Organisation et gestion de données : tableaux et diagrammes

Lire et organiser des données dans un tableau

Une donnée est une information collectée lors d'une observation, d'une enquête ou d'une expérience. Un tableau à simple entrée liste une seule variable selon plusieurs modalités. Un tableau à double entrée croise deux variables différentes. L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série.

Méthode
Identifier les grandeurs mesurées ou observées en lisant attentivement les en-têtes de lignes et de colonnes.
Repérer la case à l'intersection d'une ligne et d'une colonne pour un tableau à double entrée.
Calculer l'effectif total en effectuant la somme de tous les effectifs individuels : $N = n_1 + n_2 + \dots + n_k$.

Exemple
Dans une classe de 25 élèves, on a relevé le moyen de transport utilisé pour venir au collège :
- À pied : 8 élèves
- À vélo : 5 élèves
- En bus : 10 élèves
- En voiture : 2 élèves

Présenter ces données dans un tableau et vérifier l'effectif total.

Corrigé pas à pas
On dresse un tableau à simple entrée :

| Moyen de transport | À pied | À vélo | En bus | En voiture | Total |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Effectif | 8 | 5 | 10 | 2 | 25 |

Calcul de l'effectif total : $8 + 5 + 10 + 2 = 25$.
L'effectif total correspond bien aux 25 élèves de la classe.

Erreurs fréquentes
Confondre la valeur d'une donnée (ex. la note 12) avec son effectif (le nombre d'élèves ayant obtenu 12).
Oublier de vérifier que la somme des effectifs est égale au nombre total d'individus étudiés.

Calculer une fréquence et un pourcentage

La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total : $$\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}}$$
Une fréquence est toujours comprise entre $0$ et $1$. Elle s'exprime souvent sous la forme d'un nombre décimal, d'une fraction ou d'un pourcentage (en multipliant par $100$).

Méthode
Repérer l'effectif $n$ de la valeur choisie et l'effectif total $N$.
Calculer le quotient $f = \frac{n}{N}$.
Pour obtenir la fréquence en pourcentage, multiplier $f$ par $100$ : $p = f \times 100\,\%$.
Vérifier que la somme de toutes les fréquences est égale à $1$ (ou $100\,\%$).

Exemple
Dans un club d'échecs de 40 membres, 14 sont des filles. Calculer la fréquence puis le pourcentage de filles dans ce club.

Corrigé pas à pas
1. L'effectif des filles est $n = 14$ et l'effectif total est $N = 40$.
2. On calcule la fréquence sous forme décimale :
$$f = \frac{14}{40} = \frac{7}{20} = 0{,}35$$
3. On convertit en pourcentage :
$$p = 0{,}35 \times 100 = 35\,\%$$
Il y a $35\,\%$ de filles dans ce club.

Erreurs fréquentes
Diviser l'effectif total par l'effectif de la valeur au lieu de faire l'inverse.
Oublier le symbole $\%$ ou additionner des effectifs au lieu d'additionner des pourcentages.

Représenter des données : diagrammes en barres et circulaires

Un diagramme en barres (ou en bâtons) représente les données par des rectangles dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif. Un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) représente les données sous forme de secteurs d'un disque, où la mesure de chaque angle est proportionnelle à l'effectif (le disque entier représente $360^\circ$ pour un effectif total de $100\,\%$).

Méthode
Pour un diagramme en barres : graduer régulièrement l'axe vertical des effectifs et tracer des barres de même largeur.
Pour un diagramme circulaire : calculer l'angle $\alpha$ de chaque modalité grâce au tableau de proportionnalité avec la formule $\alpha = \text{fréquence} \times 360^\circ = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360^\circ$.
Tracer chaque secteur à l'aide du rapporteur en partant d'un rayon de référence.

Exemple
Dans un groupe de 20 élèves, 5 jouent au tennis, 9 au football et 6 au handball. Calculer l'angle de chaque secteur pour construire un diagramme circulaire.

Corrigé pas à pas
L'effectif total est de 20 élèves, ce qui correspond à un tour complet de $360^\circ$.
Le coefficient de proportionnalité pour passer de l'effectif à l'angle en degrés est : $\frac{360^\circ}{20} = 18^\circ$ par élève.

On calcule chaque angle :
- Tennis : $5 \times 18^\circ = 90^\circ$
- Football : $9 \times 18^\circ = 162^\circ$
- Handball : $6 \times 18^\circ = 108^\circ$

Vérification de la somme des angles : $90^\circ + 162^\circ + 108^\circ = 360^\circ$.

Erreurs fréquentes
Confondre l'angle total d'un diagramme circulaire ($360^\circ$) avec celui d'un diagramme semi-circulaire ($180^\circ$).
Ne pas respecter une échelle régulière sur l'axe vertical d'un diagramme en barres.

Construire un tableau de fréquences et d'angles pour un diagramme circulaire

1. Étape 1 : Calculer l'effectif total en additionnant tous les effectifs de la série.
2. Étape 2 : Ajouter une ligne « Fréquence » en divisant chaque effectif par l'effectif total.
3. Étape 3 : Ajouter une ligne « Angle (en degrés) » en multipliant chaque fréquence par $360^\circ$ (ou en utilisant le coefficient $\frac{360}{\text{effectif total}}$).
4. Étape 4 : Vérifier que la somme des angles obtenus vaut exactement $360^\circ$.

Exemple
Une enquête sur 50 familles donne les choix de vacances suivants : Mer (25 familles), Montagne (15 familles), Campagne (10 familles). Compléter le tableau avec les angles pour un diagramme circulaire.

Corrigé pas à pas
Effectif total = $25 + 15 + 10 = 50$.
Coefficient multiplicateur d'angle : $\frac{360^\circ}{50} = 7{,}2^\circ$ par famille.

- Mer : effectif $25$, fréquence $\frac{25}{50} = 0{,}5$, angle $= 25 \times 7{,}2^\circ = 180^\circ$.
- Montagne : effectif $15$, fréquence $\frac{15}{50} = 0{,}3$, angle $= 15 \times 7{,}2^\circ = 108^\circ$.
- Campagne : effectif $10$, fréquence $\frac{10}{50} = 0{,}2$, angle $= 10 \times 7{,}2^\circ = 72^\circ$.

Vérification : $180^\circ + 108^\circ + 72^\circ = 360^\circ$.

Formules indispensables

• $\text{Effectif total } N = n_1 + n_2 + \dots + n_k$
• $\text{Fréquence } f = \frac{\text{Effectif } n}{\text{Effectif total } N}$ avec $0 \le f \le 1$
• $\text{Pourcentage } p = f \times 100\,\%$
• $\text{Angle (diagramme circulaire) } = f \times 360^\circ = \frac{n}{N} \times 360^\circ$
• $\text{Angle (diagramme semi-circulaire) } = f \times 180^\circ = \frac{n}{N} \times 180^\circ$

Propriétés et vérifications

• La somme de toutes les fréquences est toujours égale à $1$.
• La somme de tous les pourcentages est toujours égale à $100\,\%$.
• Dans un diagramme en barres, les hauteurs des barres sont proportionnelles aux effectifs.
• Dans un diagramme circulaire, les mesures des angles des secteurs sont proportionnelles aux effectifs.