Fonctions exponentielle et trigonométriques

La fonction exponentielle : définition et propriétés fondamentales

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f(0) = 1$. Sa base est le nombre d'Euler, $e \approx 2,718$.

Méthode
Identifier la forme de l'expression exponentielle à manipuler (produit, quotient, puissance).
Appliquer les propriétés algébriques de l'exponentielle pour simplifier l'expression.
Pour la dérivation, identifier la fonction $u(x)$ si la forme est $e^{u(x)}$ et appliquer la formule de dérivation appropriée.
Pour l'étude des variations, calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire le sens de variation de la fonction.

Exemple
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x-1)e^x$. Calculez sa dérivée $f'(x)$ et étudiez le signe de $f'(x)$ pour en déduire les variations de $f$.

Corrigé pas à pas
La fonction $f(x) = (2x-1)e^x$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = 2x-1$ et $v(x) = e^x$. \\nNous avons $u'(x) = 2$ et $v'(x) = e^x$. \\nLa dérivée de $f$ est donnée par la formule $(uv)' = u'v + uv'$. \\nDonc $f'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x$. \\nOn peut factoriser par $e^x$: $f'(x) = e^x(2 + 2x - 1) = e^x(2x+1)$. \\nPour étudier le signe de $f'(x)$, nous savons que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. \\nLe signe de $f'(x)$ est donc celui de $2x+1$. \\n$2x+1 > 0 \iff 2x > -1 \iff x > -\frac{1}{2}$. \\n$2x+1 < 0 \iff 2x < -1 \iff x < -\frac{1}{2}$. \\n$2x+1 = 0 \iff x = -\frac{1}{2}$. \\nPar conséquent: \\n- Si $x < -\frac{1}{2}$, alors $f'(x) < 0$, et $f$ est strictement décroissante. \\n- Si $x > -\frac{1}{2}$, alors $f'(x) > 0$, et $f$ est strictement croissante. \\n- Si $x = -\frac{1}{2}$, alors $f'(x) = 0$, et $f$ admet un extremum local.

Erreurs fréquentes
Confondre les propriétés algébriques de l'exponentielle avec celles des puissances classiques, par exemple $(e^x)^2 \neq e^{x^2}$ mais $(e^x)^2 = e^{2x}$.
Oublier la règle de dérivation en chaîne pour $e^{u(x)}$, c'est-à-dire que $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ et non simplement $e^{u(x)}$.
Ne pas se souvenir que $e^x$ est toujours strictement positif, ce qui simplifie l'étude de signe des dérivées.

Fonctions trigonométriques : cosinus et sinus

Les fonctions cosinus et sinus, notées $\cos(x)$ et $\sin(x)$, sont définies pour tout nombre réel $x$ (représentant une mesure d'angle en radians) à partir du cercle trigonométrique. Pour un point $M$ sur le cercle associé à l'angle $x$, $\cos(x)$ est l'abscisse de $M$ et $\sin(x)$ est l'ordonnée de $M$.

Méthode
Visualiser le cercle trigonométrique pour déterminer les valeurs remarquables et les signes des fonctions $\cos(x)$ et $\sin(x)$.
Utiliser les propriétés de périodicité ($\cos(x+2\pi) = \cos(x)$, $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$) pour réduire l'angle à un intervalle de référence (souvent $[0, 2\pi[$ ou $[-\pi, \pi]$).
Appliquer les formules de dérivation: $(\cos(x))' = -\sin(x)$ et $(\sin(x))' = \cos(x)$. Pour les fonctions composées, utiliser la règle de dérivation en chaîne.
Pour résoudre des équations du type $\cos(x) = a$ ou $\sin(x) = a$, trouver les solutions principales dans un intervalle de référence, puis ajouter la périodicité $2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Pour l'étude des variations, calculer la dérivée, étudier son signe sur un intervalle de longueur $2\pi$, puis généraliser par périodicité.

Exemple
Résolvez l'équation $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans l'intervalle $[0, 2\pi[$.

Corrigé pas à pas
Nous cherchons les valeurs de $x$ dans $[0, 2\pi[$ pour lesquelles le cosinus est égal à $\frac{\sqrt{3}}{2}$. \\nSur le cercle trigonométrique, nous savons que $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. C'est une première solution. \\nLe cosinus est une fonction paire, donc $\cos(-x) = \cos(x)$. \\nAinsi, $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. \\nDans l'intervalle $[0, 2\pi[$, l'angle $-\frac{\pi}{6}$ correspond à $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi - \pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$. \\nDonc, les solutions dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ sont $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{11\pi}{6}$. \\nL'ensemble des solutions est $S = \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right\}$.

Erreurs fréquentes
Oublier la périodicité $2k\pi$ lors de la résolution d'équations trigonométriques, ou ne pas spécifier $k \in \mathbb{Z}$.
Confondre les dérivées de $\sin(x)$ et $\cos(x)$, en particulier le signe de la dérivée de $\cos(x)$.
Ne pas se souvenir des valeurs remarquables du cosinus et du sinus pour les angles $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$, etc.
Ne pas prendre en compte les symétries du cercle trigonométrique pour trouver toutes les solutions d'une équation dans un intervalle donné.

