Les Suites Numériques : Définition, Modes de Génération et Représentation

1. Définition et Notations d'une Suite Numérique

Une suite numérique est une application qui, à chaque entier naturel $n$ (ou à chaque entier naturel $n$ supérieur ou égal à un certain entier $n_0$), associe un nombre réel $u_n$. On la note souvent $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$.

Chaque nombre $u_n$ est appelé un terme de la suite. L'entier $n$ est l'indice du terme $u_n$. Le terme $u_0$ est le terme d'indice 0, $u_1$ le terme d'indice 1, et ainsi de suite. Le terme $u_n$ est souvent appelé le terme général de la suite.

Méthode
Identifier l'ensemble de définition des indices (généralement $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$).
Comprendre la règle d'association entre l'indice $n$ et le terme $u_n$.

Exemple
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2n + 1$. Déterminez la nature de cette suite et calculez ses trois premiers termes.

Corrigé pas à pas
La suite $(u_n)$ est une suite numérique car elle associe à chaque entier naturel $n$ un nombre réel $u_n = 2n + 1$. C'est une application de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{R}$.

Pour calculer les trois premiers termes, nous substituons les valeurs de $n$ (0, 1, 2) dans l'expression du terme général :
• Terme d'indice 0 : $u_0 = 2 \times 0 + 1 = 1$.
• Terme d'indice 1 : $u_1 = 2 \times 1 + 1 = 3$.
• Terme d'indice 2 : $u_2 = 2 \times 2 + 1 = 5$.

Erreurs fréquentes
Confondre l'indice $n$ avec le terme $u_n$. L'indice est un rang, le terme est une valeur.
Oublier que les indices sont des entiers naturels (sauf indication contraire), et non des nombres réels.

2. Modes de Génération d'une Suite

Une suite numérique peut être définie de deux manières principales :

a) Définition explicite (ou fonctionnelle) :
Le terme général $u_n$ est exprimé directement en fonction de l'indice $n$. C'est-à-dire, $u_n = f(n)$, où $f$ est une fonction numérique. Pour calculer n'importe quel terme, il suffit de remplacer $n$ par sa valeur dans la formule.

b) Définition par récurrence :
Le premier terme (ou les premiers termes) de la suite est donné, et chaque terme est défini en fonction du ou des termes précédents. La forme la plus courante est $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est une fonction. Pour calculer un terme, il faut connaître le terme précédent.

Méthode
Pour une suite explicite : substituer l'indice $n$ dans la formule $u_n = f(n)$.
Pour une suite par récurrence : partir du premier terme donné, puis appliquer la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ de proche en proche pour calculer les termes successifs.

Exemple
Considérons deux suites :
1. $(a_n)$ définie par $a_n = 3n - 2$ pour $n \in \mathbb{N}$. Calculez $a_0, a_1, a_2$.
2. $(b_n)$ définie par $b_0 = 5$ et $b_{n+1} = 2b_n - 1$ pour $n \in \mathbb{N}$. Calculez $b_1, b_2, b_3$.

Corrigé pas à pas
1. La suite $(a_n)$ est définie de manière explicite. Nous substituons $n$ :
• $a_0 = 3 \times 0 - 2 = -2$.
• $a_1 = 3 \times 1 - 2 = 1$.
• $a_2 = 3 \times 2 - 2 = 4$.

2. La suite $(b_n)$ est définie par récurrence. Nous utilisons le premier terme et la relation :
• $b_0 = 5$ (donné).
• $b_1 = 2b_0 - 1 = 2 \times 5 - 1 = 10 - 1 = 9$.
• $b_2 = 2b_1 - 1 = 2 \times 9 - 1 = 18 - 1 = 17$.
• $b_3 = 2b_2 - 1 = 2 \times 17 - 1 = 34 - 1 = 33$.

Erreurs fréquentes
Oublier de donner le premier terme pour une suite définie par récurrence, ce qui la rend indéfinissable.
Tenter de calculer un terme $u_n$ d'une suite récurrente sans connaître $u_{n-1}$ (ou les termes précédents nécessaires).
Confondre la variable $n$ (indice) avec $u_n$ (valeur du terme) dans les relations de récurrence.

