Géométrie de l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire

1. Vecteurs et repères dans l'espace

Dans l'espace, un repère orthonormé est défini par un point origine $O$ et trois vecteurs unitaires orthogonaux deux à deux, notés $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Tout point $M$ de l'espace est alors repéré par ses coordonnées $(x, y, z)$ telles que $\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. De même, tout vecteur $\vec{u}$ peut être exprimé par ses coordonnées $(x_u, y_u, z_u)$ dans ce repère. La norme d'un vecteur $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ est donnée par $\|\vec{u}\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$.

Méthode
Pour déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ à partir des points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, on calcule $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.
Pour additionner deux vecteurs $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v}(x_v, y_v, z_v)$, on additionne leurs coordonnées respectives : $\vec{u} + \vec{v} = (x_u+x_v, y_u+y_v, z_u+z_v)$.
Pour multiplier un vecteur $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ par un scalaire $k$, on multiplie chaque coordonnée par $k$ : $k\vec{u} = (kx_u, ky_u, kz_u)$.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$. Leurs coordonnées sont alors proportionnelles.
Trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sont coplanaires si l'un d'eux peut s'écrire comme une combinaison linéaire des deux autres, c'est-à-dire s'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

Exemple
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1, 2, -1)$, $B(3, 1, 2)$ et $C(5, 0, 5)$. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$, puis vérifier si les points $A, B, C$ sont alignés.

Corrigé pas à pas
1. Coordonnées de $\vec{AB}$ : $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (3-1, 1-2, 2-(-1)) = (2, -1, 3)$.
2. Coordonnées de $\vec{BC}$ : $(x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (5-3, 0-1, 5-2) = (2, -1, 3)$.
3. On observe que $\vec{AB} = \vec{BC}$. Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ sont donc colinéaires. Puisqu'ils partagent le point $B$, les points $A, B, C$ sont alignés.

Erreurs fréquentes
Confondre les coordonnées d'un point et celles d'un vecteur, ou omettre l'origine du repère pour un point.
Oublier de vérifier la colinéarité des vecteurs directeurs pour déterminer si des points sont alignés ou si des droites sont parallèles.
Ne pas comprendre la notion de coplanarité : des vecteurs coplanaires ne sont pas nécessairement colinéaires, mais ils appartiennent au même plan.

2. Droites et plans dans l'espace

Une droite $D$ dans l'espace est définie par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et un vecteur directeur non nul $\vec{u}(a, b, c)$. Tout point $M(x, y, z)$ de la droite $D$ vérifie la relation vectorielle $\vec{AM} = t\vec{u}$ pour un certain réel $t$. Cette relation conduit à la représentation paramétrique de la droite.
Un plan $P$ dans l'espace est défini par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ et $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$. Tout point $M(x, y, z)$ du plan $P$ vérifie la relation vectorielle $\vec{AM} = t\vec{u} + s\vec{v}$ pour des réels $t$ et $s$. Un plan peut aussi être défini par un point et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$, qui est orthogonal à tous les vecteurs du plan. L'équation cartésienne d'un plan est de la forme $ax + by + cz + d = 0$.

Méthode
Représentation paramétrique d'une droite : Soit une droite $D$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$. Un point $M(x, y, z)$ appartient à $D$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que :
$\begin{cases}
x = x_A + ta \\
y = y_A + tb \\
z = z_A + tc
\end{cases}$
Représentation paramétrique d'un plan : Soit un plan $P$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ et $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$. Un point $M(x, y, z)$ appartient à $P$ si et seulement si il existe des réels $t, s$ tels que :
$\begin{cases}
x = x_A + tu_1 + sv_1 \\
y = y_A + tu_2 + sv_2 \\
z = z_A + tu_3 + sv_3
\end{cases}$
Équation cartésienne d'un plan : Un plan $P$ de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$. Pour trouver $d$, on substitue les coordonnées d'un point connu du plan dans l'équation.

Exemple
Donner une représentation paramétrique de la droite $D$ passant par $A(1, -2, 3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2, 0, -1)$. Puis, donner une équation cartésienne du plan $P$ passant par $B(0, 1, 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1, -1, 4)$.

