Primitives et calcul intégral

Définition et propriétés fondamentales des primitives

Une fonction $F$ est appelée une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

Si une fonction $f$ admet une primitive $F$ sur un intervalle $I$, alors elle en admet une infinité. Toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont de la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle arbitraire. Cette constante est appelée la constante d'intégration.

Le théorème fondamental du calcul intégral stipule que toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle.

Méthode
Pour vérifier qu'une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$, il suffit de calculer la dérivée de $F$ et de s'assurer qu'elle est égale à $f$ sur $I$.
Pour déterminer la primitive spécifique d'une fonction $f$ qui prend une valeur donnée en un point (condition initiale), on détermine d'abord la forme générale de la primitive $F(x) + C$, puis on utilise la condition initiale pour calculer la valeur de $C$.

Exemple
Soit la fonction $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$. Montrer que la fonction $F(x) = x^3 - x^2 + x + 5$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. Déterminer la primitive de $f$ qui s'annule en $x=0$.

Corrigé pas à pas
1. Pour montrer que $F(x) = x^3 - x^2 + x + 5$ est une primitive de $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$, nous devons calculer la dérivée de $F(x)$ :
$F'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 + x + 5)$
$F'(x) = 3x^{3-1} - 2x^{2-1} + 1x^{1-1} + 0$
$F'(x) = 3x^2 - 2x + 1$
Puisque $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2. Pour déterminer la primitive de $f$ qui s'annule en $x=0$, nous savons que toutes les primitives de $f$ sont de la forme $G(x) = x^3 - x^2 + x + C$. Nous cherchons $C$ tel que $G(0) = 0$.
$G(0) = (0)^3 - (0)^2 + (0) + C = 0$
$0 + C = 0 \implies C = 0$
La primitive de $f$ qui s'annule en $x=0$ est donc $G(x) = x^3 - x^2 + x$.

Erreurs fréquentes
Oublier la constante d'intégration $C$ lors de la recherche d'une primitive générale. Cela conduit à une solution incomplète.
Confondre le processus de dérivation et de primitivation, par exemple en appliquant les règles de dérivation au lieu des règles de primitivation.
Ne pas spécifier l'intervalle $I$ sur lequel la primitive est définie. Bien que souvent $\mathbb{R}$, il est crucial pour des fonctions comme $x \mapsto 1/x$ où l'intervalle doit exclure $0$.

Calcul des primitives usuelles et règles opératoires

Le calcul des primitives repose sur la connaissance des primitives des fonctions usuelles et sur des règles opératoires qui découlent directement des règles de dérivation.

Tableau des primitives usuelles (pour $C \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq -1$) :
• $f(x) = k$ (constante) $\implies F(x) = kx + C$
• $f(x) = x^n$ $\implies F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$
• $f(x) = \frac{1}{x}$ (sur $]0, +\infty[$ ou $]-\infty, 0[$) $\implies F(x) = \ln(|x|) + C$
• $f(x) = e^x$ $\implies F(x) = e^x + C$
• $f(x) = \cos(x)$ $\implies F(x) = \sin(x) + C$
• $f(x) = \sin(x)$ $\implies F(x) = -\cos(x) + C$

Règles opératoires :
Soient $F$ et $G$ des primitives respectives de $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, et $\lambda$ un réel :
• Linéarité de la primitivation :
• Une primitive de $f+g$ est $F+G$.
• Une primitive de $\lambda f$ est $\lambda F$.
• Primitives de fonctions composées (formes $u'u^n$, $u'e^u$, etc.) :
• $f(x) = u'(x) [u(x)]^n$ $\implies F(x) = \frac{1}{n+1}[u(x)]^{n+1} + C$ (pour $n \neq -1$)
• $f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$ $\implies F(x) = \ln(|u(x)|) + C$ (si $u(x) \neq 0$)
• $f(x) = u'(x)e^{u(x)}$ $\implies F(x) = e^{u(x)} + C$
• $f(x) = u'(x)\cos(u(x))$ $\implies F(x) = \sin(u(x)) + C$
• $f(x) = u'(x)\sin(u(x))$ $\implies F(x) = -\cos(u(x)) + C$

