Triangles semblables ; agrandissement-réduction

Qu'est-ce que des triangles semblables ?

Deux triangles sont dits semblables s'ils ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. Plus précisément, deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux. Les côtés opposés aux angles égaux sont appelés côtés homologues.

Méthode
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, vous pouvez utiliser l'une des méthodes suivantes :
1. Vérifier que deux paires d'angles correspondants sont égales. Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors les troisièmes angles sont aussi égaux, et les triangles sont semblables.
2. Vérifier que les longueurs de leurs trois côtés sont proportionnelles. Si les rapports des longueurs des côtés homologues sont égaux, alors les triangles sont semblables.

Exemple
Les triangles ABC et DEF ont les mesures d'angles suivantes : $\widehat{A} = 50^\circ$, $\widehat{B} = 70^\circ$, $\widehat{D} = 50^\circ$, $\widehat{F} = 60^\circ$. Sont-ils semblables ? Justifiez votre réponse et identifiez les côtés homologues.

Corrigé pas à pas
Pour le triangle ABC : $\widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.\nPour le triangle DEF : $\widehat{E} = 180^\circ - (\widehat{D} + \widehat{F}) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.\n\nNous avons donc :\n $\widehat{A} = \widehat{D} = 50^\circ$\n $\widehat{B} = \widehat{E} = 70^\circ$\n $\widehat{C} = \widehat{F} = 60^\circ$\n\nLes triangles ABC et DEF ont leurs angles égaux deux à deux. Ils sont donc semblables.\n\nLes côtés homologues sont les côtés opposés aux angles égaux :\n Le côté [BC] est homologue au côté [EF] (opposés à $50^\circ$).\n Le côté [AC] est homologue au côté [DF] (opposés à $70^\circ$).\n Le côté [AB] est homologue au côté [DE] (opposés à $60^\circ$).

Erreurs fréquentes
Confondre des triangles semblables avec des triangles isométriques (ou égaux). Des triangles isométriques ont la même forme ET la même taille, ils sont donc un cas particulier de triangles semblables avec un rapport de similitude de 1.
Ne pas identifier correctement les côtés homologues. Il faut toujours associer les côtés opposés aux angles égaux.

Propriétés des triangles semblables : le rapport de similitude

Lorsque deux triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est appelé le rapport de similitude (ou rapport d'agrandissement ou de réduction). Si le rapport est supérieur à 1, c'est un agrandissement ; s'il est compris entre 0 et 1, c'est une réduction.

Méthode
1. Identifiez les paires de côtés homologues (ceux qui sont opposés aux angles égaux).
2. Calculez le rapport de similitude $k$ en divisant la longueur d'un côté du second triangle par la longueur du côté homologue du premier triangle : $k = \frac{\text{longueur du côté du second triangle}}{\text{longueur du côté homologue du premier triangle}}$.
3. Utilisez ce rapport pour trouver les longueurs manquantes en multipliant ou en divisant les longueurs connues par $k$.

Exemple
Les triangles ABC et DEF sont semblables. Les côtés homologues sont (AB et DE), (BC et EF), (AC et DF). On donne AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 8 cm et DE = 6 cm. Calculez les longueurs EF et DF.

Corrigé pas à pas
Puisque les triangles ABC et DEF sont semblables, les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles. On peut écrire les rapports :\n$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$\n\nNous connaissons AB = 4 cm et DE = 6 cm. Nous pouvons calculer le rapport de similitude $k$ en allant du triangle ABC vers le triangle DEF :\n$k = \frac{DE}{AB} = \frac{6}{4} = 1,5$\n\nCe rapport est supérieur à 1, il s'agit donc d'un agrandissement.\n\nMaintenant, utilisons ce rapport pour trouver les longueurs manquantes :\n Pour EF : $EF = BC \times k = 6 \times 1,5 = 9$ cm.\n Pour DF : $DF = AC \times k = 8 \times 1,5 = 12$ cm.\n\nDonc, EF = 9 cm et DF = 12 cm.

Erreurs fréquentes
Inverser le rapport de similitude : si on passe d'un petit triangle à un grand, le rapport doit être supérieur à 1. Si on passe d'un grand à un petit, il doit être inférieur à 1.
Ne pas faire correspondre les bons côtés homologues dans le calcul du rapport ou des longueurs. Une erreur dans l'identification des angles égaux peut entraîner cette erreur.