Corrigé pas à pas
1. Représentation paramétrique de la droite $D$ :
La droite $D$ passe par $A(1, -2, 3)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(2, 0, -1)$.
Sa représentation paramétrique est donc :
$\begin{cases}
x = 1 + 2t \\
y = -2 + 0t \\
z = 3 - t
\end{cases}$, soit $\begin{cases}
x = 1 + 2t \\
y = -2 \\
z = 3 - t
\end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$.

2. Équation cartésienne du plan $P$ :
Le plan $P$ a pour vecteur normal $\vec{n}(1, -1, 4)$. Son équation est de la forme $1x - 1y + 4z + d = 0$, soit $x - y + 4z + d = 0$.
Le plan passe par $B(0, 1, 2)$. On substitue les coordonnées de $B$ dans l'équation :
$0 - 1 + 4(2) + d = 0 \implies -1 + 8 + d = 0 \implies 7 + d = 0 \implies d = -7$.
L'équation cartésienne du plan $P$ est donc $x - y + 4z - 7 = 0$.

Erreurs fréquentes
Confondre les rôles des paramètres $t$ et $s$ dans la représentation paramétrique d'un plan.
Oublier que le vecteur normal est orthogonal à tous les vecteurs du plan, et non seulement aux vecteurs directeurs.
Mal interpréter les positions relatives : deux droites non coplanaires ne sont ni parallèles ni sécantes ; une droite parallèle à un plan peut être incluse dans ce plan ou ne pas l'intercepter.

3. Produit scalaire dans l'espace

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans l'espace est un nombre réel. Il peut être défini de plusieurs manières :
1. Définition analytique : Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v}(x_v, y_v, z_v)$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$.
2. Définition géométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle non orienté entre les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
3. Définition par projection orthogonale : Si $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(AC)$, alors $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AH} \cdot \vec{AC}$. Si $\vec{AH}$ et $\vec{AC}$ sont de même sens, le produit scalaire est $AH \times AC$. S'ils sont de sens opposés, c'est $-AH \times AC$.

Méthode
Calcul du produit scalaire : Utiliser la définition analytique si les coordonnées des vecteurs sont connues, ou la définition géométrique si les normes et l'angle sont connus.
Vérification de l'orthogonalité : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Cette propriété est fondamentale pour établir l'orthogonalité de droites ou de plans.
Calcul de l'angle entre deux vecteurs : À partir de la définition géométrique, on peut exprimer le cosinus de l'angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ par la formule : $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}$.
Distance d'un point à un plan : La distance d'un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ à un plan $P$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$ est donnée par la formule : $d(M_0, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Exemple
Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}(1, 2, -1)$ et $\vec{v}(3, -1, 1)$. Calculer leur produit scalaire et déterminer s'ils sont orthogonaux. Calculer ensuite l'angle entre ces deux vecteurs (arrondir au dixième de degré).

Corrigé pas à pas
1. Calcul du produit scalaire :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(3) + (2)(-1) + (-1)(1) = 3 - 2 - 1 = 0$.

2. Orthogonalité :
Puisque $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

3. Calcul de l'angle :
Bien que nous sachions déjà qu'ils sont orthogonaux (angle de $90^{\circ}$), nous allons appliquer la formule pour l'illustration.
Norme de $\vec{u}$ : $\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
Norme de $\vec{v}$ : $\|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$.

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} = \frac{0}{\sqrt{6} \sqrt{11}} = 0$.

L'angle $\theta$ tel que $\cos(\theta) = 0$ est $\theta = 90^{\circ}$ (ou $\frac{\pi}{2}$ radians). Cela confirme l'orthogonalité.

Erreurs fréquentes
Oublier que le produit scalaire est un scalaire (un nombre), et non un vecteur.
Utiliser la formule analytique du produit scalaire dans un repère qui n'est pas orthonormé.
Confondre la condition d'orthogonalité ($\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$) avec la colinéarité (coordonnées proportionnelles).

Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

1. Identifier un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant à la droite.
2. Identifier un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ de la droite. Si deux points $A$ et $B$ sont donnés, le vecteur $\vec{AB}$ peut servir de vecteur directeur.
3. Écrire la représentation paramétrique en utilisant la formule :
   $\begin{cases}
   x = x_A + ta \\
   y = y_A + tb \\
   z = z_A + tc
   \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$.

Exemple
Donner une représentation paramétrique de la droite $D$ passant par les points $E(2, 1, 0)$ et $F(-1, 3, 4)$.