Méthode
Identifier la forme de la fonction à primitiver : est-ce une fonction usuelle, une somme, un produit par une constante, ou une forme composée ($u'u^n$, $u'e^u$, etc.) ?
Appliquer la formule de primitive correspondante du tableau des primitives usuelles ou des règles opératoires.
Ne pas oublier la constante d'intégration $C$ dans le cas d'une primitive générale.

Exemple
Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle spécifié :
1. $f(x) = 5x^4 - 3\cos(x) + 2$ sur $\mathbb{R}$
2. $g(x) = (2x+1)(x^2+x+3)^3$ sur $\mathbb{R}$
3. $h(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$

Corrigé pas à pas
1. Pour $f(x) = 5x^4 - 3\cos(x) + 2$ :
Nous utilisons la linéarité et les primitives usuelles :
Une primitive de $x^4$ est $\frac{1}{4+1}x^{4+1} = \frac{1}{5}x^5$.
Une primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$.
Une primitive de $2$ est $2x$.
Donc, une primitive $F(x)$ de $f(x)$ est :
$F(x) = 5 \times \frac{1}{5}x^5 - 3 \times \sin(x) + 2x + C$
$F(x) = x^5 - 3\sin(x) + 2x + C$

2. Pour $g(x) = (2x+1)(x^2+x+3)^3$ :
Nous reconnaissons la forme $u'u^n$. Posons $u(x) = x^2+x+3$. Alors $u'(x) = 2x+1$.
La fonction $g(x)$ est de la forme $u'(x)[u(x)]^3$.
Une primitive de $u'u^n$ est $\frac{1}{n+1}u^{n+1}$. Ici $n=3$.
Donc, une primitive $G(x)$ de $g(x)$ est :
$G(x) = \frac{1}{3+1}(x^2+x+3)^{3+1} + C$
$G(x) = \frac{1}{4}(x^2+x+3)^4 + C$

3. Pour $h(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ :
Nous reconnaissons la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$. Posons $u(x) = x^2+1$. Alors $u'(x) = 2x$.
La fonction $h(x)$ est de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$.
Une primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln(|u(x)|)$. Puisque $x^2+1$ est toujours positif, $|x^2+1| = x^2+1$.
Donc, une primitive $H(x)$ de $h(x)$ est :
$H(x) = \ln(x^2+1) + C$

Erreurs fréquentes
Oublier le facteur $\frac{1}{a}$ lors de la primitivation de fonctions de la forme $f(ax+b)$, par exemple une primitive de $e^{ax+b}$ est $\frac{1}{a}e^{ax+b}$, non $e^{ax+b}$.
Erreurs de signe avec les primitives de $\sin(x)$ et $\cos(x)$ (primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$, primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$).
Confondre la primitive de $\frac{1}{x}$ qui est $\ln(|x|)$ avec celle de $x^n$ (pour $n=-1$), ou appliquer la formule de $x^n$ pour $n=-1$ (ce qui donnerait une division par zéro).

Intégrale d'une fonction continue et calcul d'aires

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a, b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$, notée $\int_a^b f(x) \,dx$, représente l'aire de la région du plan délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$. Cette aire est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Théorème fondamental du calcul intégral (Théorème de Barrow) :
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et si $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur cet intervalle, alors :
$$\int_a^b f(x) \,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$

Propriétés de l'intégrale :
• Linéarité : Pour toutes fonctions continues $f, g$ sur $[a,b]$ et tout réel $\lambda$ :
• $\int_a^b (f(x) + g(x)) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_a^b g(x) \,dx$
• $\int_a^b \lambda f(x) \,dx = \lambda \int_a^b f(x) \,dx$
• Relation de Chasles : Pour toute fonction continue $f$ sur un intervalle contenant $a, b, c$ :
• $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx$
• Inversion des bornes : $\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx$
• Intégrale nulle : $\int_a^a f(x) \,dx = 0$
• Positivité et comparaison :
• Si $f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$ (avec $a < b$), alors $\int_a^b f(x) \,dx \ge 0$.
• Si $f(x) \le g(x)$ sur $[a, b]$ (avec $a < b$), alors $\int_a^b f(x) \,dx \le \int_a^b g(x) \,dx$.

