Si la fonction $f$ est continue sur l'intervalle de bornage (et donc en $L$), résoudre l'équation $L = f(L)$. Parmi les solutions obtenues, choisir celle qui est compatible avec le bornage de la suite et son premier terme.

Exemple
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 3$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

Corrigé pas à pas
1. Démonstration du bornage par récurrence ($0 \le u_n \le 3$) :
• Initialisation: Pour $n=0$, $u_0 = 0$. On a $0 \le 0 \le 3$. La propriété est vraie pour $n=0$.
• Hérédité: Supposons que pour un certain rang $k \in \mathbb{N}$, la propriété est vraie, c'est-à-dire $0 \le u_k \le 3$. Nous voulons montrer que $0 \le u_{k+1} \le 3$.
Partons de l'hypothèse : $0 \le u_k \le 3$.
Multiplions par 2 : $0 \le 2u_k \le 6$.
Ajoutons 3 : $3 \le 2u_k + 3 \le 9$.
Appliquons la fonction racine carrée, qui est croissante sur $[0, +\infty[$ :
$\sqrt{3} \le \sqrt{2u_k + 3} \le \sqrt{9}$.
Donc $\sqrt{3} \le u_{k+1} \le 3$. Puisque $0 \le \sqrt{3}$, on a bien $0 \le u_{k+1} \le 3$. La propriété est donc vraie au rang $k+1$.
• Conclusion: Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 3$. La suite est bornée.

2. Démonstration de la monotonie (suite croissante) :
Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$. On a $u_{n+1} - u_n = \sqrt{2u_n + 3} - u_n$.
Considérons la fonction $f(x) = \sqrt{2x+3}$. Nous devons étudier le signe de $f(x) - x$ sur l'intervalle $[0, 3]$ (où se trouvent les termes de la suite).
$f(x) - x = \sqrt{2x+3} - x$.
Pour $x \in [0, 3]$, $x \ge 0$. On peut multiplier par l'expression conjuguée :
$$f(x) - x = \frac{(\sqrt{2x+3} - x)(\sqrt{2x+3} + x)}{\sqrt{2x+3} + x} = \frac{(2x+3) - x^2}{\sqrt{2x+3} + x} = \frac{-x^2 + 2x + 3}{\sqrt{2x+3} + x}$$
Le dénominateur $\sqrt{2x+3} + x$ est strictement positif pour $x \in [0, 3]$.
Étudions le signe du numérateur $-x^2 + 2x + 3$. C'est un trinôme du second degré. Calculons ses racines :
$\Delta = 2^2 - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16$. Les racines sont $x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2(-1)} = \frac{-2 \pm 4}{-2}$.
Les racines sont $x_1 = \frac{-2-4}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3$ et $x_2 = \frac{-2+4}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$.
Le trinôme $-x^2 + 2x + 3$ est positif entre ses racines, c'est-à-dire pour $x \in [-1, 3]$.
Puisque $u_n \in [0, 3]$, nous avons $-u_n^2 + 2u_n + 3 \ge 0$.
Par conséquent, $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n \ge 0$. La suite $(u_n)$ est croissante.

3. Convergence et calcul de la limite :
La suite $(u_n)$ est croissante (d'après la question 2) et majorée par 3 (d'après la question 1). D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ converge vers une limite finie $L$.
La fonction $f(x) = \sqrt{2x+3}$ est continue sur son domaine de définition $[-\frac{3}{2}, +\infty[$. Puisque $u_n \in [0, 3]$ pour tout $n$, la limite $L$ appartient aussi à $[0, 3]$. La fonction $f$ est donc continue en $L$.
La limite $L$ doit vérifier l'équation $L = f(L)$, soit $L = \sqrt{2L+3}$.
Élevons au carré (cela implique $L \ge 0$, ce qui est compatible avec $u_n \ge 0$) :
$L^2 = 2L+3 \Leftrightarrow L^2 - 2L - 3 = 0$.
Nous avons déjà résolu cette équation à la question 2. Les solutions sont $L = -1$ et $L = 3$.
Puisque tous les termes de la suite $(u_n)$ sont positifs ($u_n \ge 0$), sa limite $L$ doit être positive ou nulle. La solution $L = -1$ est donc à rejeter.
Par conséquent, la limite de la suite $(u_n)$ est $L=3$.

Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier la continuité de la fonction $f$ avant d'affirmer que la limite $L$ est un point fixe de $f$ ($L=f(L)$).
Ne pas démontrer à la fois le bornage ET la monotonie de la suite avant de conclure à sa convergence. L'un sans l'autre ne suffit pas.
Choisir une solution de l'équation $L=f(L)$ qui n'est pas compatible avec le bornage de la suite ou son sens de variation (ex: une limite négative pour une suite dont tous les termes sont positifs).

