Géométrie dans l'espace : solides et sections

1. Les solides usuels et leur vocabulaire

En géométrie dans l'espace, un solide est une figure à trois dimensions (longueur, largeur, hauteur). Nous allons étudier les solides les plus courants : les prismes droits, les cylindres de révolution, les pyramides, les cônes de révolution et les sphères.

Pour les solides comme les prismes et les pyramides, on utilise un vocabulaire spécifique :
• Les faces sont les surfaces planes qui délimitent le solide.
• Les arêtes sont les segments où deux faces se rencontrent.
• Les sommets sont les points où plusieurs arêtes se rejoignent.

Méthode
Identifier le type de solide (prisme, cylindre, pyramide, cône, sphère).
Pour les prismes et pyramides, compter le nombre de faces, d'arêtes et de sommets.
Décrire les formes des faces (polygones).

Exemple
Décris un pavé droit (aussi appelé parallélépipède rectangle) en termes de faces, arêtes et sommets. Donne la forme de ses faces.

Corrigé pas à pas
Un pavé droit est un prisme droit dont la base est un rectangle.
• Il possède 6 faces. Toutes ses faces sont des rectangles (et peuvent être des carrés dans le cas particulier du cube).
• Il possède 12 arêtes.
• Il possède 8 sommets.

Erreurs fréquentes
Confondre les arêtes (segments) et les sommets (points).
Oublier qu'un cube est un cas particulier de pavé droit, et donc de prisme droit.

2. Les sections planes de solides

Une section plane d'un solide est la figure géométrique obtenue lorsque l'on coupe ce solide par un plan. C'est comme la trace laissée par la coupe.

La forme de la section dépend de la nature du solide et de l'orientation du plan de coupe.

Méthode
Visualiser le solide et son orientation dans l'espace.
Visualiser le plan de coupe et son orientation par rapport au solide (parallèle à une face, perpendiculaire à une arête, etc.).
Déterminer la forme de l'intersection du plan avec les faces ou la surface du solide. Il est souvent utile d'imaginer la coupe en 2D pour mieux identifier la forme.

Exemple
Un pavé droit est coupé par un plan. Décris la forme de la section si le plan est :
1. Parallèle à une face.
2. Parallèle à une arête, mais non parallèle à une face.
3. Passant par trois sommets non alignés.

Corrigé pas à pas
1. Si le plan est parallèle à une face du pavé droit, la section obtenue est un rectangle (ou un carré si la face est un carré).
2. Si le plan est parallèle à une arête mais non parallèle à une face, la section obtenue est un rectangle.
3. Si le plan passe par trois sommets non alignés, la section obtenue est un triangle.

Erreurs fréquentes
Ne pas visualiser correctement le plan de coupe et son intersection avec le solide.
Confondre la section d'un cylindre par un plan parallèle à l'axe (rectangle) avec la section par un plan perpendiculaire à l'axe (cercle).
Penser qu'une section de pyramide ou de cône est toujours un triangle.

3. Agrandissement et réduction de solides

Lorsqu'un solide est coupé par un plan parallèle à l'une de ses bases, on obtient un solide plus petit qui est une réduction du solide initial. Inversement, on peut parler d'agrandissement.

C'est le cas typique pour les pyramides et les cônes de révolution coupés par un plan parallèle à leur base. Le petit solide obtenu est 'semblable' au grand solide initial.

Si les longueurs sont multipliées par un coefficient $k$ (appelé rapport de réduction ou rapport d'agrandissement) :
• Les aires sont multipliées par $k^2$.
• Les volumes sont multipliées par $k^3$.

Méthode
Identifier le solide initial (grand) et le solide réduit (petit).
Déterminer le rapport $k$ entre une longueur du petit solide et la longueur correspondante du grand solide. Ce rapport est $k = \frac{\text{longueur petite}}{\text{longueur grande}}$. Si $k < 1$, c'est une réduction ; si $k > 1$, c'est un agrandissement.
Pour calculer une aire du petit solide à partir de l'aire du grand, multiplier l'aire du grand par $k^2$.
Pour calculer un volume du petit solide à partir du volume du grand, multiplier le volume du grand par $k^3$.

Exemple
Une pyramide de hauteur $H = 10\text{ cm}$ et de volume $V = 150\text{ cm}^3$ est coupée par un plan parallèle à sa base. La petite pyramide obtenue a une hauteur $h = 4\text{ cm}$.
1. Quel est le rapport de réduction $k$ ?
2. Calcule le volume de la petite pyramide.

