Grandeurs composées et conversions d'unités (vitesse, débit)

1. Qu'est-ce qu'une grandeur composée ?

Une grandeur composée est une grandeur obtenue en combinant (par multiplication ou division) deux ou plusieurs grandeurs simples. Elle permet de décrire des phénomènes qui impliquent plusieurs types de mesures simultanément. Les unités d'une grandeur composée sont formées par la combinaison des unités des grandeurs simples qui la constituent.

Méthode
Identifier les grandeurs simples qui sont combinées.
Déterminer l'opération (multiplication ou division) qui les relie.
Exprimer l'unité de la grandeur composée en combinant les unités des grandeurs simples. Par exemple, si une grandeur est le rapport d'une distance (en kilomètres) par un temps (en heures), son unité sera des kilomètres par heure (km/h).

Exemple
Donnez l'unité de la vitesse si la distance est en mètres (m) et le temps en secondes (s).

Corrigé pas à pas
La vitesse est le rapport d'une distance par un temps. Si la distance est en mètres (m) et le temps en secondes (s), l'unité de la vitesse est le mètre par seconde (m/s).

Erreurs fréquentes
Confondre les unités de grandeurs simples entre elles (par exemple, utiliser des mètres pour un temps).
Oublier de préciser l'unité de la grandeur composée après un calcul.

2. La vitesse moyenne

La vitesse moyenne est une grandeur composée qui exprime la distance parcourue par unité de temps. Elle se calcule en divisant la distance parcourue par la durée du parcours. Son unité usuelle est le kilomètre par heure (km/h) ou le mètre par seconde (m/s).

Méthode
Formule de base : La vitesse $v$ est égale à la distance $d$ divisée par le temps $t$ : $$v = \frac{d}{t}$$
Calculer la distance : La distance $d$ est égale à la vitesse $v$ multipliée par le temps $t$ : $$d = v \times t$$
Calculer le temps : Le temps $t$ est égal à la distance $d$ divisée par la vitesse $v$ : $$t = \frac{d}{v}$$
Avant tout calcul, assurez-vous que les unités de distance et de temps sont cohérentes (par exemple, si la vitesse est en km/h, la distance doit être en km et le temps en h).

Exemple
Un cycliste parcourt 45 km en 2 heures et 30 minutes. Calculez sa vitesse moyenne en km/h.

Corrigé pas à pas
1. Convertir le temps en heures : 2 heures et 30 minutes correspondent à $2 + \frac{30}{60}$ heures, soit $2.5$ heures.\n2. Appliquer la formule de la vitesse : $v = \frac{d}{t}$.\n$v = \frac{45 \text{ km}}{2.5 \text{ h}}$\n$v = 18 \text{ km/h}$\nLa vitesse moyenne du cycliste est de $18 \text{ km/h}$.

Erreurs fréquentes
Ne pas convertir les unités de temps ou de distance avant le calcul (par exemple, laisser les minutes dans le calcul avec des km/h).
Inverser la formule (calculer $t/d$ au lieu de $d/t$ pour la vitesse).

3. Le débit et les conversions d'unités

Le débit est une grandeur composée qui mesure le volume de fluide (liquide ou gaz) qui s'écoule par unité de temps. Il se calcule en divisant le volume écoulé par la durée de l'écoulement. Ses unités usuelles sont le litre par minute (L/min), le litre par seconde (L/s) ou le mètre cube par heure (m$^3$/h). L'unité de volume du Système International (SI) est le mètre cube (m$^3$).\n\nLes conversions d'unités sont essentielles pour effectuer des calculs corrects lorsque les grandeurs ne sont pas exprimées dans les mêmes unités. Pour une grandeur composée, il faut convertir chaque grandeur simple qui la compose.

