Notion de fonction ; fonctions linéaires et affines

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction est un processus mathématique qui, à un nombre de départ, associe un unique nombre d'arrivée. On peut la voir comme une "machine" qui transforme un nombre. On note souvent une fonction par une lettre comme $f$, $g$, $h$, etc.

Le nombre de départ est appelé l'antécédent. Le nombre d'arrivée est appelé l'image de l'antécédent par la fonction.

Si $x$ est le nombre de départ (l'antécédent), son image par la fonction $f$ est notée $f(x)$ (lire "f de x"). L'expression $f(x)$ est la formule qui permet de calculer l'image à partir de l'antécédent $x$.

Méthode
Calculer l'image d'un nombre : Pour trouver l'image d'un nombre donné par une fonction $f$, il suffit de remplacer la variable $x$ par ce nombre dans l'expression de la fonction $f(x)$ et d'effectuer les calculs.
Trouver l'antécédent d'un nombre : Pour trouver le ou les antécédents d'un nombre donné par une fonction $f$, il faut résoudre l'équation $f(x) = \text{nombre donné}$. Cette équation permet de trouver la ou les valeurs de $x$ qui ont pour image le nombre donné.

Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x + 3$.
1. Calculer l'image de 5 par la fonction $f$.
2. Trouver l'antécédent de 11 par la fonction $f$.

Corrigé pas à pas
1. Pour calculer l'image de 5, on remplace $x$ par 5 dans l'expression de $f(x)$ :
$f(5) = 2 \times 5 + 3$
$f(5) = 10 + 3$
$f(5) = 13$
L'image de 5 par la fonction $f$ est 13.

2. Pour trouver l'antécédent de 11, on résout l'équation $f(x) = 11$ :
$2x + 3 = 11$
$2x = 11 - 3$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$
L'antécédent de 11 par la fonction $f$ est 4.

Erreurs fréquentes
Confondre l'image et l'antécédent : l'image est le résultat du calcul, l'antécédent est le nombre de départ.
Faire des erreurs de calcul lors du remplacement de $x$ (notamment avec les nombres relatifs ou les priorités des opérations).
Ne pas savoir résoudre l'équation $f(x) = \text{valeur}$ pour trouver l'antécédent.

Les fonctions linéaires

Une fonction linéaire est une fonction qui modélise une situation de proportionnalité. Elle est de la forme $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre appelé le coefficient de proportionnalité ou coefficient directeur.

Propriété graphique : La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe toujours par l'origine du repère (le point de coordonnées $(0;0)$).

Méthode
Reconnaître une fonction linéaire : Une fonction est linéaire si son expression est de la forme $f(x) = ax$, c'est-à-dire qu'elle ne contient que le terme $x$ multiplié par un nombre, sans terme constant ajouté ou soustrait.
Calculer le coefficient $a$ : Si on connaît un point $(x;y)$ de la droite (avec $x \neq 0$), alors $a = \frac{y}{x}$. Si on connaît l'image d'un nombre, $f(x_0) = y_0$, alors $a = \frac{y_0}{x_0}$.
Tracer la représentation graphique :
1. Placer l'origine du repère $(0;0)$, car la droite passe toujours par ce point.
2. Calculer l'image d'un autre nombre simple (par exemple 1 ou 2) pour obtenir un deuxième point.
3. Tracer la droite passant par ces deux points.

Exemple
Soit la fonction $h(x) = -2x$.
1. Est-ce une fonction linéaire ? Justifier.
2. Tracer sa représentation graphique dans un repère.

Corrigé pas à pas
1. Oui, $h(x) = -2x$ est une fonction linéaire car elle est de la forme $f(x) = ax$ avec $a = -2$.

2. Pour tracer sa représentation graphique :
• On sait qu'elle passe par l'origine $(0;0)$.
• Calculons un deuxième point : $h(1) = -2 \times 1 = -2$. On a donc le point $(1;-2)$.
• On place les points $(0;0)$ et $(1;-2)$ dans un repère, puis on trace la droite qui passe par ces deux points.

Erreurs fréquentes
Oublier que la représentation graphique d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine.
Confondre le coefficient $a$ avec la variable $x$ ou l'image $f(x)$.
Erreur de signe lors du calcul du coefficient $a$ ou lors du placement des points.

Les fonctions affines

Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres.

Le nombre $a$ est le coefficient directeur* (ou pente) de la droite.
Le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine*. C'est la valeur de $f(0)$, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (le point de coordonnées $(0;b)$).

Une fonction linéaire ($f(x) = ax$) est un cas particulier de fonction affine où $b=0$.

Propriété graphique : La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

Méthode
Reconnaître une fonction affine : Une fonction est affine si son expression est de la forme $f(x) = ax + b$, c'est-à-dire qu'elle contient un terme $x$ multiplié par un nombre et un terme constant ajouté ou soustrait.
Calculer les coefficients $a$ et $b$ :
• Le coefficient $b$ est l'image de 0 : $b = f(0)$.
• Si on connaît deux points $(x_1; y_1)$ et $(x_2; y_2)$ de la droite, le coefficient directeur $a$ se calcule par la formule : $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
• Une fois $a$ trouvé, on utilise l'un des points $(x_1; y_1)$ dans l'équation $y_1 = ax_1 + b$ pour trouver $b$.
Tracer la représentation graphique :
1. Placer le point d'ordonnée à l'origine $(0;b)$.
2. Calculer l'image d'un deuxième nombre simple (par exemple 1 ou 2) pour obtenir un deuxième point.
3. Tracer la droite passant par ces deux points.

