Théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès (calculer des longueurs)

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs inconnues dans un triangle coupé par une droite parallèle à l'un de ses côtés.

Soient deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes en un point $A$.
Soient $B$ et $M$ deux points distincts de $A$ sur la droite $(d)$, et $C$ et $N$ deux points distincts de $A$ sur la droite $(d')$.

Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles $AMN$ et $ABC$ sont proportionnelles :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

Cette égalité s'applique dans deux configurations géométriques :
- La configuration des triangles emboîtés ($M$ appartient au segment $[AB]$ et $N$ au segment $[AC]$).
- La configuration en nœud papillon ($A$ est situé entre $M$ et $B$, ainsi qu'entre $N$ et $C$).

Méthode
1. Vérifier et énoncer les conditions d'application : nommer les deux sécantes, leur point d'intersection et préciser que les deux droites sont parallèles.
2. Citer la propriété : « D'après le théorème de Thalès... ».
3. Écrire l'égalité des trois rapports en partant toujours du sommet commun $A$ : $\frac{\text{petit côté}}{\text{grand côté}} = \frac{\text{petit côté}}{\text{grand côté}} = \frac{\text{petit côté}}{\text{grand côté}}$ (ou l'inverse, en restant cohérent).
4. Remplacer les segments par leurs valeurs numériques connues.
5. Utiliser le produit en croix sur l'égalité à deux rapports contenant la longueur cherchée pour calculer sa valeur.

Exemple
Sur la figure en triangles emboîtés, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$. Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. On donne : $AB = 6\text{ cm}$, $AM = 2\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$ et $BC = 7{,}5\text{ cm}$.
Calculer la longueur $AN$ et la longueur $MN$.

Corrigé pas à pas
1. Données et conditions :
Les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$.
Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

2. Application du théorème :
D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité des rapports :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

3. Remplacement par les valeurs :
$$\frac{2}{6} = \frac{AN}{9} = \frac{MN}{7{,}5}$$

4. Calcul de $AN$ :
À partir de $\frac{2}{6} = \frac{AN}{9}$, on utilise l'égalité des produits en croix :
$$AN = \frac{2 \times 9}{6} = \frac{18}{6} = 3\text{ cm}$$

5. Calcul de $MN$ :
À partir de $\frac{2}{6} = \frac{MN}{7{,}5}$, on a :
$$MN = \frac{2 \times 7{,}5}{6} = \frac{15}{6} = 2{,}5\text{ cm}$$

Conclusion : $AN = 3\text{ cm}$ et $MN = 2{,}5\text{ cm}$.

Erreurs fréquentes
Mélanger les sommets dans les rapports (par exemple écrire $\frac{AM}{MB}$ au lieu de $\frac{AM}{AB}$ : un rapport de Thalès compare toujours un côté entier à un autre côté entier issu du sommet commun).
Oublier de vérifier ou de rédiger la condition d'alignement et de parallélisme avant d'écrire l'égalité des quotients.
Inverser un seul rapport dans la fraction (par exemple écrire $\frac{AM}{AB} = \frac{AC}{AN}$).

Réciproque et contraposée du théorème de Thalès (démontrer un parallélisme)

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles.

Soient deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes en $A$. Soient $B, M$ sur $(d)$ et $C, N$ sur $(d')$.
Si les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$
alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

La contraposée du théorème de Thalès permet quant à elle de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles :
Si les points sont alignés mais que $\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$, alors les droites ne sont pas parallèles.

Méthode
1. Préciser que les points sont alignés dans le même ordre sur les deux droites sécantes.
2. Calculer SÉPARÉMENT les deux rapports $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$ sous forme décimale exacte ou de fraction simplifiée (ne JAMAIS écrire qu'ils sont égaux avant d'avoir vérifié le calcul).
3. Comparer les deux résultats obtenus :
- S'ils sont égaux : conclure que, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles.
- S'ils sont différents : conclure que, d'après le théorème de Thalès (sa contraposée), les droites ne sont pas parallèles.

Exemple
Soit un triangle $ABC$. Le point $E$ appartient au segment $[AB]$ et le point $F$ appartient au segment $[AC]$.
On donne : $AE = 3\text{ cm}$, $AB = 7{,}5\text{ cm}$, $AF = 4\text{ cm}$ et $AC = 10\text{ cm}$.
Les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

Corrigé pas à pas
1. Ordre des points :
Les points $A, E, B$ d'une part et les points $A, F, C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre sur les droites $(AB)$ et $(AC)$.