Démontrer le bornage d'une suite par récurrence

1. Initialisation: Vérifier que la propriété de bornage (par exemple, $a \le u_n \le b$) est vraie pour le premier terme de la suite, $u_0$ (ou $u_1$).
2. Hérédité: Supposer que la propriété de bornage est vraie pour un certain rang $k \in \mathbb{N}$ (c'est l'hypothèse de récurrence : $a \le u_k \le b$). En utilisant cette hypothèse et la relation de récurrence $u_{k+1} = f(u_k)$, montrer que la propriété est également vraie pour le rang $k+1$, c'est-à-dire $a \le u_{k+1} \le b$. Cela implique souvent d'étudier la monotonie de la fonction $f$ sur l'intervalle $[a,b]$.
3. Conclusion: Conclure, par le principe de récurrence, que la propriété de bornage est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ (ou pour tout $n$ à partir du rang d'initialisation).

Exemple
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 2$. Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1 \le u_n \le 4$.

Corrigé pas à pas
Soit la propriété $P(n): '1 \le u_n \le 4'$.
1. Initialisation: Pour $n=0$, $u_0 = 1$. On a $1 \le 1 \le 4$. La propriété $P(0)$ est vraie.
2. Hérédité: Supposons que pour un certain rang $k \in \mathbb{N}$, la propriété $P(k)$ est vraie, c'est-à-dire $1 \le u_k \le 4$. Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $1 \le u_{k+1} \le 4$.
Partons de l'hypothèse de récurrence : $1 \le u_k \le 4$.
Multiplions par $\frac{1}{2}$ (qui est positif, donc l'ordre est conservé) : $\frac{1}{2} \times 1 \le \frac{1}{2}u_k \le \frac{1}{2} \times 4$, ce qui donne $\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}u_k \le 2$.
Ajoutons 2 à tous les membres de l'inégalité : $\frac{1}{2} + 2 \le \frac{1}{2}u_k + 2 \le 2 + 2$.
Ainsi, $\frac{5}{2} \le u_{k+1} \le 4$.
Puisque $\frac{5}{2} = 2,5$, on a bien $1 \le \frac{5}{2}$. Donc, $1 \le u_{k+1} \le 4$. La propriété $P(k+1)$ est vraie.
3. Conclusion: Puisque la propriété est vraie pour $n=0$ et qu'elle est héréditaire, par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1 \le u_n \le 4$.

Démontrer la monotonie d'une suite

1. Méthode 1 : Étude du signe de $u_{n+1} - u_n$ :
   1. Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$.
   2. Étudier le signe de cette différence pour tout $n$ (ou pour $n$ à partir d'un certain rang).
   • Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est strictement croissante.
   • Si $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite est strictement décroissante.
   • Si $u_{n+1} - u_n \ge 0$, la suite est croissante.
   • Si $u_{n+1} - u_n \le 0$, la suite est décroissante.
   
2. Méthode 2 (pour $u_{n+1} = f(u_n)$) : Étude du signe de $f(x) - x$ :
   1. Définir la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$.
   2. Étudier le signe de $f(x) - x$ sur l'intervalle où se trouvent les termes de la suite (souvent l'intervalle de bornage).
   • Si $f(x) - x \ge 0$ sur cet intervalle, alors $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n \ge 0$, donc la suite est croissante.
   • Si $f(x) - x \le 0$ sur cet intervalle, alors $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n \le 0$, donc la suite est décroissante.
   
3. Méthode 3 (pour $u_n > 0$) : Étude du rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ :
   1. Calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
   2. Comparer ce rapport à 1.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$, la suite est strictement croissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, la suite est strictement décroissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$, la suite est croissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$, la suite est décroissante.

Exemple
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$. Nous avons montré que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 3$. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

Corrigé pas à pas
Utilisons la méthode 2 en étudiant le signe de $f(x) - x$ où $f(x) = \sqrt{2x+3}$.
Nous devons étudier le signe de $f(x) - x = \sqrt{2x+3} - x$ pour $x \in [0, 3]$.
Pour $x \in [0, 3]$, $x \ge 0$. Nous pouvons multiplier par l'expression conjuguée :
$$f(x) - x = \frac{(\sqrt{2x+3} - x)(\sqrt{2x+3} + x)}{\sqrt{2x+3} + x} = \frac{(2x+3) - x^2}{\sqrt{2x+3} + x} = \frac{-x^2 + 2x + 3}{\sqrt{2x+3} + x}$$
Le dénominateur $\sqrt{2x+3} + x$ est strictement positif pour $x \in [0, 3]$.
Le signe de $f(x) - x$ est donc le même que celui du numérateur $-x^2 + 2x + 3$.
Les racines du trinôme $-x^2 + 2x + 3$ sont $x_1 = -1$ et $x_2 = 3$. Un trinôme du second degré de la forme $ax^2+bx+c$ est du signe de $-a$ entre ses racines. Ici $a=-1$, donc $-a=1 > 0$. Le trinôme est positif entre ses racines.
Pour $x \in [-1, 3]$, $-x^2 + 2x + 3 \ge 0$.
Puisque tous les termes de la suite $u_n$ sont dans l'intervalle $[0, 3]$ (d'après le bornage démontré), on a $u_n \in [-1, 3]$.
Donc, $-u_n^2 + 2u_n + 3 \ge 0$.
Par conséquent, $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n \ge 0$.
La suite $(u_n)$ est croissante.

