Équations différentielles

Introduction aux équations différentielles et résolution de $y' = ay$

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction ainsi que ses dérivées. Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions qui vérifient cette équation sur un intervalle donné. L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre le plus élevé de la dérivée qui y apparaît. Dans cette leçon, nous nous concentrerons sur les équations différentielles du premier ordre, c'est-à-dire celles qui impliquent la fonction et sa dérivée première $y'$.

L'équation différentielle de type $y' = ay$, où $a$ est un nombre réel non nul, est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et sans second membre (ou homogène). Elle modélise des phénomènes où le taux de variation d'une quantité est proportionnel à la quantité elle-même (par exemple, la croissance d'une population ou la décroissance radioactive).

Méthode
Identifier l'équation différentielle comme étant de la forme $y' = ay$.
Reconnaître la valeur du coefficient $a$.
Appliquer la formule de la solution générale : les solutions sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = C e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle arbitraire.
Si une condition initiale est donnée (par exemple, la valeur de la fonction en un point spécifique), utiliser cette condition pour déterminer la valeur de la constante $C$.

Exemple
Résoudre l'équation différentielle $y' = 3y$ et déterminer la solution particulière qui vérifie la condition initiale $y(0) = 2$.

Corrigé pas à pas
1. L'équation est de la forme $y' = ay$ avec $a = 3$.
2. La solution générale de cette équation est donnée par $y(x) = C e^{3x}$, où $C$ est une constante réelle.
3. Pour déterminer la solution particulière, nous utilisons la condition initiale $y(0) = 2$. En substituant $x=0$ et $y(0)=2$ dans la solution générale, nous obtenons :
$2 = C e^{3 \times 0}$
$2 = C e^0$
$2 = C \times 1$
$C = 2$
4. La solution particulière qui vérifie la condition initiale est donc $y(x) = 2e^{3x}$.

Erreurs fréquentes
Oublier la constante d'intégration $C$ dans la solution générale, ce qui conduit à une solution unique au lieu d'une famille de solutions.
Faire des erreurs de calcul lors de la détermination de la constante $C$ à partir d'une condition initiale.
Confondre le coefficient $a$ avec un autre terme ou un signe.

Résolution de l'équation différentielle $y' = ay + b$

L'équation différentielle de type $y' = ay + b$, où $a$ est un nombre réel non nul et $b$ est un nombre réel, est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre. Elle est une généralisation de l'équation $y' = ay$ et permet de modéliser des situations plus complexes, comme l'évolution d'une température avec une source de chaleur constante, ou la charge d'un condensateur.

Méthode
Identifier l'équation différentielle comme étant de la forme $y' = ay + b$.
Reconnaître les valeurs des coefficients $a$ et $b$.
Déterminer la solution générale de l'équation homogène associée $y' = ay$. Cette solution est $y_h(x) = C e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.
Chercher une solution particulière $y_p$ de l'équation complète $y' = ay + b$. Pour ce type d'équation, une solution particulière constante est souvent la plus simple à trouver : si $y_p(x) = k$ (une constante), alors $y_p'(x) = 0$. En substituant dans l'équation, on obtient $0 = ak + b$, ce qui donne $k = -\frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$). Donc $y_p(x) = -\frac{b}{a}$.
La solution générale de l'équation $y' = ay + b$ est la somme de la solution homogène et de la solution particulière : $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.
Si une condition initiale est donnée, utiliser cette condition pour déterminer la valeur de la constante $C$.

Exemple
Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y + 6$ et trouver la solution qui vérifie $y(0) = 1$.

Corrigé pas à pas
1. L'équation est de la forme $y' = ay + b$ avec $a = 2$ et $b = 6$.
2. L'équation homogène associée est $y' = 2y$. Sa solution générale est $y_h(x) = C e^{2x}$.
3. Cherchons une solution particulière constante $y_p(x) = k$. Alors $y_p'(x) = 0$. En substituant dans l'équation $y' = 2y + 6$ :
$0 = 2k + 6$
$2k = -6$
$k = -3$
Donc, une solution particulière est $y_p(x) = -3$.
4. La solution générale de l'équation $y' = 2y + 6$ est la somme de la solution homogène et de la solution particulière :
$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{2x} - 3$.
5. Utilisons la condition initiale $y(0) = 1$ pour trouver $C$ :
$1 = C e^{2 \times 0} - 3$
$1 = C e^0 - 3$
$1 = C - 3$
$C = 1 + 3$
$C = 4$
6. La solution particulière qui vérifie la condition initiale est $y(x) = 4e^{2x} - 3$.

