Lunette astronomique afocale et réponse d'un circuit RC

La lunette astronomique afocale

Une lunette astronomique est un instrument d'optique destiné à observer des objets situés à l'infini. Elle est constituée de deux systèmes convergents modélisés par des lentilles minces : l'objectif ($L_1$, de centre optique $O_1$ et de distance focale $f'_1$) et l'oculaire ($L_2$, de centre optique $O_2$ et de distance focale $f'_2$). Elle est dite afocale lorsque le foyer image principal $F'_1$ de l'objectif coïncide avec le foyer objet principal $F_2$ de l'oculaire. L'image définitive d'un objet situé à l'infini se forme alors à l'infini, permettant à un œil emmétrope d'observer sans accommoder.

Méthode
Positionner les lentilles sur l'axe optique de telle sorte que la distance entre les centres vérifie $O_1O_2 = f'_1 + f'_2$.
Construire l'image intermédiaire $A_1B_1$ située dans le plan focal image de l'objectif (qui est aussi le plan focal objet de l'oculaire).
Tracer les rayons émergents de l'oculaire : ils ressortent parallèles entre eux avec une inclinaison $\theta'$ par rapport à l'axe optique.
Calculer le grossissement angulaire $G$ défini par le rapport de l'angle sous lequel on voit l'image $\theta'$ à l'angle sous lequel on voit l'objet $\theta$ : $G = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{f'_1}{f'_2}$.

Exemple
On dispose d'un objectif de distance focale $f'_1 = 80{,}0\text{ cm}$ et d'un oculaire de distance focale $f'_2 = 20{,}0\text{ mm}$. La lunette est réglée en configuration afocale. Calculer la distance entre les deux lentilles ainsi que le grossissement angulaire $G$.

Corrigé pas à pas
1. Pour un système afocal, les foyers coïncident : $F'_1 = F_2$. La distance entre les centres optiques est $O_1O_2 = f'_1 + f'_2 = 80{,}0\text{ cm} + 2{,}00\text{ cm} = 82{,}0\text{ cm}$.
2. Le grossissement angulaire s'exprime par le rapport $G = \frac{f'_1}{f'_2}$. Avec des unités identiques : $G = \frac{800\text{ mm}}{20{,}0\text{ mm}} = 40{,}0$ (sans unité).

Erreurs fréquentes
Oublier d'exprimer les deux distances focales dans la même unité lors du calcul du grossissement $G$.
Confondre l'objectif (tourné vers l'objet, grande focale) et l'oculaire (proche de l'œil, courte focale).
Penser que l'image intermédiaire est virtuelle, alors qu'elle est réelle et se forme sur le plan focal commun.

Le circuit RC série : charge et décharge d'un condensateur

Un condensateur de capacité $C$ (en farads, $\text{F}$) emmagasine une charge électrique $q = C \cdot u_C$. L'intensité du courant traversant le condensateur en convention récepteur est donnée par $i(t) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$. Dans un circuit comportant un conducteur ohmique de résistance $R$ et un condensateur $C$ alimentés par un échelon de tension $E$, la constante de temps du circuit est $\tau = R \cdot C$.

Méthode
Appliquer la loi des mailles au circuit série : $E = u_R(t) + u_C(t)$.
Utiliser la loi d'Ohm $u_R(t) = R \cdot i(t)$ et la relation $i(t) = C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$.
Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ : $u_C(t) + RC \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = E$.
Résoudre l'équation différentielle avec la condition initiale $u_C(0) = 0\text{ V}$ : $u_C(t) = E \left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)$.
Exploiter la valeur de $\tau = RC$ : à $t = \tau$, $u_C(\tau) = E(1 - \mathrm{e}^{-1}) \approx 0{,}63 E$ (charge à 63%). Le régime permanent est atteint pour $t \approx 5\tau$ (plus de 99%).

Exemple
Un circuit comporte un générateur de tension constante $E = 5{,}0\text{ V}$, un résistor $R = 10\text{ k}\Omega$ et un condensateur $C = 220\text{ }\mu\text{F}$. Calculer la constante de temps $\tau$ et déterminer la tension aux bornes du condensateur à l'instant $t = \tau$.