Résoudre une équation ou inéquation avec la fonction exponentielle

1. Isoler l'expression exponentielle d'un côté de l'équation ou de l'inéquation.
2. Utiliser la propriété d'injectivité de la fonction exponentielle ($e^a = e^b \iff a = b$) pour les équations.
3. Utiliser la stricte croissance de la fonction exponentielle ($e^a < e^b \iff a < b$) pour les inéquations.
4. Résoudre l'équation ou l'inéquation résultante sur les exposants.
5. Vérifier les solutions si nécessaire.

Exemple
Résolvez l'inéquation $e^{2x+1} > e^{x-3}$.

Corrigé pas à pas
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. \\nPar conséquent, $e^{A} > e^{B} \iff A > B$. \\nL'inéquation $e^{2x+1} > e^{x-3}$ est équivalente à $2x+1 > x-3$. \\n$2x - x > -3 - 1$ \\n$x > -4$. \\nL'ensemble des solutions est l'intervalle $]-4, +\infty[$.

Calculer la dérivée d'une fonction composée avec l'exponentielle ou les fonctions trigonométriques

1. Identifier la forme de la fonction: $e^{u(x)}$, $\cos(u(x))$, ou $\sin(u(x))$.
2. Définir la fonction interne $u(x)$ et calculer sa dérivée $u'(x)$.
3. Appliquer la formule de dérivation appropriée: \\n- Pour $e^{u(x)}$, la dérivée est $u'(x)e^{u(x)}$. \\n- Pour $\cos(u(x))$, la dérivée est $-u'(x)\sin(u(x))$. \\n- Pour $\sin(u(x))$, la dérivée est $u'(x)\cos(u(x))$.
4. Simplifier l'expression si possible.

Exemple
Calculez la dérivée de la fonction $h(x) = e^{-x^2+3x}$.

Corrigé pas à pas
La fonction $h(x)$ est de la forme $e^{u(x)}$ avec $u(x) = -x^2+3x$. \\nCalculons la dérivée de $u(x)$: $u'(x) = -2x+3$. \\nLa formule de dérivation pour $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$. \\nDonc, $h'(x) = (-2x+3)e^{-x^2+3x}$.

Résoudre une équation trigonométrique simple

1. Isoler la fonction trigonométrique ($\cos(x)$ ou $\sin(x)$) d'un côté de l'équation.
2. Identifier les valeurs de référence sur le cercle trigonométrique pour lesquelles l'égalité est vérifiée.
3. Pour $\cos(x) = a$: Si $x_0$ est une solution, alors les solutions générales sont $x = x_0 + 2k\pi$ et $x = -x_0 + 2k\pi$ pour $k \in \mathbb{Z}$.
4. Pour $\sin(x) = a$: Si $x_0$ est une solution, alors les solutions générales sont $x = x_0 + 2k\pi$ et $x = \pi - x_0 + 2k\pi$ pour $k \in \mathbb{Z}$.
5. Si un intervalle de résolution est donné, déterminer les valeurs de $k$ qui donnent des solutions dans cet intervalle.

Exemple
Résolvez l'équation $\sin(x) = -\frac{1}{2}$ dans $\mathbb{R}$.

Corrigé pas à pas
Nous cherchons les angles dont le sinus est égal à $-\frac{1}{2}$. \\nSur le cercle trigonométrique, nous savons que $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$. C'est une première solution $x_0 = -\frac{\pi}{6}$. \\nLes solutions générales pour $\sin(x) = a$ sont $x = x_0 + 2k\pi$ et $x = \pi - x_0 + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$. \\nPremière famille de solutions: $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. \\nDeuxième famille de solutions: $x = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. \\nL'ensemble des solutions est $S = \left\{ -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$.

Fonction exponentielle

• Définition: $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1 \implies f(x) = e^x$.
• Propriétés algébriques: \\n- $e^{a+b} = e^a e^b$ \\n- $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ \\n- $(e^a)^n = e^{na}$ \\n- $e^0 = 1$ \\n- $e^1 = e$
• Dérivée: $(e^x)' = e^x$. Pour une fonction composée: $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.
• Variations: La fonction $e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Signe: $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Fonctions trigonométriques (cosinus et sinus)

• Identité fondamentale: $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.
• Périodicité: $\cos(x+2\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$.
• Parité/Imparité: $\cos(-x) = \cos(x)$ (paire) et $\sin(-x) = -\sin(x)$ (impaire).
• Dérivées: \\n- $(\cos(x))' = -\sin(x)$ \\n- $(\sin(x))' = \cos(x)$
• Dérivées de fonctions composées: \\n- $(\cos(u(x)))' = -u'(x)\sin(u(x))$ \\n- $(\sin(u(x)))' = u'(x)\cos(u(x))$
• Résolution d'équations: \\n- $\cos(x) = \cos(a) \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. \\n- $\sin(x) = \sin(a) \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.