Méthode
Formule de base : Le débit $D$ est égal au volume $V$ divisé par le temps $t$ : $$D = \frac{V}{t}$$
Calculer le volume : Le volume $V$ est égal au débit $D$ multiplié par le temps $t$ : $$V = D \times t$$
Calculer le temps : Le temps $t$ est égal au volume $V$ divisé par le débit $D$ : $$t = \frac{V}{D}$$
Méthode de conversion pour les grandeurs composées :
1. Identifiez les unités de départ et les unités d'arrivée souhaitées pour chaque grandeur simple (distance, temps, volume...).
2. Convertissez chaque grandeur simple séparément en utilisant les facteurs de conversion appropriés (ex: $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$, $1 \text{ h} = 3600 \text{ s}$, $1 \text{ L} = 0.001 \text{ m}^3$).
3. Effectuez le calcul avec les unités converties, ou combinez les facteurs de conversion pour obtenir un facteur de conversion direct pour la grandeur composée.
Exemple de conversion km/h en m/s : Pour convertir des km/h en m/s, on sait que $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ et $1 \text{ h} = 3600 \text{ s}$. Donc : $$1 \text{ km/h} = \frac{1 \text{ km}}{1 \text{ h}} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{10}{36} \text{ m/s} = \frac{5}{18} \text{ m/s}$$ Pour convertir une vitesse en km/h en m/s, il faut donc diviser par 3.6 (ou multiplier par $\frac{5}{18}$).
Exemple de conversion m/s en km/h : Inversement, pour convertir des m/s en km/h, il faut multiplier par 3.6 (ou multiplier par $\frac{18}{5}$).

Exemple
Un robinet a un débit de $12 \text{ L/min}$. Exprimez ce débit en L/s puis en m$^3$/h.

Corrigé pas à pas
1. Conversion en L/s :\nIl y a 60 secondes dans 1 minute. Donc, pour convertir des L/min en L/s, on divise par 60.\n$D = \frac{12 \text{ L}}{1 \text{ min}} = \frac{12 \text{ L}}{60 \text{ s}} = 0.2 \text{ L/s}$\n\n2. Conversion en m$^3$/h :\nOn sait que $1 \text{ L} = 0.001 \text{ m}^3$ et $1 \text{ min} = \frac{1}{60} \text{ h}$.\n$D = 12 \text{ L/min} = \frac{12 \times 0.001 \text{ m}^3}{\frac{1}{60} \text{ h}}$\n$D = 12 \times 0.001 \times 60 \text{ m}^3\text{/h}$\n$D = 0.72 \text{ m}^3\text{/h}$\nLe débit est de $0.2 \text{ L/s}$ ou $0.72 \text{ m}^3\text{/h}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de convertir une des unités composantes.
Utiliser le mauvais facteur de conversion (par exemple, multiplier au lieu de diviser).
Confondre les unités de volume (L, dm$^3$, m$^3$). Rappel : $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$ et $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}$.

Calculer une vitesse, une distance ou un temps

1. 1. Identifiez les deux grandeurs connues (vitesse, distance ou temps) et l'unité dans laquelle la grandeur inconnue doit être exprimée.
2. 2. Assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes. Si nécessaire, convertissez les unités pour qu'elles correspondent (par exemple, si la vitesse est en km/h, la distance doit être en km et le temps en heures).
3. 3. Utilisez la formule appropriée :
4. - Pour la vitesse : $v = \frac{d}{t}$
5. - Pour la distance : $d = v \times t$
6. - Pour le temps : $t = \frac{d}{v}$
7. 4. Effectuez le calcul et n'oubliez pas d'indiquer l'unité du résultat.

Exemple
Un coureur parcourt $1500 \text{ m}$ en $5 \text{ min}$. Quelle est sa vitesse en m/s ?

Corrigé pas à pas
1. Grandeurs connues : distance $d = 1500 \text{ m}$, temps $t = 5 \text{ min}$. Vitesse $v$ est inconnue, doit être en m/s.\n2. Conversion des unités : La distance est déjà en mètres. Le temps doit être converti en secondes : $5 \text{ min} = 5 \times 60 \text{ s} = 300 \text{ s}$.\n3. Formule : $v = \frac{d}{t}$.\n4. Calcul : $v = \frac{1500 \text{ m}}{300 \text{ s}} = 5 \text{ m/s}$.\nLa vitesse du coureur est de $5 \text{ m/s}$.