Corrigé pas à pas
1. Calcul de la constante de temps $\tau$ :
$\tau = R \cdot C = 10 \times 10^3\,\Omega \times 220 \times 10^{-6}\,\text{F} = 2{,}2\text{ s}$.
2. Valeur de la tension à $t = \tau$ :
$u_C(\tau) = E \left(1 - \mathrm{e}^{-1}\right) \approx 5{,}0 \times 0{,}632 = 3{,}16\text{ V} \approx 3{,}2\text{ V}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de convertir la capacité en farads ($\text{F}$) et la résistance en ohms ($\Omega$) pour obtenir $\tau$ en secondes.
Confondre l'expression de la tension lors de la charge ($u_C(t) = E(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau})$) et lors de la décharge ($u_C(t) = E \mathrm{e}^{-t/\tau}$).
Écrire $i = \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ en oubliant le facteur $C$.

Déterminer graphiquement la constante de temps tau

1. Méthode de la tangente à l'origine : tracer la tangente à la courbe $u_C(t)$ à $t = 0$. L'abscisse du point d'intersection entre cette tangente et l'asymptote horizontale $u_C = E$ est égale à $\tau$.
2. Méthode des 63% (charge) : repérer sur l'axe des ordonnées la valeur $0{,}63 \times E$. Lire l'abscisse correspondante sur la courbe : elle correspond à $t = \tau$.
3. Méthode des 37% (décharge) : repérer sur l'axe des ordonnées la valeur $0{,}37 \times E$. L'abscisse associée donne $t = \tau$.

Exemple
Sur l'enregistrement de la charge d'un condensateur sous une tension d'échelon $E = 10\text{ V}$, la tension atteint $6{,}3\text{ V}$ à la date $t = 15\text{ ms}$. En déduire la constante de temps $\tau$ et la valeur de la capacité $C$ si $R = 1{,}5\text{ k}\Omega$.

Corrigé pas à pas
1. Puisque $6{,}3\text{ V} = 0{,}63 \times 10\text{ V} = 0{,}63 E$, la date correspondante est égale à la constante de temps : $\tau = 15\text{ ms} = 15 \times 10^{-3}\text{ s}$.
2. Relation $\tau = R \cdot C \implies C = \frac{\tau}{R} = \frac{15 \times 10^{-3}}{1{,}5 \times 10^3} = 1{,}0 \times 10^{-5}\text{ F} = 10\,\mu\text{F}$.

Calculer la position et le diamètre du cercle oculaire

1. Identifier que le cercle oculaire est l'image de la monture de l'objectif $L_1$ donnée par l'oculaire $L_2$.
2. Appliquer la relation de conjugaison de Descartes pour l'oculaire $L_2$ : $\frac{1}{\overline{O_2A'}} - \frac{1}{\overline{O_2O_1}} = \frac{1}{f'_2}$ en remarquant que l'objet pour $L_2$ est placé en $O_1$, soit $\overline{O_2O_1} = -(f'_1 + f'_2)$.
3. Calculer le grandissement transversal $\gamma = \frac{\overline{O_2A'}}{\overline{O_2O_1}}$ pour déterminer le diamètre $D'$ du cercle oculaire à partir du diamètre $D$ de l'objectif : $D' = |\gamma| \cdot D = \frac{D}{G}$.

Exemple
Une lunette afocale possède un objectif de diamètre $D = 80\text{ mm}$ et de focale $f'_1 = 600\text{ mm}$, ainsi qu'un oculaire de focale $f'_2 = 30\text{ mm}$. Calculer le grossissement $G$ et le diamètre $D'$ du cercle oculaire.

Corrigé pas à pas
1. Grossissement angulaire : $G = \frac{f'_1}{f'_2} = \frac{600}{30} = 20$.
2. Diamètre du cercle oculaire : $D' = \frac{D}{G} = \frac{80\text{ mm}}{20} = 4{,}0\text{ mm}$. C'est à cet endroit que l'observateur doit placer sa pupille pour collecter toute la lumière.

Lunette astronomique afocale

• Condition afocale : $F'_1 = F_2 \implies O_1O_2 = f'_1 + f'_2$
• Grossissement angulaire : $G = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{f'_1}{f'_2}$
• Diamètre du cercle oculaire : $D' = \frac{D}{G}$ (avec $D$ le diamètre de l'objectif)

Circuit RC série

• Relation courant-tension : $i(t) = C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ et charge $q(t) = C \cdot u_C(t)$
• Constante de temps : $\tau = R \cdot C$ (en secondes)
• Équation différentielle (charge) : $u_C(t) + \tau \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = E$
• Solution charge : $u_C(t) = E \left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right)$, avec $u_C(\tau) \approx 0{,}63 E$
• Solution décharge : $u_C(t) = E \mathrm{e}^{-t/\tau}$, avec $u_C(\tau) \approx 0{,}37 E$
• Énergie stockée dans un condensateur : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$