Proportionnalité, pourcentages et échelles

1. La proportionnalité et le produit en croix

Deux grandeurs sont dites proportionnelles si l'on peut passer des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant toujours par le même nombre non nul. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité. Une situation de proportionnalité peut être représentée dans un tableau de proportionnalité.

Méthode
Identifier une situation de proportionnalité : Vérifiez si les grandeurs sont liées par une multiplication constante. Par exemple, le prix total est proportionnel à la quantité achetée (si le prix unitaire est fixe).
Organiser les données dans un tableau : Placez les valeurs des deux grandeurs sur deux lignes différentes.
Calculer le coefficient de proportionnalité (si possible) : Divisez une valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première grandeur. Ce coefficient permet de passer de la première ligne à la deuxième en multipliant, et de la deuxième à la première en divisant.
Utiliser le produit en croix : Si vous avez trois valeurs connues ($a$, $b$, $c$) dans un tableau de proportionnalité et une valeur inconnue ($x$), disposées comme suit :\n$\begin{pmatrix} a & c \\ b & x \end{pmatrix}$\nAlors $a \times x = b \times c$. On en déduit $x = \frac{b \times c}{a}$. Cette méthode est très utile pour trouver une valeur manquante.

Exemple
Un maraîcher vend des fraises. 2 kg de fraises coûtent 7,50 €. Combien coûteront 3,5 kg de ces mêmes fraises ?

Corrigé pas à pas
Il s'agit d'une situation de proportionnalité car le prix est proportionnel à la masse de fraises achetée.
Nous pouvons organiser les données dans un tableau :

| Masse de fraises (en kg) | 2 | 3,5 |
|-------------------------|-------|-----|
| Prix (en €) | 7,50 | $x$ |

Nous allons utiliser le produit en croix pour trouver $x$ :
$2 \times x = 7,50 \times 3,5$
$2x = 26,25$
$x = \frac{26,25}{2}$
$x = 13,125$

Le prix est généralement arrondi au centime près. Donc, 3,5 kg de fraises coûteront 13,13 €.

Erreurs fréquentes
Confondre une situation de proportionnalité avec une situation qui n'en est pas une (par exemple, l'âge et la taille d'une personne ne sont pas proportionnels).
Oublier d'utiliser les mêmes unités pour les grandeurs comparées avant d'effectuer les calculs.
Inverser les termes lors de l'application du produit en croix, ce qui conduit à un résultat incorrect.

2. Les pourcentages

Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction de 100. Par exemple, 25\% signifie 25 sur 100, soit la fraction $\frac{25}{100}$ ou le nombre décimal 0,25. Les pourcentages sont couramment utilisés pour exprimer des réductions, des augmentations, des parts ou des proportions.

Méthode
Calculer un pourcentage d'une quantité : Pour calculer $t\%$ d'une quantité $Q$, on multiplie $Q$ par la fraction $\frac{t}{100}$ (ou par le nombre décimal correspondant). \nFormule : $t\% \text{ de } Q = \frac{t}{100} \times Q$
Appliquer une augmentation en pourcentage : Pour augmenter une quantité $Q$ de $t\%$, on multiplie $Q$ par le coefficient multiplicateur $(1 + \frac{t}{100})$. \nFormule : $Q_{\text{après augmentation}} = Q \times (1 + \frac{t}{100})$
Appliquer une réduction en pourcentage : Pour réduire une quantité $Q$ de $t\%$, on multiplie $Q$ par le coefficient multiplicateur $(1 - \frac{t}{100})$. \nFormule : $Q_{\text{après réduction}} = Q \times (1 - \frac{t}{100})$

Exemple
Un pantalon coûte 60 €. Pendant les soldes, il bénéficie d'une réduction de 30\%. Quel est son nouveau prix ?

Corrigé pas à pas
Nous devons appliquer une réduction de 30\% au prix initial de 60 €.

Méthode 1 : Calculer la réduction puis soustraire
Montant de la réduction : $30\% \text{ de } 60 \text{ €} = \frac{30}{100} \times 60 = 0,30 \times 60 = 18 \text{ €}$.
Nouveau prix : $60 \text{ €} - 18 \text{ €} = 42 \text{ €}$.

Méthode 2 : Utiliser le coefficient multiplicateur
Le coefficient multiplicateur pour une réduction de 30\% est $(1 - \frac{30}{100}) = (1 - 0,30) = 0,70$.
Nouveau prix : $60 \text{ €} \times 0,70 = 42 \text{ €}$.