2. Calcul séparé des rapports :
$$\frac{AE}{AB} = \frac{3}{7{,}5} = \frac{30}{75} = \frac{2}{5} = 0{,}4$$
$$\frac{AF}{AC} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4$$

3. Comparaison et conclusion :
On constate que $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Erreurs fréquentes
Écrire l'égalité des rapports dès le début du raisonnement (ex: écrire $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \dots$). C'est une faute de logique majeure : on ne peut pas affirmer une égalité avant de l'avoir démontrée.
Oublier de mentionner que les points sont alignés « dans le même ordre ».
Arrondir les quotients au lieu de garder des fractions irréductibles (deux valeurs approchées peuvent sembler égales alors que les fractions réelles sont différentes).

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

1. Identifier le sommet commun et les deux droites sécantes.
2. Vérifier la présence de deux droites parallèles.
3. Écrire la formule des 3 rapports de longueurs en partant du sommet commun : $\frac{\text{côté 1 petit}}{\text{côté 1 grand}} = \frac{\text{côté 2 petit}}{\text{côté 2 grand}} = \frac{\text{côté parallèle petit}}{\text{côté parallèle grand}}$.
4. Remplacer les noms des segments par leurs valeurs numériques.
5. Sélectionner l'égalité à deux fractions contenant la valeur cherchée et appliquer le produit en croix : si $\frac{a}{b} = \frac{x}{d}$, alors $x = \frac{a \times d}{b}$.

Exemple
Dans la figure ci-contre, les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles et se coupent en $C$ dans une configuration en papillon.
On donne $CA = 8\text{ cm}$, $CD = 5\text{ cm}$, $CB = 6\text{ cm}$ et $DE = 4\text{ cm}$.
Calculer la longueur $CE$ et la longueur $AB$.

Corrigé pas à pas
1. Les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont sécantes en $C$.
Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles.

2. D'après le théorème de Thalès :
$$\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB}$$

3. En remplaçant par les mesures données :
$$\frac{5}{8} = \frac{CE}{6} = \frac{4}{AB}$$

4. Calcul de $CE$ :
$$CE = \frac{5 \times 6}{8} = \frac{30}{8} = 3{,}75\text{ cm}$$

5. Calcul de $AB$ :
$$AB = \frac{8 \times 4}{5} = \frac{32}{5} = 6{,}4\text{ cm}$$

Conclusion : $CE = 3{,}75\text{ cm}$ et $AB = 6{,}4\text{ cm}$.

Démontrer que deux droites sont parallèles ou non

1. Identifier les deux droites sécantes et leur point d'intersection.
2. Énoncer l'alignement des points dans le même ordre.
3. Calculer le premier rapport $\frac{\text{longueur 1}}{\text{longueur 2}}$ sous forme d'une fraction irréductible.
4. Calculer le second rapport $\frac{\text{longueur 1'}}{\text{longueur 2'}}$ sous forme d'une fraction irréductible.
5. Comparer les deux fractions obtenues :
6. Si elles sont égales : conclure au parallélisme par la réciproque du théorème de Thalès.
7. Si elles sont différentes : conclure à l'absence de parallélisme.

Exemple
Sur une droite $(d)$, on place les points $A, B, C$ dans cet ordre tels que $AB = 3{,}6\text{ cm}$ et $AC = 6\text{ cm}$.
Sur une droite $(d')$ sécante en $A$, on place les points $A, D, E$ dans cet ordre tels que $AD = 4{,}2\text{ cm}$ et $AE = 7\text{ cm}$.
Les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont-elles parallèles ?

Corrigé pas à pas
1. Les points $A, B, C$ d'une part et $A, D, E$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.

2. Calculons séparément les rapports :
$$\frac{AB}{AC} = \frac{3{,}6}{6} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$
$$\frac{AD}{AE} = \frac{4{,}2}{7} = \frac{42}{70} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$

3. Conclusion :
On a $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont bien parallèles.

Théorème direct de Thalès

• Sert à : calculer des longueurs inconnues.
• Hypothèses requises : deux droites sécantes en un point commun ET deux droites parallèles.
• Formule clé (sommet commun $A$) : $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$
• Méthode de calcul : isoler l'inconnue grâce au produit en croix.

Réciproque et contraposée de Thalès

• Sert à : démontrer si deux droites sont parallèles ou non.
• Hypothèse préalable indispensable : les points doivent être alignés dans le même ordre.
• Calcul : évaluer séparément les deux quotients $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$.
• Si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ : les droites sont parallèles (réciproque).
• Si $\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$ : les droites ne sont pas parallèles (contraposée).