Corrigé pas à pas
1. Le rapport de réduction $k$ est le rapport des hauteurs :
$k = \frac{h}{H} = \frac{4}{10} = 0,4$

2. Le volume de la petite pyramide est obtenu en multipliant le volume de la grande pyramide par $k^3$ :
$V_{\text{petite}} = V_{\text{grande}} \times k^3$
$V_{\text{petite}} = 150 \times (0,4)^3$
$V_{\text{petite}} = 150 \times (0,4 \times 0,4 \times 0,4)$
$V_{\text{petite}} = 150 \times 0,064$
$V_{\text{petite}} = 9,6\text{ cm}^3$
Le volume de la petite pyramide est de $9,6\text{ cm}^3$.

Erreurs fréquentes
Oublier de mettre le rapport $k$ au carré pour les aires ou au cube pour les volumes.
Inverser le rapport $k$ (faire \frac{\text{grande}}{\text{petite}} au lieu de \frac{\text{petite}}{\text{grande}} pour une réduction, ce qui donnerait un $k > 1$).
Confondre les unités de longueur, d'aire et de volume.

Identifier la forme d'une section plane

1. 1. Visualiser le solide : Représentez mentalement ou esquissez le solide en 3D.
2. 2. Visualiser le plan de coupe : Imaginez où le plan 'coupe' le solide. Est-il parallèle à une face ? Perpendiculaire à une arête ? Oblique ?
3. 3. Déterminer la forme de l'intersection : Pensez à la trace que le plan laisserait sur la surface du solide. Si le plan coupe des faces planes, la section sera un polygone. Si le plan coupe une surface courbe (cylindre, cône, sphère), la section sera une courbe (cercle, ellipse) ou un polygone (triangle, rectangle).

Exemple
Quelle est la forme de la section d'un cylindre de révolution par un plan qui contient son axe de révolution ?

Corrigé pas à pas
1. Visualiser le solide : Un cylindre est un tube droit avec deux bases circulaires parallèles.
2. Visualiser le plan de coupe : Le plan contient l'axe de révolution du cylindre. Cela signifie qu'il passe par le centre des deux bases et est 'vertical' par rapport au cylindre posé sur une base.
3. Déterminer la forme de l'intersection : Le plan coupe les deux bases circulaires le long de diamètres. Il coupe la surface latérale courbe le long de deux segments parallèles. La figure obtenue est donc un rectangle.

Calculer les dimensions d'une section

1. 1. Dessiner la section : Si possible, esquissez la section obtenue et les dimensions connues ou à calculer. Cela peut être un dessin en 2D de la section elle-même ou une vue en coupe du solide.
2. 2. Identifier les propriétés géométriques : Repérez les triangles rectangles (pour utiliser le théorème de Pythagore), les droites parallèles (pour le théorème de Thalès), les rayons, les hauteurs, etc.
3. 3. Appliquer les formules : Utilisez les théorèmes et les formules d'aires ou de longueurs des figures planes pour trouver les dimensions manquantes.

Exemple
Un pavé droit a pour dimensions : longueur $L = 8\text{ cm}$, largeur $l = 6\text{ cm}$ et hauteur $h = 5\text{ cm}$. On le coupe par un plan passant par deux sommets opposés de la base inférieure et un sommet de la base supérieure, formant un triangle. Calcule la longueur de l'hypoténuse de ce triangle si les sommets choisis sont A, C et G (A et C sont opposés sur la base inférieure, G est le sommet supérieur au-dessus de C).

Corrigé pas à pas
Soit le pavé droit ABCDEFGH, avec A, B, C, D sur la base inférieure et E, F, G, H sur la base supérieure, tels que (AE), (BF), (CG), (DH) sont les arêtes verticales. On coupe par le plan (ACG).