Agrandissement et réduction de figures (longueurs, aires, volumes)

Lorsqu'une figure est agrandie ou réduite, toutes ses dimensions (longueurs, largeurs, hauteurs, rayons, etc.) sont multipliées par un même nombre $k$, appelé le rapport d'agrandissement ou de réduction. Cette transformation est une homothétie.\n\nLes propriétés de cet agrandissement/réduction sont les suivantes :\n Les longueurs sont multipliées par le rapport $k$.\n Les aires sont multipliées par le carré du rapport, $k^2$.\n* Les volumes sont multipliés par le cube du rapport, $k^3$.

Méthode
1. Identifiez le rapport $k$ de l'agrandissement ou de la réduction.
2. Si vous travaillez avec des longueurs (côtés, périmètres, rayons), multipliez la longueur initiale par $k$.
3. Si vous travaillez avec des aires (surface d'un polygone, d'un disque, d'une face d'un solide), multipliez l'aire initiale par $k^2$.
4. Si vous travaillez avec des volumes (d'un solide), multipliez le volume initial par $k^3$.

Exemple
Un cône de révolution a un volume de $150 \text{ cm}^3$. On réalise une réduction de ce cône avec un rapport $k = 0,5$. Quel est le volume du cône réduit ?

Corrigé pas à pas
Le rapport de réduction est $k = 0,5$.\nPour les volumes, le rapport est $k^3$.\nVolume du cône réduit = Volume initial $\times k^3$\nVolume du cône réduit = $150 \text{ cm}^3 \times (0,5)^3$\nVolume du cône réduit = $150 \text{ cm}^3 \times (0,5 \times 0,5 \times 0,5)$\nVolume du cône réduit = $150 \text{ cm}^3 \times 0,125$\nVolume du cône réduit = $18,75 \text{ cm}^3$.\n\nLe volume du cône réduit est de $18,75 \text{ cm}^3$.

Erreurs fréquentes
Oublier d'élever le rapport $k$ à la puissance appropriée : $k$ pour les longueurs, $k^2$ pour les aires, $k^3$ pour les volumes.
Confondre le rapport d'agrandissement avec le rapport de réduction. Si la figure finale est plus petite, $k$ doit être inférieur à 1.

Démontrer que deux triangles sont semblables

1. Étape 1 : Identifier les angles des triangles. Calculez tous les angles de chaque triangle si certaines mesures sont manquantes (en utilisant la somme des angles d'un triangle qui est $180^\circ$).
2. Étape 2 : Comparer les angles. Vérifiez si au moins deux paires d'angles correspondants sont égales. Si c'est le cas, les triangles sont semblables.
3. Étape 3 (Alternative) : Comparer les rapports des côtés. Si vous connaissez toutes les longueurs des côtés, identifiez les côtés potentiellement homologues (par exemple, les plus petits côtés ensemble, les moyens ensemble, les plus grands ensemble) et calculez les trois rapports de longueurs correspondants. Si ces trois rapports sont égaux, les triangles sont semblables.

Exemple
Dans le triangle ABC, $\widehat{A} = 30^\circ$ et $\widehat{B} = 100^\circ$. Dans le triangle XYZ, $\widehat{X} = 30^\circ$ et $\widehat{Z} = 50^\circ$. Démontrez que ces triangles sont semblables.

Corrigé pas à pas
1. Calcul des angles manquants :\n Dans le triangle ABC : $\widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B}) = 180^\circ - (30^\circ + 100^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.\n Dans le triangle XYZ : $\widehat{Y} = 180^\circ - (\widehat{X} + \widehat{Z}) = 180^\circ - (30^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.\n\n2. Comparaison des angles :\n Nous avons :\n $\widehat{A} = \widehat{X} = 30^\circ$\n $\widehat{B} = \widehat{Y} = 100^\circ$\n * $\widehat{C} = \widehat{Z} = 50^\circ$\n\n Puisque les angles des triangles ABC et XYZ sont égaux deux à deux, les triangles ABC et XYZ sont semblables.

