Statistiques : moyenne, médiane et étendue

1. La moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est l'indicateur le plus couramment utilisé pour résumer une série de données. Elle représente la valeur que chaque élément aurait si toutes les valeurs étaient réparties de manière égale. Il existe deux types de moyennes que tu dois connaître : la moyenne simple et la moyenne pondérée.

Méthode
Pour une moyenne simple :
1. Additionner toutes les valeurs de la série statistique.
2. Diviser cette somme par le nombre total de valeurs dans la série.
Pour une moyenne pondérée (avec des effectifs ou des coefficients) :
1. Multiplier chaque valeur par son effectif (ou son coefficient).
2. Additionner tous les produits obtenus à l'étape 1.
3. Additionner tous les effectifs (ou coefficients).
4. Diviser la somme des produits (étape 2) par la somme des effectifs (étape 3).

Exemple
Un élève a obtenu les notes suivantes en mathématiques lors de ses 5 dernières évaluations : 12, 8, 15, 10, 13. Calcule sa moyenne simple. \nPlus tard, il a eu une autre évaluation notée 14, mais avec un coefficient 2, tandis que les autres notes avaient un coefficient 1. Calcule sa moyenne pondérée avec cette nouvelle information.

Corrigé pas à pas
Calcul de la moyenne simple :\n1. On additionne toutes les notes : $12 + 8 + 15 + 10 + 13 = 58$.\n2. Il y a 5 notes. On divise la somme par le nombre de notes : $\frac{58}{5} = 11,6$.\nLa moyenne simple de l'élève est de 11,6 sur 20.\n\nCalcul de la moyenne pondérée :\nLes notes sont 12, 8, 15, 10, 13 (coefficient 1 pour chacune) et 14 (coefficient 2).\n1. On multiplie chaque note par son coefficient :\n $12 \times 1 = 12$\n $8 \times 1 = 8$\n $15 \times 1 = 15$\n $10 \times 1 = 10$\n $13 \times 1 = 13$\n $14 \times 2 = 28$\n2. On additionne tous les produits : $12 + 8 + 15 + 10 + 13 + 28 = 86$.\n3. On additionne tous les coefficients : $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 7$.\n4. On divise la somme des produits par la somme des coefficients : $\frac{86}{7} \approx 12,29$.\nLa moyenne pondérée de l'élève est d'environ 12,29 sur 20.

Erreurs fréquentes
Oublier de diviser la somme des valeurs par le nombre total de valeurs.
Pour une moyenne pondérée, ne pas multiplier chaque valeur par son effectif ou son coefficient.
Pour une moyenne pondérée, diviser par le nombre de valeurs différentes au lieu de la somme des effectifs ou coefficients.

2. La médiane

La médiane est la valeur qui partage une série statistique ordonnée en deux groupes de même effectif. Cela signifie qu'au moins 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins 50% sont supérieures ou égales à la médiane. Elle est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.

Méthode
1. Ordonner la série de valeurs dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand). C'est une étape cruciale !
2. Compter le nombre total de valeurs dans la série. Appelons ce nombre $N$.
3. Déterminer la médiane en fonction de $N$ :
• Si $N$ est impair : La médiane est la valeur située au rang $\frac{N+1}{2}$. Il n'y a qu'une seule valeur centrale.
• Si $N$ est pair : Il y a deux valeurs centrales. La médiane est la moyenne de ces deux valeurs, situées aux rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$. Toute valeur comprise entre ces deux valeurs centrales (incluses) peut être considérée comme une médiane, mais par convention, on utilise souvent la moyenne.

Exemple
Détermine la médiane des séries suivantes :\nSérie A : 10, 12, 8, 15, 13, 11, 9\nSérie B : 20, 18, 22, 16, 24, 19

Corrigé pas à pas
Pour la Série A : 10, 12, 8, 15, 13, 11, 9\n1. On ordonne la série : 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15.\n2. Le nombre de valeurs est $N = 7$ (impair).\n3. La médiane est la valeur au rang $\frac{7+1}{2} = \frac{8}{2} = 4$. La 4e valeur de la série ordonnée est 11.\nLa médiane de la Série A est 11.\n\nPour la Série B : 20, 18, 22, 16, 24, 19\n1. On ordonne la série : 16, 18, 19, 20, 22, 24.\n2. Le nombre de valeurs est $N = 6$ (pair).\n3. Les deux valeurs centrales sont aux rangs $\frac{6}{2} = 3$ et $\frac{6}{2}+1 = 4$. Ce sont 19 et 20.\n La médiane est la moyenne de ces deux valeurs : $\frac{19+20}{2} = \frac{39}{2} = 19,5$.\nLa médiane de la Série B est 19,5.

Erreurs fréquentes
Oublier d'ordonner la série de valeurs avant de chercher la médiane.
Se tromper dans le calcul du rang de la médiane, surtout pour les séries paires.
Pour une série paire, ne pas calculer la moyenne des deux valeurs centrales et choisir l'une d'elles arbitrairement.

3. L'étendue

L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de cette série. Elle donne une idée de la dispersion des données, c'est-à-dire de l'écart entre les valeurs extrêmes.