3. Représentation Graphique d'une Suite

La représentation graphique d'une suite $(u_n)$ permet de visualiser son comportement. Il existe deux méthodes principales :

a) Représentation des points $(n, u_n)$ :
Dans un repère orthogonal, chaque terme $u_n$ est représenté par un point de coordonnées $(n, u_n)$. L'axe des abscisses représente les indices $n$ et l'axe des ordonnées représente les valeurs des termes $u_n$. Les points sont isolés, car les indices sont des entiers.

b) Représentation en "escalier" pour les suites récurrentes ($u_{n+1} = f(u_n)$) :
Cette méthode permet de visualiser la construction des termes successifs. On trace la courbe représentative de la fonction $f$ et la droite d'équation $y=x$. À partir d'un terme $u_n$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe de $f$ pour trouver $u_{n+1}$ sur l'axe des ordonnées. Puis, on se déplace horizontalement jusqu'à la droite $y=x$ pour ramener cette valeur $u_{n+1}$ sur l'axe des abscisses, ce qui permet de répéter le processus pour trouver $u_{n+2}$, et ainsi de suite. Cela forme une sorte d'escalier ou de spirale.

Méthode
Pour la représentation $(n, u_n)$ : calculer plusieurs termes $(u_0, u_1, u_2, ...)$ et placer les points $(0, u_0)$, $(1, u_1)$, $(2, u_2)$, ... dans un repère.
Pour la représentation en "escalier" ($u_{n+1} = f(u_n)$) :
1. Tracer la courbe de la fonction $f$ et la droite d'équation $y=x$ dans un repère.
2. Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses.
3. Du point $(u_0, 0)$, monter (ou descendre) verticalement jusqu'à la courbe de $f$ pour atteindre le point $(u_0, f(u_0))$, dont l'ordonnée est $u_1$.
4. Du point $(u_0, u_1)$, se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y=x$ pour atteindre le point $(u_1, u_1)$.
5. Du point $(u_1, u_1)$, monter (ou descendre) verticalement jusqu'à la courbe de $f$ pour atteindre le point $(u_1, f(u_1))$, dont l'ordonnée est $u_2$.
6. Répéter les étapes 4 et 5 pour les termes suivants.

Exemple
1. Représentez graphiquement les premiers termes de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n - 1$ pour $n \in \mathbb{N}$.
2. Décrivez la représentation graphique en "escalier" pour la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 0.5$ et $v_{n+1} = 0.5v_n + 1$.

Corrigé pas à pas
1. Pour la suite $(u_n) = 2n - 1$ :
• $u_0 = -1 \implies (0, -1)$
• $u_1 = 1 \implies (1, 1)$
• $u_2 = 3 \implies (2, 3)$
• $u_3 = 5 \implies (3, 5)$
Les points à placer dans un repère sont $(0, -1)$, $(1, 1)$, $(2, 3)$, $(3, 5)$. Ces points sont alignés sur une droite, mais ne doivent pas être reliés car les indices sont entiers.

2. Pour la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 0.5$ et $v_{n+1} = 0.5v_n + 1$ :
La fonction associée est $f(x) = 0.5x + 1$. On trace la droite d'équation $y = 0.5x + 1$ et la droite d'équation $y=x$. L'intersection de ces deux droites est le point $(2, 2)$.
• On place $v_0 = 0.5$ sur l'axe des abscisses.
• On monte verticalement de $(0.5, 0)$ jusqu'à la droite $y = 0.5x + 1$ pour atteindre le point $(0.5, 0.5 \times 0.5 + 1) = (0.5, 1.25)$. L'ordonnée $1.25$ est $v_1$.
• On se déplace horizontalement de $(0.5, 1.25)$ jusqu'à la droite $y=x$ pour atteindre le point $(1.25, 1.25)$.
• De $(1.25, 1.25)$, on monte verticalement jusqu'à la droite $y = 0.5x + 1$ pour atteindre le point $(1.25, 0.5 \times 1.25 + 1) = (1.25, 1.625)$. L'ordonnée $1.625$ est $v_2$.
• On répète ce processus. On observe que les points se rapprochent de l'intersection des deux droites, $(2, 2)$, formant un escalier qui converge vers ce point.