Valeur moyenne d'une fonction :
Pour une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a, b]$ (avec $a \neq b$), la valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est le réel $\mu$ défini par :
$$\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \,dx$$

Méthode
Pour calculer une intégrale définie $\int_a^b f(x) \,dx$ :
1. Trouver une primitive $F(x)$ de $f(x)$.
2. Évaluer $F(b) - F(a)$.
Pour calculer l'aire d'une région délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a, x=b$ :
1. Si $f(x) \ge 0$ sur $[a,b]$, l'aire est $\int_a^b f(x) \,dx$.
2. Si $f(x) \le 0$ sur $[a,b]$, l'aire est $-\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b -f(x) \,dx$.
3. Si $f(x)$ change de signe sur $[a,b]$, il faut découper l'intervalle aux points où $f(x)=0$ et calculer la somme des aires (valeurs absolues des intégrales sur chaque sous-intervalle).

Exemple
1. Calculer l'intégrale $I = \int_1^2 (3x^2 - 2x + 1) \,dx$.
2. Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de la fonction $f(x) = x^2 - 4$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$.

Corrigé pas à pas
1. Pour calculer $I = \int_1^2 (3x^2 - 2x + 1) \,dx$ :
Nous avons déjà trouvé une primitive de $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ dans l'exemple précédent : $F(x) = x^3 - x^2 + x$.
Appliquons le théorème fondamental du calcul intégral :
$I = [x^3 - x^2 + x]_1^2$
$I = ( (2)^3 - (2)^2 + (2) ) - ( (1)^3 - (1)^2 + (1) )$
$I = ( 8 - 4 + 2 ) - ( 1 - 1 + 1 )$
$I = 6 - 1 = 5$

2. Pour calculer l'aire de la région délimitée par $f(x) = x^2 - 4$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$ :
D'abord, étudions le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0, 2]$.
$f(x) = x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
Sur l'intervalle $[0, 2]$ :
• $x-2 \le 0$ (car $x \le 2$)
• $x+2 \ge 0$ (car $x \ge 0$)
Donc, $f(x) = (x-2)(x+2) \le 0$ sur $[0, 2]$.
Puisque la fonction est négative sur cet intervalle, l'aire est donnée par $-\int_0^2 f(x) \,dx$.
Trouvons une primitive de $f(x) = x^2 - 4$ : $F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$.
Calculons l'intégrale :
$\int_0^2 (x^2 - 4) \,dx = [\frac{1}{3}x^3 - 4x]_0^2$
$= (\frac{1}{3}(2)^3 - 4(2)) - (\frac{1}{3}(0)^3 - 4(0))$
$= (\frac{8}{3} - 8) - (0 - 0)$
$= \frac{8}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{16}{3}$
L'aire est donc $|-\frac{16}{3}| = \frac{16}{3}$ unités d'aire.

Erreurs fréquentes
Erreurs de calcul lors de l'évaluation de $F(b) - F(a)$, notamment avec les signes ou les parenthèses.
Confondre l'intégrale et l'aire : l'intégrale peut être négative si la fonction est sous l'axe des abscisses, tandis qu'une aire est toujours positive. Il faut prendre la valeur absolue de l'intégrale ou intégrer $-f(x)$ si $f(x) \le 0$.
Oublier de vérifier le signe de la fonction pour le calcul d'aire, ce qui peut conduire à un résultat d'aire négatif ou incorrect si la fonction change de signe.