Erreurs fréquentes
Oublier de chercher la solution particulière et ne donner que la solution de l'équation homogène.
Faire des erreurs de signe lors du calcul de la solution particulière $-b/a$.
Confondre les rôles de $a$ et $b$ dans la formule de la solution générale.
Ne pas appliquer correctement la condition initiale à la solution générale complète (homogène + particulière).

Résoudre une équation différentielle de type $y' = ay$

1. Identifier les coefficients : L'équation doit être sous la forme $y' = ay$. Identifiez la valeur du réel $a$.
2. Écrire la solution générale : La solution générale est $y(x) = C e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle arbitraire.
3. Appliquer une condition initiale (si présente) : Si une condition $y(x_0) = y_0$ est donnée, remplacez $x$ par $x_0$ et $y(x_0)$ par $y_0$ dans la solution générale pour trouver la valeur de $C$.
4. Écrire la solution particulière (si applicable) : Une fois $C$ déterminé, substituez sa valeur dans la solution générale pour obtenir la solution particulière.

Exemple
Résoudre $y' = 5y$ avec $y(1) = e^5$.

Corrigé pas à pas
1. L'équation est $y' = 5y$, donc $a = 5$.
2. La solution générale est $y(x) = C e^{5x}$.
3. On applique la condition initiale $y(1) = e^5$ :
$e^5 = C e^{5 \times 1}$
$e^5 = C e^5$
$C = 1$
4. La solution particulière est $y(x) = 1 \times e^{5x} = e^{5x}$.

Résoudre une équation différentielle de type $y' = ay + b$

1. Identifier les coefficients : L'équation doit être sous la forme $y' = ay + b$. Identifiez les valeurs des réels $a$ et $b$. Assurez-vous que $a \neq 0$.
2. Résoudre l'équation homogène associée : L'équation homogène associée est $y' = ay$. Sa solution générale est $y_h(x) = C e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.
3. Trouver une solution particulière : Une solution particulière constante est $y_p(x) = -\frac{b}{a}$.
4. Écrire la solution générale : La solution générale de $y' = ay + b$ est la somme de la solution homogène et de la solution particulière : $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.
5. Appliquer une condition initiale (si présente) : Si une condition $y(x_0) = y_0$ est donnée, remplacez $x$ par $x_0$ et $y(x_0)$ par $y_0$ dans la solution générale pour trouver la valeur de $C$.
6. Écrire la solution particulière (si applicable) : Une fois $C$ déterminé, substituez sa valeur dans la solution générale pour obtenir la solution particulière.

Exemple
Résoudre $y' = -4y + 8$ avec $y(0) = 0$.

Corrigé pas à pas
1. L'équation est $y' = -4y + 8$, donc $a = -4$ et $b = 8$.
2. L'équation homogène associée est $y' = -4y$. Sa solution générale est $y_h(x) = C e^{-4x}$.
3. Une solution particulière constante est $y_p(x) = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{-4} = 2$.
4. La solution générale de l'équation complète est $y(x) = C e^{-4x} + 2$.
5. On applique la condition initiale $y(0) = 0$ :
$0 = C e^{-4 \times 0} + 2$
$0 = C e^0 + 2$
$0 = C + 2$
$C = -2$
6. La solution particulière est $y(x) = -2e^{-4x} + 2$.

Formules des solutions générales

• Équation différentielle $y' = ay$ :
  Les solutions sont les fonctions $y(x) = C e^{ax}$, où $C \in \mathbb{R}$.
• Équation différentielle $y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$) :
  Les solutions sont les fonctions $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C \in \mathbb{R}$.

Détermination de la constante $C$

• Pour déterminer la constante $C$, une condition initiale est nécessaire (par exemple, la valeur de la fonction en un point donné, $y(x_0) = y_0$).
• Substituer les valeurs de $x_0$ et $y_0$ dans la solution générale et résoudre pour $C$.