Convertir des unités de vitesse (km/h et m/s)

1. 1. Pour convertir une vitesse de km/h en m/s :
2. - Multipliez la vitesse par 1000 (pour convertir les km en m).
3. - Divisez le résultat par 3600 (pour convertir les heures en secondes).
4. - Cela revient à diviser directement la vitesse par 3.6 (car $1000/3600 = 10/36 = 5/18 \approx 1/3.6$).
5. 2. Pour convertir une vitesse de m/s en km/h :
6. - Multipliez la vitesse par 3600 (pour convertir les secondes en heures).
7. - Divisez le résultat par 1000 (pour convertir les mètres en kilomètres).
8. - Cela revient à multiplier directement la vitesse par 3.6.

Exemple
Convertissez $72 \text{ km/h}$ en m/s, puis $25 \text{ m/s}$ en km/h.

Corrigé pas à pas
1. $72 \text{ km/h}$ en m/s :\nOn divise par 3.6 : $72 \div 3.6 = 20$. Donc $72 \text{ km/h} = 20 \text{ m/s}$.\n\n2. $25 \text{ m/s}$ en km/h :\nOn multiplie par 3.6 : $25 \times 3.6 = 90$. Donc $25 \text{ m/s} = 90 \text{ km/h}$.

Calculer un débit et convertir des unités de volume/temps

1. 1. Identifiez les grandeurs connues (débit, volume ou temps) et l'unité dans laquelle la grandeur inconnue doit être exprimée.
2. 2. Assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes. Convertissez les unités de volume et de temps si nécessaire (rappel : $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L} = 1000 \text{ dm}^3$, $1 \text{ h} = 60 \text{ min} = 3600 \text{ s}$).
3. 3. Utilisez la formule appropriée :
4. - Pour le débit : $D = \frac{V}{t}$
5. - Pour le volume : $V = D \times t$
6. - Pour le temps : $t = \frac{V}{D}$
7. 4. Effectuez le calcul et indiquez l'unité du résultat.
8. 5. Pour convertir une unité de débit (par exemple, L/min en m$^3$/h) : convertissez d'abord le volume (L en m$^3$) puis le temps (min en h) avant de refaire le rapport.

Exemple
Un arrosoir de $10 \text{ L}$ est rempli en $25 \text{ s}$. Quel est le débit en L/s ? Et en m$^3$/h ?

Corrigé pas à pas
1. Débit en L/s :\nVolume $V = 10 \text{ L}$, temps $t = 25 \text{ s}$.\n$D = \frac{V}{t} = \frac{10 \text{ L}}{25 \text{ s}} = 0.4 \text{ L/s}$.\n\n2. Débit en m$^3$/h :\nConvertir $10 \text{ L}$ en m$^3$ : $10 \text{ L} = 10 \times 0.001 \text{ m}^3 = 0.01 \text{ m}^3$.\nConvertir $25 \text{ s}$ en heures : $25 \text{ s} = \frac{25}{3600} \text{ h} = \frac{5}{720} \text{ h}$.\n$D = \frac{0.01 \text{ m}^3}{\frac{5}{720} \text{ h}} = 0.01 \times \frac{720}{5} \text{ m}^3\text{/h} = 0.01 \times 144 \text{ m}^3\text{/h} = 1.44 \text{ m}^3\text{/h}$.\nLe débit est de $0.4 \text{ L/s}$ ou $1.44 \text{ m}^3\text{/h}$.

Formules des grandeurs composées

• Vitesse moyenne : $v = \frac{d}{t}$
• Distance : $d = v \times t$
• Temps : $t = \frac{d}{v}$
• Débit : $D = \frac{V}{t}$
• Volume : $V = D \times t$
• Temps : $t = \frac{V}{D}$

Conversions d'unités clés

• Temps : $1 \text{ min} = 60 \text{ s}$, $1 \text{ h} = 60 \text{ min} = 3600 \text{ s}$
• Distance : $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$
• Volume : $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$, $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}$
• Vitesse :
• - De km/h en m/s : diviser par 3.6 (ou multiplier par $\frac{5}{18}$)
• - De m/s en km/h : multiplier par 3.6 (ou multiplier par $\frac{18}{5}$)