1. Dessiner la section : La section est le triangle ACG.
2. Identifier les propriétés géométriques :
• Le segment [AC] est une diagonale de la base inférieure (rectangle ABCD).
• Le segment [CG] est une arête verticale, donc sa longueur est la hauteur du pavé droit.
• Le triangle ACG est un triangle rectangle en C, car l'arête (CG) est perpendiculaire au plan de la base (ABCD), et donc à toute droite de ce plan passant par C, y compris (AC).
3. Appliquer les formules :
• Calculons d'abord la longueur de la diagonale [AC] dans le rectangle ABCD. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC (rectangle en B) :
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = L^2 + l^2$
$AC^2 = 8^2 + 6^2$
$AC^2 = 64 + 36$
$AC^2 = 100$
$AC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$
• Maintenant, calculons la longueur de l'hypoténuse [AG] dans le triangle rectangle ACG (rectangle en C) :
$AG^2 = AC^2 + CG^2$
$AG^2 = 10^2 + 5^2$
$AG^2 = 100 + 25$
$AG^2 = 125$
$AG = \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}\text{ cm}$
La longueur de l'hypoténuse [AG] est $5\sqrt{5}\text{ cm}$ (environ $11,18\text{ cm}$).

Appliquer les coefficients d'agrandissement/réduction

1. 1. Identifier les solides : Déterminez quel est le solide initial (le 'grand') et quel est le solide réduit ou agrandi (le 'petit').
2. 2. Calculer le rapport de longueurs $k$ : Choisissez une dimension correspondante dans les deux solides (hauteur, arête, rayon, etc.) et calculez le rapport $k = \frac{\text{longueur du petit solide}}{\text{longueur du grand solide}}$. Assurez-vous que $k$ est bien inférieur à 1 pour une réduction et supérieur à 1 pour un agrandissement.
3. 3. Appliquer les coefficients aux aires et volumes :
   • Si vous cherchez une aire : $A_{\text{petit}} = A_{\text{grand}} \times k^2$
   • Si vous cherchez un volume : $V_{\text{petit}} = V_{\text{grand}} \times k^3$

Exemple
Un cône de révolution a un volume de $270\pi\text{ cm}^3$. On réalise une maquette de ce cône avec un rapport de réduction de $k = \frac{1}{3}$. Quel est le volume de la maquette ?

Corrigé pas à pas
1. Identifier les solides : Le cône initial est le 'grand', la maquette est le 'petit' (réduit).
2. Calculer le rapport de longueurs $k$ : Le rapport de réduction est donné : $k = \frac{1}{3}$.
3. Appliquer les coefficients aux aires et volumes : On cherche un volume, donc on utilise $k^3$.
$V_{\text{maquette}} = V_{\text{cône initial}} \times k^3$
$V_{\text{maquette}} = 270\pi \times \left(\frac{1}{3}\right)^3$
$V_{\text{maquette}} = 270\pi \times \frac{1^3}{3^3}$
$V_{\text{maquette}} = 270\pi \times \frac{1}{27}$
$V_{\text{maquette}} = \frac{270}{27}\pi$
$V_{\text{maquette}} = 10\pi\text{ cm}^3$
Le volume de la maquette est $10\pi\text{ cm}^3$.

Solides usuels et vocabulaire

• Prisme droit : Deux bases parallèles et superposables (polygones), faces latérales rectangulaires.
• Cylindre de révolution : Deux bases circulaires parallèles, surface latérale courbe.
• Pyramide : Une base (polygone), faces latérales triangulaires se rejoignant en un sommet.
• Cône de révolution : Une base circulaire, surface latérale courbe se rejoignant en un sommet.
• Sphère : Corps rond dont tous les points sont à égale distance d'un centre.

Sections planes courantes

• Pavé droit :
  • Plan parallèle à une face \(\rightarrow\) Rectangle (ou carré).
  • Plan parallèle à une arête \(\rightarrow\) Rectangle.
  • Plan oblique \(\rightarrow\) Triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone (selon la coupe).
• Cylindre de révolution :
  • Plan perpendiculaire à l'axe \(\rightarrow\) Disque (ou cercle).
  • Plan parallèle à l'axe \(\rightarrow\) Rectangle.
• Cône de révolution :
  • Plan parallèle à la base \(\rightarrow\) Disque (ou cercle).
  • Plan passant par le sommet et l'axe \(\rightarrow\) Triangle.
• Sphère :
  • Tout plan \(\rightarrow\) Cercle.

Agrandissement et réduction

• Si les longueurs sont multipliées par un rapport $k$ : $L' = k \times L$
• Alors les aires sont multipliées par $k^2$ : $A' = k^2 \times A$
• Et les volumes sont multipliés par $k^3$ : $V' = k^3 \times V$