Méthode
1. Identifier la plus grande valeur de la série statistique.
2. Identifier la plus petite valeur de la série statistique.
3. Calculer la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.

Exemple
Les températures maximales relevées en degrés Celsius (\(^{\circ}\text{C}\)) sur une semaine sont : 18, 22, 19, 25, 20, 21, 23. Calcule l'étendue de cette série de températures.

Corrigé pas à pas
1. La plus grande valeur de la série est 25 \(^{\circ}\text{C}\).\n2. La plus petite valeur de la série est 18 \(^{\circ}\text{C}\).\n3. L'étendue est la différence : $25 - 18 = 7$ \(^{\circ}\text{C}\).\nL'étendue de cette série de températures est de 7 \(^{\circ}\text{C}\).

Erreurs fréquentes
Inverser la plus grande et la plus petite valeur lors de la soustraction, ce qui donnerait un résultat négatif (l'étendue est toujours positive ou nulle).
Confondre l'étendue avec la moyenne ou la médiane.

Calculer une moyenne arithmétique simple

1. 1. Identifie toutes les valeurs de la série statistique.
2. 2. Additionne toutes ces valeurs.
3. 3. Divise la somme obtenue par le nombre total de valeurs.

Exemple
Calcule la moyenne des notes suivantes : 10, 14, 9, 17.

Corrigé pas à pas
1. Les valeurs sont 10, 14, 9, 17.\n2. Somme des valeurs : $10 + 14 + 9 + 17 = 50$.\n3. Il y a 4 valeurs. Moyenne : $\frac{50}{4} = 12,5$.\nLa moyenne est 12,5.

Calculer une moyenne arithmétique pondérée

1. 1. Pour chaque valeur, multiplie-la par son effectif (ou son coefficient).
2. 2. Additionne tous les produits obtenus à l'étape 1.
3. 3. Additionne tous les effectifs (ou coefficients).
4. 4. Divise la somme des produits (étape 2) par la somme des effectifs (étape 3).

Exemple
Un sondage a donné les résultats suivants pour le nombre d'heures de sport par semaine :\n- 0 heure : 5 personnes\n- 1 heure : 10 personnes\n- 2 heures : 8 personnes\n- 3 heures : 2 personnes\nCalcule le nombre moyen d'heures de sport par semaine.

Corrigé pas à pas
1. Produits valeur $\times$ effectif :\n $0 \times 5 = 0$\n $1 \times 10 = 10$\n $2 \times 8 = 16$\n $3 \times 2 = 6$\n2. Somme des produits : $0 + 10 + 16 + 6 = 32$.\n3. Somme des effectifs : $5 + 10 + 8 + 2 = 25$.\n4. Moyenne pondérée : $\frac{32}{25} = 1,28$.\nLe nombre moyen d'heures de sport par semaine est de 1,28 heures.

Déterminer la médiane d'une série statistique

1. 1. Ordonne toutes les valeurs de la série du plus petit au plus grand.
2. 2. Compte le nombre total de valeurs ($N$).
3. 3. Si $N$ est impair, la médiane est la valeur au rang $\frac{N+1}{2}$.
4. 4. Si $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, situées aux rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$.

Exemple
Trouve la médiane des séries :\nSérie A : 7, 3, 10, 5, 8\nSérie B : 12, 15, 10, 18, 11, 13

Corrigé pas à pas
Série A :\n1. Ordonnée : 3, 5, 7, 8, 10.\n2. $N=5$ (impair).\n3. Rang de la médiane : $\frac{5+1}{2} = 3$. La 3e valeur est 7.\nLa médiane de la Série A est 7.\n\nSérie B :\n1. Ordonnée : 10, 11, 12, 13, 15, 18.\n2. $N=6$ (pair).\n3. Rangs des valeurs centrales : $\frac{6}{2} = 3$ et $\frac{6}{2}+1 = 4$. Les valeurs sont 12 et 13.\n4. Moyenne des valeurs centrales : $\frac{12+13}{2} = 12,5$.\nLa médiane de la Série B est 12,5.

Calculer l'étendue d'une série statistique

1. 1. Identifie la plus grande valeur de la série.
2. 2. Identifie la plus petite valeur de la série.
3. 3. Calcule la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.

Exemple
Calcule l'étendue de la série de températures suivantes (en \(^{\circ}\text{C}\)) : 5, 12, 8, 15, 7.

Corrigé pas à pas
1. La plus grande valeur est 15 \(^{\circ}\text{C}\).\n2. La plus petite valeur est 5 \(^{\circ}\text{C}\).\n3. Étendue : $15 - 5 = 10$ \(^{\circ}\text{C}\).\nL'étendue de cette série est 10 \(^{\circ}\text{C}\).

La moyenne arithmétique

• Moyenne simple : $\text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{Nombre de valeurs}}$
• Moyenne pondérée : $\text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des (valeurs} \times \text{effectifs)}}{\text{Somme des effectifs}}$

La médiane

• La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif.
• Méthode :
• 1. Ordonner la série.
• 2. Si $N$ (nombre de valeurs) est impair, la médiane est la valeur au rang $\frac{N+1}{2}$.
• 3. Si $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales aux rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$.

L'étendue

• L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.
• $\text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale}$