Calculer une longueur dans des triangles semblables

1. Étape 1 : Vérifier la similitude. Assurez-vous que les triangles sont bien semblables (par les angles ou les côtés).
2. Étape 2 : Identifier les côtés homologues. Associez chaque côté d'un triangle à son côté homologue dans l'autre triangle (ceux qui sont opposés aux angles égaux).
3. Étape 3 : Écrire les rapports de proportionnalité. Formulez l'égalité des rapports des longueurs des côtés homologues. Par exemple, si ABC est semblable à DEF : $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$.
4. Étape 4 : Calculer le rapport de similitude. Utilisez une paire de côtés homologues dont les deux longueurs sont connues pour calculer le rapport $k$. Attention au sens du rapport (agrandissement ou réduction).
5. Étape 5 : Calculer la longueur inconnue. Utilisez le rapport $k$ et la longueur connue du côté homologue pour trouver la longueur inconnue par une multiplication ou une division.

Exemple
Les triangles PQR et STU sont semblables. Les côtés homologues sont (PQ et ST), (QR et TU), (RP et US). On donne PQ = 3 cm, QR = 5 cm, ST = 9 cm. Calculez la longueur TU.

Corrigé pas à pas
1. Vérification de la similitude : L'énoncé indique que les triangles sont semblables.\n\n2. Identification des côtés homologues : Les côtés homologues sont donnés : (PQ et ST), (QR et TU), (RP et US).\n\n3. Écriture des rapports : $\frac{PQ}{ST} = \frac{QR}{TU} = \frac{RP}{US}$\n\n4. Calcul du rapport de similitude : Nous connaissons PQ = 3 cm et ST = 9 cm. Le rapport de similitude $k$ (de PQR vers STU) est :\n $k = \frac{ST}{PQ} = \frac{9}{3} = 3$.\n Il s'agit d'un agrandissement.\n\n5. Calcul de la longueur inconnue : Nous cherchons TU, qui est homologue à QR. Nous avons QR = 5 cm.\n $TU = QR \times k = 5 \times 3 = 15$ cm.\n\nLa longueur TU est de 15 cm.

Calculer une aire ou un volume après agrandissement/réduction

1. Étape 1 : Déterminer le rapport d'agrandissement/réduction $k$. Ce rapport est le facteur par lequel les longueurs sont multipliées.
2. Étape 2 : Identifier si vous travaillez avec des aires ou des volumes.
3. Étape 3 : Appliquer le bon facteur de proportionnalité :\n Pour les aires, le rapport est $k^2$.\n Pour les volumes, le rapport est $k^3$.
4. Étape 4 : Calculer la nouvelle aire ou le nouveau volume. Multipliez l'aire ou le volume initial par le facteur $k^2$ ou $k^3$ approprié.

Exemple
Une pyramide a une base carrée d'aire $25 \text{ cm}^2$ et un volume de $100 \text{ cm}^3$. On réalise un agrandissement de cette pyramide avec un rapport $k = 2$. Quelle est l'aire de la base de la pyramide agrandie et quel est son volume ?

Corrigé pas à pas
1. Rapport d'agrandissement : $k = 2$.\n\n2. Calcul de l'aire de la base agrandie :\n L'aire initiale de la base est $25 \text{ cm}^2$.\n Pour les aires, le rapport est $k^2 = 2^2 = 4$.\n Aire de la base agrandie = Aire initiale $\times k^2 = 25 \text{ cm}^2 \times 4 = 100 \text{ cm}^2$.\n\n3. Calcul du volume agrandi :\n Le volume initial est $100 \text{ cm}^3$.\n Pour les volumes, le rapport est $k^3 = 2^3 = 8$.\n Volume agrandi = Volume initial $\times k^3 = 100 \text{ cm}^3 \times 8 = 800 \text{ cm}^3$.\n\nL'aire de la base de la pyramide agrandie est $100 \text{ cm}^2$ et son volume est $800 \text{ cm}^3$.

Triangles semblables

• Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux.
• Les côtés opposés aux angles égaux sont dits homologues.
• Si deux triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles : $\frac{\text{côté 1'}}{\text{côté 1}} = \frac{\text{côté 2'}}{\text{côté 2}} = \frac{\text{côté 3'}}{\text{côté 3}} = k$ (rapport de similitude).

Agrandissement et réduction

• Si une figure est agrandie ou réduite avec un rapport $k$ :
• • Les longueurs sont multipliées par $k$.
• • Les aires sont multipliées par $k^2$.
• • Les volumes sont multipliées par $k^3$.