Calculer la limite d'une suite convergente définie par récurrence

1. Vérifier la convergence: S'assurer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite finie $L$. Cela est généralement établi en montrant que la suite est monotone et bornée (théorème de convergence monotone).
2. Vérifier la continuité de la fonction $f$: S'assurer que la fonction $f$ (telle que $u_{n+1} = f(u_n)$) est continue en la limite $L$. Si la suite est bornée sur un intervalle $[a,b]$ et $f$ est continue sur $[a,b]$, alors $f$ est continue en $L$ car $L \in [a,b]$.
3. Résoudre l'équation $L = f(L)$: La limite $L$ est un point fixe de $f$. Écrire et résoudre cette équation pour trouver toutes les valeurs possibles de $L$. Attention aux conditions d'existence (ex: $L \ge 0$ si on élève au carré).
4. Choisir la bonne limite: Parmi les solutions de $L = f(L)$, sélectionner celle qui est compatible avec les propriétés de la suite (son bornage, son premier terme, son sens de variation). Par exemple, si la suite est positive, la limite doit être positive.

Exemple
Reprenons la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$. Nous avons montré qu'elle est croissante et majorée par 3, donc elle converge. Calculer sa limite.

Corrigé pas à pas
1. Vérification de la convergence: La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 3 (d'après les étapes précédentes de l'étude), donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite finie $L$.
2. Vérification de la continuité de $f$: La fonction $f(x) = \sqrt{2x+3}$ est continue sur son domaine de définition $[-\frac{3}{2}, +\infty[$. Puisque la suite $(u_n)$ est bornée dans $[0, 3]$, sa limite $L$ appartient également à cet intervalle. La fonction $f$ est donc continue en $L$.
3. Résolution de $L = f(L)$: La limite $L$ doit vérifier l'équation $L = \sqrt{2L+3}$.
Pour résoudre cette équation, nous élevons les deux membres au carré. Cela implique que $L$ doit être positif (car $\sqrt{2L+3}$ est toujours positif) :
$L^2 = 2L+3$
$L^2 - 2L - 3 = 0$
C'est une équation du second degré. Calculons le discriminant :
$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$.
Les solutions sont $L = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 \pm 4}{2}$.
Les deux solutions sont $L_1 = \frac{2-4}{2} = -1$ et $L_2 = \frac{2+4}{2} = 3$.
4. Choix de la bonne limite: Nous avons établi que $L$ doit être positif. La solution $L_1 = -1$ est donc à rejeter.
De plus, la suite est croissante et $u_0 = 0$, donc la limite doit être supérieure ou égale à $u_0$. $L=3$ est compatible avec cette condition.
Par conséquent, la limite de la suite $(u_n)$ est $L=3$.

Limites de suites

• Définition de la convergence: Une suite $(u_n)$ converge vers $L \in \mathbb{R}$ si $\lim_{n \to +\infty} (u_n - L) = 0$.
• Définition de la divergence: Une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. (Similaire pour $-\infty$).
• Opérations sur les limites: Les règles de calcul sur les limites de suites (somme, produit, quotient, composition) sont analogues à celles des fonctions, en gérant les formes indéterminées.
• Théorème des gendarmes: Si $v_n \le u_n \le w_n$ pour $n \ge N_0$, et si $\lim_{n \to +\infty} v_n = L$ et $\lim_{n \to +\infty} w_n = L$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.
• Théorème de comparaison: Si $u_n \ge v_n$ pour $n \ge N_0$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. (Similaire pour minoration et $-\infty$).

Suites définies par récurrence

• Théorème de convergence monotone:
  • Toute suite croissante et majorée converge.
  • Toute suite décroissante et minorée converge.
• Théorème du point fixe: Si une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers une limite finie $L$, et si la fonction $f$ est continue en $L$, alors $L$ est solution de l'équation $L = f(L)$.
• Méthode d'étude de la convergence d'une suite récurrente:
  1. Démontrer le bornage de $(u_n)$ (souvent par récurrence).
  2. Démontrer la monotonie de $(u_n)$ (étude de $u_{n+1}-u_n$ ou $f(x)-x$).
  3. Conclure à la convergence par le théorème de convergence monotone.
  4. Calculer la limite $L$ en résolvant $L=f(L)$ et en choisissant la solution compatible avec les propriétés de la suite.