Exemple
Soit la fonction $m(x) = 3x - 4$.
1. Identifier les coefficients $a$ et $b$.
2. Calculer $m(0)$.
3. Tracer sa représentation graphique dans un repère.

Corrigé pas à pas
1. La fonction $m(x) = 3x - 4$ est de la forme $ax + b$. Donc, $a = 3$ et $b = -4$.

2. Pour calculer $m(0)$ :
$m(0) = 3 \times 0 - 4$
$m(0) = 0 - 4$
$m(0) = -4$

3. Pour tracer sa représentation graphique :
• L'ordonnée à l'origine est $b = -4$, donc la droite passe par le point $(0;-4)$.
• Calculons un deuxième point. Choisissons $x=2$ :
$m(2) = 3 \times 2 - 4 = 6 - 4 = 2$.
La droite passe donc par le point $(2;2)$.
• On place les points $(0;-4)$ et $(2;2)$ dans un repère, puis on trace la droite qui passe par ces deux points.

Erreurs fréquentes
Confondre le rôle du coefficient directeur $a$ et de l'ordonnée à l'origine $b$.
Oublier que $b$ est l'image de 0 et correspond au point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
Erreurs de calcul lors de la détermination de $a$ à partir de deux points.

Calculer l'image d'un nombre par une fonction

1. Étape 1 : Identifier l'expression de la fonction $f(x)$.
2. Étape 2 : Remplacer la variable $x$ par le nombre dont on cherche l'image dans l'expression de la fonction.
3. Étape 3 : Effectuer les calculs en respectant les priorités des opérations (parenthèses, multiplications/divisions, additions/soustractions).

Exemple
Soit la fonction $f(x) = -5x + 8$. Calculer l'image de 3.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : L'expression de la fonction est $f(x) = -5x + 8$.

Étape 2 : On remplace $x$ par 3 :
$f(3) = -5 \times 3 + 8$

Étape 3 : On effectue les calculs :
$f(3) = -15 + 8$
$f(3) = -7$

L'image de 3 par la fonction $f$ est -7.

Déterminer l'antécédent d'un nombre par une fonction

1. Étape 1 : Écrire l'équation $f(x) = \text{nombre donné}$.
2. Étape 2 : Résoudre cette équation pour trouver la valeur de $x$. Cela implique généralement d'isoler $x$ en utilisant les règles de résolution d'équations du premier degré.

Exemple
Soit la fonction $g(x) = 4x - 1$. Déterminer l'antécédent de 7.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : On pose l'équation $g(x) = 7$, ce qui donne :
$4x - 1 = 7$

Étape 2 : On résout l'équation :
$4x - 1 = 7$
$4x = 7 + 1$
$4x = 8$
$x = \frac{8}{4}$
$x = 2$

L'antécédent de 7 par la fonction $g$ est 2.

Tracer la représentation graphique d'une fonction affine (ou linéaire)

1. Étape 1 : Identifier la fonction sous la forme $f(x) = ax + b$. (Pour une fonction linéaire, $b=0$).
2. Étape 2 : Placer le premier point. C'est le point d'intersection avec l'axe des ordonnées, de coordonnées $(0;b)$. Pour une fonction linéaire, ce point est l'origine $(0;0)$.
3. Étape 3 : Placer un deuxième point. Choisir une valeur simple pour $x$ (par exemple 1 ou 2), calculer son image $f(x)$, et placer le point de coordonnées $(x;f(x))$.
4. Étape 4 : Tracer la droite. Relier les deux points placés à l'aide d'une règle pour obtenir la représentation graphique de la fonction.

Exemple
Tracer la représentation graphique de la fonction $h(x) = 2x - 1$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : La fonction est $h(x) = 2x - 1$. Ici, $a=2$ et $b=-1$.

Étape 2 : Le premier point est $(0;b)$, soit $(0;-1)$. On le place sur l'axe des ordonnées.

Étape 3 : Choisissons $x=2$. On calcule son image :
$h(2) = 2 \times 2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
Le deuxième point est $(2;3)$. On le place dans le repère.

Étape 4 : On relie les points $(0;-1)$ et $(2;3)$ avec une règle pour tracer la droite représentant la fonction $h(x) = 2x - 1$.

La notion de fonction

• Une fonction $f$ associe à un nombre de départ $x$ (l'antécédent) un unique nombre d'arrivée (l'image), noté $f(x)$.
• Pour calculer l'image de $x_0$, on remplace $x$ par $x_0$ dans l'expression de $f(x)$.
• Pour trouver l'antécédent de $y_0$, on résout l'équation $f(x) = y_0$.

Fonctions linéaires

• Forme générale : $f(x) = ax$.
• $a$ est le coefficient directeur ou coefficient de proportionnalité.
• Traduit une situation de proportionnalité.
• Représentation graphique : une droite passant par l'origine du repère $(0;0)$.

Fonctions affines

• Forme générale : $f(x) = ax + b$.
• $a$ est le coefficient directeur.
• $b$ est l'ordonnée à l'origine (image de 0, point d'intersection avec l'axe des ordonnées : $(0;b)$).
• Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b=0$.
• Représentation graphique : une droite.