Déterminer une primitive d'une fonction usuelle ou composée simple

1. Analyser la forme de la fonction $f(x)$ : est-ce une fonction de base (puissance, exponentielle, trigonométrique, $1/x$) ? Est-ce une somme ou une différence de fonctions ? Est-ce une forme composée du type $u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$ ?
2. Si c'est une fonction de base ou une somme/différence, appliquer directement les formules du tableau des primitives usuelles et les règles de linéarité.
3. Si c'est une forme composée, identifier la fonction $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$ pour faire correspondre la fonction à une des formes types ($u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$, etc.).
4. Appliquer la formule de primitive correspondante pour la forme identifiée.
5. Ajouter la constante d'intégration $C$ pour obtenir la forme générale de la primitive.

Exemple
Déterminer une primitive de $f(x) = (3x^2+2)e^{x^3+2x}$ sur $\mathbb{R}$.

Corrigé pas à pas
1. Analysons la forme de $f(x) = (3x^2+2)e^{x^3+2x}$. Nous observons un produit et une exponentielle avec un argument complexe. Cela suggère une forme $u'e^u$.
2. Posons $u(x) = x^3+2x$. Calculons sa dérivée : $u'(x) = 3x^2+2$.
3. Nous constatons que $f(x)$ est exactement de la forme $u'(x)e^{u(x)}$.
4. La formule de primitive pour $u'e^u$ est $e^u + C$.
5. Donc, une primitive $F(x)$ de $f(x)$ est $F(x) = e^{x^3+2x} + C$.

Calculer une intégrale définie

1. Identifier la fonction $f(x)$ à intégrer et les bornes d'intégration $a$ et $b$.
2. Rechercher une primitive $F(x)$ de la fonction $f(x)$. Il n'est pas nécessaire d'ajouter la constante $C$ à ce stade, car elle s'annulera lors du calcul de la différence $F(b) - F(a)$.
3. Appliquer le théorème fondamental du calcul intégral : calculer $F(b) - F(a)$.
4. Effectuer les calculs numériques avec rigueur.

Exemple
Calculer l'intégrale $J = \int_0^{\pi/2} (\cos(x) + x) \,dx$.

Corrigé pas à pas
1. La fonction à intégrer est $f(x) = \cos(x) + x$. Les bornes sont $a=0$ et $b=\pi/2$.
2. Recherchons une primitive $F(x)$ de $f(x)$ :
• Une primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$.
• Une primitive de $x$ est $\frac{1}{2}x^2$.
Donc, $F(x) = \sin(x) + \frac{1}{2}x^2$.
3. Appliquons le théorème fondamental du calcul intégral :
$J = [\sin(x) + \frac{1}{2}x^2]_0^{\pi/2}$
$J = (\sin(\pi/2) + \frac{1}{2}(\pi/2)^2) - (\sin(0) + \frac{1}{2}(0)^2)$
4. Effectuons les calculs :
$J = (1 + \frac{1}{2} \times \frac{\pi^2}{4}) - (0 + 0)$
$J = 1 + \frac{\pi^2}{8}$

Calculer l'aire d'une région plane

1. Identifier la fonction $f(x)$, l'intervalle $[a, b]$ et les limites de la région (courbe, axe des abscisses, droites verticales).
2. Étudier le signe de la fonction $f(x)$ sur l'intervalle $[a, b]$. Il est crucial de déterminer si $f(x)$ est toujours positive, toujours négative, ou si elle change de signe sur l'intervalle.
3. Si $f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$, l'aire est donnée par $\int_a^b f(x) \,dx$.
4. Si $f(x) \le 0$ sur $[a, b]$, l'aire est donnée par $-\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b -f(x) \,dx$.
5. Si $f(x)$ change de signe sur $[a, b]$, déterminer les points $c_1, c_2, \dots$ où $f(x)=0$ à l'intérieur de l'intervalle. Découper l'intégrale en une somme d'intégrales sur chaque sous-intervalle où le signe de $f(x)$ est constant. L'aire totale sera la somme des valeurs absolues de ces intégrales : $\text{Aire} = |\int_a^{c_1} f(x) \,dx| + |\int_{c_1}^{c_2} f(x) \,dx| + \dots + |\int_{c_n}^b f(x) \,dx|$.
6. Calculer les intégrales définies comme décrit dans la fiche précédente et sommer les résultats (en valeur absolue si nécessaire).