Le nouveau prix du pantalon est 42 €.

Erreurs fréquentes
Ajouter ou soustraire directement le pourcentage sans le convertir en valeur numérique (par exemple, penser que 60 € - 30\% = 30 €).
Confondre augmentation et réduction, ou utiliser le mauvais signe dans le coefficient multiplicateur (par exemple, faire $1 - \frac{t}{100}$ pour une augmentation).

3. Les échelles

L'échelle d'un plan, d'une carte ou d'une maquette est le coefficient de proportionnalité entre les distances mesurées sur la représentation (plan, carte) et les distances réelles correspondantes. Elle est souvent exprimée sous la forme d'une fraction $\frac{1}{N}$ ou d'un ratio $1:N$. Une échelle de $1:N$ signifie que 1 unité sur le plan représente $N$ unités dans la réalité. Par exemple, une échelle de $1:100$ signifie que 1 cm sur le plan représente 100 cm (soit 1 mètre) dans la réalité.

Méthode
Comprendre la relation : L'échelle est une proportionnalité. On peut la représenter par la formule : $\text{Échelle} = \frac{\text{Distance sur le plan}}{\text{Distance réelle}}$.
Assurer la cohérence des unités : Avant tout calcul, il est crucial de convertir toutes les mesures dans la même unité (par exemple, tout en centimètres ou tout en mètres).
Calculer une distance réelle : Si vous connaissez l'échelle et une distance sur le plan, vous pouvez trouver la distance réelle en multipliant la distance sur le plan par le dénominateur de l'échelle ($N$). \nFormule : $\text{Distance réelle} = \text{Distance sur le plan} \times N$
Calculer une distance sur le plan : Si vous connaissez l'échelle et une distance réelle, vous pouvez trouver la distance sur le plan en divisant la distance réelle par le dénominateur de l'échelle ($N$). \nFormule : $\text{Distance sur le plan} = \frac{\text{Distance réelle}}{N}$
Déterminer l'échelle : Si vous connaissez une distance sur le plan et la distance réelle correspondante (dans la même unité), vous pouvez calculer l'échelle en divisant la distance sur le plan par la distance réelle et en simplifiant la fraction pour obtenir une forme $\frac{1}{N}$. \nFormule : $\text{Échelle} = \frac{\text{Distance sur le plan}}{\text{Distance réelle}}$

Exemple
Une carte a une échelle de $1:50000$. Une ville A et une ville B sont distantes de 8 cm sur cette carte. Quelle est la distance réelle entre ces deux villes, exprimée en kilomètres ?

Corrigé pas à pas
L'échelle $1:50000$ signifie que 1 cm sur la carte représente 50000 cm dans la réalité.

1. Calcul de la distance réelle en cm :
Distance réelle (en cm) = Distance sur la carte (en cm) $\times$ Dénominateur de l'échelle
Distance réelle (en cm) = $8 \text{ cm} \times 50000 = 400000 \text{ cm}$.

2. Conversion de la distance réelle en km :
Nous savons que $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$ et $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$.
$400000 \text{ cm} = \frac{400000}{100} \text{ m} = 4000 \text{ m}$.
$4000 \text{ m} = \frac{4000}{1000} \text{ km} = 4 \text{ km}$.

La distance réelle entre la ville A et la ville B est de 4 km.

Erreurs fréquentes
Oublier de convertir les unités pour que la distance sur le plan et la distance réelle soient exprimées dans la même unité avant d'appliquer l'échelle.
Inverser la distance sur le plan et la distance réelle dans les calculs (multiplier au lieu de diviser, ou inversement).
Ne pas comprendre que l'échelle est un rapport sans unité, et que les unités doivent être gérées séparément.

Utiliser le produit en croix pour la proportionnalité

1. Étape 1 : Organiser les données. Disposez les quatre valeurs (trois connues, une inconnue) dans un tableau de proportionnalité de la manière suivante :\n$\begin{pmatrix} a & c \\ b & x \end{pmatrix}$
2. Étape 2 : Appliquer la règle du produit en croix. Multipliez les valeurs en diagonale : $a \times x = b \times c$.
3. Étape 3 : Résoudre l'équation. Isolez l'inconnue $x$ en divisant le produit des deux valeurs connues en diagonale par la valeur restante : $x = \frac{b \times c}{a}$.