Corrigé pas à pas
1. Point de la droite : Nous pouvons choisir le point $E(2, 1, 0)$.
2. Vecteur directeur : Le vecteur $\vec{EF}$ est un vecteur directeur de la droite $D$. Ses coordonnées sont :
$\vec{EF} = (x_F - x_E, y_F - y_E, z_F - z_E) = (-1 - 2, 3 - 1, 4 - 0) = (-3, 2, 4)$.
3. Représentation paramétrique : En utilisant le point $E(2, 1, 0)$ et le vecteur directeur $\vec{EF}(-3, 2, 4)$ :
$\begin{cases}
x = 2 - 3t \\
y = 1 + 2t \\
z = 0 + 4t
\end{cases}$, soit $\begin{cases}
x = 2 - 3t \\
y = 1 + 2t \\
z = 4t
\end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$.

Déterminer une équation cartésienne d'un plan

1. Identifier un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant au plan.
2. Identifier un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ au plan. Si le plan est défini par trois points non alignés, on peut chercher un vecteur $\vec{n}(a,b,c)$ tel que $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$.
3. Écrire l'équation provisoire du plan : $ax + by + cz + d = 0$.
4. Substituer les coordonnées du point $A$ dans l'équation pour trouver la valeur de $d$.
5. Écrire l'équation cartésienne finale du plan.

Exemple
Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ passant par le point $A(1, 0, -1)$ et dont les vecteurs $\vec{u}(1, 1, 0)$ et $\vec{v}(0, 1, 1)$ sont des vecteurs directeurs.

Corrigé pas à pas
1. Point du plan : $A(1, 0, -1)$.
2. Vecteur normal : Un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ est orthogonal aux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \implies a(1) + b(1) + c(0) = 0 \implies a + b = 0 \quad (L_1)$
$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \implies a(0) + b(1) + c(1) = 0 \implies b + c = 0 \quad (L_2)$
De $(L_1)$, $b = -a$. De $(L_2)$, $c = -b$. Donc $c = -(-a) = a$.
Nous pouvons choisir une valeur pour $a$, par exemple $a=1$. Alors $b=-1$ et $c=1$. Un vecteur normal est $\vec{n}(1, -1, 1)$.
3. Équation provisoire : $1x - 1y + 1z + d = 0$, soit $x - y + z + d = 0$.
4. Détermination de $d$ : Le plan passe par $A(1, 0, -1)$.
$1 - 0 + (-1) + d = 0 \implies 0 + d = 0 \implies d = 0$.
5. Équation finale : L'équation cartésienne du plan $P$ est $x - y + z = 0$.

Calculer un produit scalaire et en déduire l'orthogonalité

1. Identifier les coordonnées des deux vecteurs $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v}(x_v, y_v, z_v)$ dans un repère orthonormé.
2. Appliquer la formule du produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$.
3. Si le résultat du produit scalaire est $0$, conclure que les vecteurs sont orthogonaux. Sinon, ils ne le sont pas.

Exemple
Soient les vecteurs $\vec{a}(2, -3, 1)$ et $\vec{b}(1, 2, 4)$. Calculer leur produit scalaire et déterminer s'ils sont orthogonaux.

Corrigé pas à pas
1. Coordonnées des vecteurs : $\vec{a}(2, -3, 1)$ et $\vec{b}(1, 2, 4)$.
2. Calcul du produit scalaire :
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (-3)(2) + (1)(4) = 2 - 6 + 4 = 0$.
3. Conclusion sur l'orthogonalité :
Puisque le produit scalaire $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont orthogonaux.

Vecteurs et repères

• Coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ : $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.
• Norme d'un vecteur $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$.
• Vecteurs colinéaires : $\vec{u} = k\vec{v}$ pour un réel $k$.
• Vecteurs coplanaires : $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ pour des réels $a, b$.

Droites et plans

• Représentation paramétrique d'une droite $D(A, \vec{u})$ : $\begin{cases}
  x = x_A + ta \\
  y = y_A + tb \\
  z = z_A + tc
  \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.
• Équation cartésienne d'un plan $P(\vec{n}(a,b,c))$ : $ax + by + cz + d = 0$.
• Vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ au plan $ax+by+cz+d=0$.

Produit scalaire

• Définition analytique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$.
• Définition géométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)$.
• Condition d'orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• Angle entre deux vecteurs : $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}$.
• Distance d'un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ à un plan $P(ax+by+cz+d=0)$ : $d(M_0, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.