Exemple
Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de la fonction $f(x) = x^3$, l'axe des abscisses et les droites $x=-1$ et $x=1$.

Corrigé pas à pas
1. La fonction est $f(x) = x^3$. L'intervalle est $[-1, 1]$.
2. Étudions le signe de $f(x) = x^3$ sur $[-1, 1]$ :
• Si $x \in [-1, 0]$, alors $x^3 \le 0$.
• Si $x \in [0, 1]$, alors $x^3 \ge 0$.
La fonction change de signe en $x=0$.
3. Nous devons découper l'intervalle en deux : $[-1, 0]$ et $[0, 1]$. L'aire totale sera la somme des aires sur chaque sous-intervalle.
• Sur $[-1, 0]$, $f(x) \le 0$, donc l'aire $A_1 = -\int_{-1}^0 x^3 \,dx$.
• Sur $[0, 1]$, $f(x) \ge 0$, donc l'aire $A_2 = \int_0^1 x^3 \,dx$.
4. Recherchons une primitive de $f(x) = x^3$ : $F(x) = \frac{1}{4}x^4$.
5. Calculons $A_1$ :
$A_1 = -[\frac{1}{4}x^4]_{-1}^0 = - (\frac{1}{4}(0)^4 - \frac{1}{4}(-1)^4) = - (0 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$.
6. Calculons $A_2$ :
$A_2 = [\frac{1}{4}x^4]_0^1 = (\frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{4}(0)^4) = (\frac{1}{4} - 0) = \frac{1}{4}$.
7. L'aire totale est $A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ unités d'aire.

Primitives usuelles (avec $C \in \mathbb{R}$)

• $f(x) = k \implies F(x) = kx + C$
• $f(x) = x^n$ (pour $n \neq -1$) $\implies F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$
• $f(x) = \frac{1}{x}$ (sur $]0, +\infty[$ ou $]-\infty, 0[$) $\implies F(x) = \ln(|x|) + C$
• $f(x) = e^x \implies F(x) = e^x + C$
• $f(x) = \cos(x) \implies F(x) = \sin(x) + C$
• $f(x) = \sin(x) \implies F(x) = -\cos(x) + C$

Primitives de fonctions composées (formes courantes)

• $u'(x)[u(x)]^n$ (pour $n \neq -1$) $\implies \frac{1}{n+1}[u(x)]^{n+1} + C$
• $\frac{u'(x)}{u(x)}$ $\implies \ln(|u(x)|) + C$
• $u'(x)e^{u(x)}$ $\implies e^{u(x)} + C$
• $u'(x)\cos(u(x))$ $\implies \sin(u(x)) + C$
• $u'(x)\sin(u(x))$ $\implies -\cos(u(x)) + C$
• $f(ax+b) \implies \frac{1}{a}F(ax+b) + C$ (où $F$ est une primitive de $f$)

Théorème fondamental et propriétés de l'intégrale

• Théorème de Barrow : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$.
• Linéarité : $\int_a^b (\lambda f(x) + \mu g(x)) \,dx = \lambda \int_a^b f(x) \,dx + \mu \int_a^b g(x) \,dx$.
• Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx$.
• Aire : Si $f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$, l'aire est $\int_a^b f(x) \,dx$. Si $f(x) \le 0$, l'aire est $-\int_a^b f(x) \,dx$.
• Valeur moyenne : $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \,dx$ (pour $a \neq b$).