Exemple
Si 5 stylos coûtent 8 €, combien coûtent 12 stylos ?

Corrigé pas à pas
1. Organiser les données :
| Nombre de stylos | 5 | 12 |
|------------------|---|----|
| Prix (en €) | 8 | $x$ |

2. Appliquer la règle du produit en croix :
$5 \times x = 8 \times 12$

3. Résoudre l'équation :
$5x = 96$
$x = \frac{96}{5}$
$x = 19,2$

Donc, 12 stylos coûtent 19,20 €.

Appliquer un pourcentage de réduction ou d'augmentation

1. Étape 1 : Identifier le type de variation. Déterminez s'il s'agit d'une augmentation ou d'une réduction et quel est le pourcentage $t$.
2. Étape 2 : Calculer le coefficient multiplicateur.
   • Pour une augmentation de $t\%$ : le coefficient est $(1 + \frac{t}{100})$.
   • Pour une réduction de $t\%$ : le coefficient est $(1 - \frac{t}{100})$.
3. Étape 3 : Appliquer le coefficient. Multipliez la quantité initiale $Q$ par le coefficient multiplicateur trouvé pour obtenir la nouvelle quantité.

Exemple
Un loyer de 750 € subit une augmentation de 2\%. Quel est le nouveau loyer ?

Corrigé pas à pas
1. Identifier le type de variation : Il s'agit d'une augmentation de 2\%.

2. Calculer le coefficient multiplicateur :
Coefficient multiplicateur $= (1 + \frac{2}{100}) = (1 + 0,02) = 1,02$.

3. Appliquer le coefficient :
Nouveau loyer $= 750 \text{ €} \times 1,02 = 765 \text{ €}$.

Le nouveau loyer est de 765 €.

Calculer avec une échelle

1. Étape 1 : Écrire l'échelle sous forme de fraction. Une échelle $1:N$ s'écrit $\frac{1}{N}$.
2. Étape 2 : Convertir les unités si nécessaire. Assurez-vous que la distance sur le plan et la distance réelle sont (ou seront) exprimées dans la même unité. C'est souvent l'étape la plus importante.
3. Étape 3 : Effectuer le calcul.
   • Pour trouver la distance réelle : $\text{Distance réelle} = \text{Distance sur le plan} \times N$.
   • Pour trouver la distance sur le plan : $\text{Distance sur le plan} = \frac{\text{Distance réelle}}{N}$.
4. Étape 4 : Convertir le résultat dans l'unité demandée.

Exemple
Un architecte réalise une maquette à l'échelle $1:50$. La hauteur réelle d'un bâtiment est de 15 mètres. Quelle sera sa hauteur sur la maquette, en centimètres ?

Corrigé pas à pas
1. Écrire l'échelle : L'échelle est $\frac{1}{50}$.

2. Convertir les unités : La hauteur réelle est en mètres, le résultat est attendu en centimètres. Convertissons la hauteur réelle en centimètres d'abord : $15 \text{ m} = 15 \times 100 \text{ cm} = 1500 \text{ cm}$.

3. Effectuer le calcul (distance sur le plan) :
Hauteur sur la maquette $= \frac{\text{Hauteur réelle}}{N} = \frac{1500 \text{ cm}}{50} = 30 \text{ cm}$.

4. Le résultat est déjà dans l'unité demandée.

La hauteur du bâtiment sur la maquette sera de 30 cm.

Proportionnalité et produit en croix

• Pour un tableau de proportionnalité $\begin{pmatrix} a & c \\ b & x \end{pmatrix}$, le produit en croix donne : $a \times x = b \times c$, donc $x = \frac{b \times c}{a}$.

Calculs de pourcentages

• Calculer $t\%$ d'une quantité $Q$ : $\frac{t}{100} \times Q$.
• Augmenter une quantité $Q$ de $t\%$ : $Q \times (1 + \frac{t}{100})$.
• Réduire une quantité $Q$ de $t\%$ : $Q \times (1 - \frac{t}{100})$.

Échelles

• L'échelle est un rapport : $\text{Échelle} = \frac{\text{Distance sur le plan}}{\text{Distance réelle}}$.
• Pour une échelle $1:N$ :\n* $\text{Distance réelle} = \text{Distance sur le plan} \times N$
  • $\text{Distance sur le plan} = \frac{\text{Distance réelle}}{N}$
• Attention aux conversions d'unités ! (ex: 1 m = 100 cm, 1 km = 1000 m).