Erreurs fréquentes
Relier les points $(n, u_n)$ dans la représentation graphique, alors que les indices sont des entiers et non des réels.
Confondre la représentation $(n, u_n)$ avec la représentation $(u_n, u_{n+1})$ utilisée pour les suites récurrentes.
Oublier la droite $y=x$ dans la représentation en "escalier", qui est essentielle pour ramener la valeur du terme sur l'axe des abscisses pour le calcul du terme suivant.

Calculer les premiers termes d'une suite définie explicitement

1. Identifier la formule explicite $u_n = f(n)$.
2. Déterminer l'indice de départ (souvent $n=0$ ou $n=1$).
3. Pour chaque terme à calculer, remplacer l'indice $n$ dans la formule par la valeur de l'indice souhaité.
4. Effectuer les calculs pour obtenir la valeur du terme.

Exemple
Calculez les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = n^2 - 2n + 3$. (Les quatre premiers termes sont $u_0, u_1, u_2, u_3$)

Corrigé pas à pas
1. La formule explicite est $u_n = n^2 - 2n + 3$.
2. L'indice de départ est $n=0$.
3. Calcul des termes :
• Pour $n=0$ : $u_0 = 0^2 - 2(0) + 3 = 0 - 0 + 3 = 3$.
• Pour $n=1$ : $u_1 = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
• Pour $n=2$ : $u_2 = 2^2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$.
• Pour $n=3$ : $u_3 = 3^2 - 2(3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6$.

Les quatre premiers termes sont $u_0=3$, $u_1=2$, $u_2=3$, $u_3=6$.

Calculer les premiers termes d'une suite définie par récurrence

1. Identifier le premier terme (ou les premiers termes) donné(s) ($u_0$ ou $u_1$, etc.).
2. Identifier la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ (ou une forme similaire).
3. Pour calculer le terme $u_1$, utiliser la relation avec $u_0$.
4. Pour calculer le terme $u_2$, utiliser la relation avec $u_1$ (le terme précédemment calculé).
5. Répéter le processus, en utilisant toujours le terme précédent pour calculer le terme suivant, jusqu'à obtenir tous les termes souhaités.

Exemple
Calculez les quatre premiers termes de la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n - 4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Corrigé pas à pas
1. Le premier terme est $v_0 = 2$.
2. La relation de récurrence est $v_{n+1} = 3v_n - 4$.
3. Calcul des termes :
• $v_0 = 2$ (donné).
• Pour $n=0$ : $v_1 = 3v_0 - 4 = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$.
• Pour $n=1$ : $v_2 = 3v_1 - 4 = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$.
• Pour $n=2$ : $v_3 = 3v_2 - 4 = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$.

Les quatre premiers termes sont $v_0=2$, $v_1=2$, $v_2=2$, $v_3=2$. (Cette suite est une suite constante).

Définition et Notations

• Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction de $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) vers $\mathbb{R}$.
• $u_n$ est le terme d'indice $n$. $n$ est l'indice (rang), $u_n$ est la valeur du terme.

Modes de Génération

• Explicite : $u_n = f(n)$. Le terme $u_n$ est directement calculable à partir de $n$.
• Par récurrence : $u_{n+1} = f(u_n)$ (ou $u_{n+k} = f(u_{n+k-1}, ..., u_n)$) avec le(s) premier(s) terme(s) donné(s). Chaque terme dépend du ou des précédents.

Représentation Graphique

• Points isolés : Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, on place les points $(n, u_n)$.
• En escalier (suites récurrentes) : Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la droite $y=x$. On projette $u_n$ sur la courbe de $f$ pour obtenir $u_{n+1}$ en ordonnée, puis sur $y=x$ pour le ramener en abscisse.