Géométrie repérée : droites et cercles

1. Équations de droites dans le plan

Dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, une droite peut être caractérisée par différentes formes d'équations.

1.1. Équation réduite : Pour toute droite non verticale, son équation peut s'écrire sous la forme $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur (ou pente) et $p$ est l'ordonnée à l'origine (l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées). Pour une droite verticale, l'équation est de la forme $x = k$, où $k$ est une constante.

1.2. Équation cartésienne : Toute droite du plan admet une équation de la forme $ax + by + c = 0$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels, avec $(a,b) \ne (0,0)$. Un vecteur directeur de cette droite est alors $\vec{u}(-b, a)$. Réciproquement, si $\vec{u}(u_x, u_y)$ est un vecteur directeur d'une droite, alors son équation cartésienne est de la forme $u_y x - u_x y + c = 0$.

Méthode
Déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :
1. Calculer le coefficient directeur $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (si $x_A \ne x_B$). Si $x_A = x_B$, la droite est verticale et son équation est $x = x_A$.
2. Utiliser l'équation $y = mx + p$. Substituer les coordonnées de l'un des points (par exemple $A$) dans cette équation pour trouver $p$: $y_A = m x_A + p$, d'où $p = y_A - m x_A$.
3. Écrire l'équation réduite $y = mx + p$.
Déterminer l'équation cartésienne d'une droite passant par un point $A(x_A, y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(u_x, u_y)$ :
1. Un point $M(x, y)$ appartient à la droite si et seulement si les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
2. Les coordonnées de $\vec{AM}$ sont $(x - x_A, y - y_A)$.
3. La condition de colinéarité est $u_x(y - y_A) - u_y(x - x_A) = 0$.
4. Développer et réarranger cette équation pour obtenir la forme $ax + by + c = 0$.
Déterminer l'équation d'une droite perpendiculaire à une autre :
1. Si la droite $D_1$ a pour équation $y = m_1 x + p_1$ (ou un vecteur directeur $\vec{u_1}$), et la droite $D_2$ est perpendiculaire à $D_1$ et a pour équation $y = m_2 x + p_2$ (ou un vecteur directeur $\vec{u_2}$), alors :
2. Si aucune des droites n'est parallèle aux axes, $m_1 m_2 = -1$, soit $m_2 = -\frac{1}{m_1}$.
3. Si l'une des droites est horizontale ($y=p_1$), l'autre est verticale ($x=k$). Si l'une est verticale ($x=k_1$), l'autre est horizontale ($y=p_2$).
4. Alternativement, les vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont orthogonaux, donc leur produit scalaire est nul : $\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0$.

Exemple
Déterminer l'équation réduite et une équation cartésienne de la droite $D$ passant par les points $A(1, 2)$ et $B(3, 8)$.

Corrigé pas à pas
1. Équation réduite :
• Calcul du coefficient directeur $m$: $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$.
• La droite a pour équation $y = 3x + p$. Pour trouver $p$, on utilise les coordonnées de $A(1, 2)$: $2 = 3(1) + p \Rightarrow 2 = 3 + p \Rightarrow p = 2 - 3 = -1$.
• L'équation réduite de la droite $D$ est $y = 3x - 1$.

2. Équation cartésienne :
• À partir de l'équation réduite $y = 3x - 1$, on peut réarranger les termes pour obtenir une équation cartésienne :
$3x - y - 1 = 0$.
• Alternativement, en utilisant un vecteur directeur : le vecteur $\vec{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $D$. $\vec{AB}(3-1, 8-2) = \vec{AB}(2, 6)$.
• Soit $M(x, y)$ un point de la droite. Les vecteurs $\vec{AM}(x-1, y-2)$ et $\vec{AB}(2, 6)$ sont colinéaires.
• La condition de colinéarité est $u_x v_y - u_y v_x = 0$, soit $2(y-2) - 6(x-1) = 0$.
• $2y - 4 - 6x + 6 = 0$.
• $-6x + 2y + 2 = 0$. On peut simplifier en divisant par $-2$: $3x - y - 1 = 0$. C'est bien la même équation cartésienne.

Erreurs fréquentes
Oublier le cas des droites verticales ($x=k$) lors de la recherche de l'équation réduite.
Erreurs de signe lors du calcul du coefficient directeur ou du réarrangement des termes pour l'équation cartésienne.
Confondre le coefficient directeur $m$ avec l'ordonnée à l'origine $p$.
Erreurs dans la condition de colinéarité des vecteurs pour l'équation cartésienne.

2. Position relative de deux droites

Dans le plan, deux droites peuvent être parallèles (strictement ou confondues) ou sécantes. Leur position relative dépend de leurs coefficients directeurs ou de leurs vecteurs directeurs.

Méthode
Pour deux droites $D_1$ d'équation $y = m_1 x + p_1$ et $D_2$ d'équation $y = m_2 x + p_2$ (non verticales) :
1. Si $m_1 = m_2$ et $p_1 = p_2$, les droites sont confondues.
2. Si $m_1 = m_2$ et $p_1 \ne p_2$, les droites sont strictement parallèles.
3. Si $m_1 \ne m_2$, les droites sont sécantes. Pour trouver leur point d'intersection, résoudre le système d'équations formé par leurs deux équations.
Pour deux droites $D_1$ d'équation $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ et $D_2$ d'équation $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ :
1. Calculer les déterminants des vecteurs normaux ou des vecteurs directeurs. Les vecteurs directeurs sont $\vec{u_1}(-b_1, a_1)$ et $\vec{u_2}(-b_2, a_2)$.
2. Si $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$ (condition de colinéarité des vecteurs normaux, ou des vecteurs directeurs), les droites sont parallèles. Pour distinguer si elles sont confondues ou strictement parallèles, vérifier si un point de $D_1$ (par exemple l'intersection avec l'axe des ordonnées si $b_1 \ne 0$) appartient à $D_2$. Si oui, elles sont confondues ; sinon, elles sont strictement parallèles.
3. Si $a_1 b_2 - a_2 b_1 \ne 0$, les droites sont sécantes. Pour trouver leur point d'intersection, résoudre le système d'équations formé par leurs deux équations cartésiennes.

Exemple
Étudier la position relative des droites $D_1: y = 2x + 1$ et $D_2: 4x - 2y + 5 = 0$. Si elles sont sécantes, déterminer leur point d'intersection.

Corrigé pas à pas
Commençons par mettre $D_2$ sous forme réduite si possible :
$4x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow -2y = -4x - 5 \Rightarrow y = \frac{-4x - 5}{-2} \Rightarrow y = 2x + \frac{5}{2}$.

Nous avons donc :
$D_1: y = 2x + 1$
$D_2: y = 2x + \frac{5}{2}$

Les deux droites ont le même coefficient directeur $m_1 = m_2 = 2$. Cependant, leurs ordonnées à l'origine sont différentes ($p_1 = 1$ et $p_2 = \frac{5}{2}$). Par conséquent, les droites $D_1$ et $D_2$ sont strictement parallèles. Elles n'ont aucun point d'intersection.

Erreurs fréquentes
Confondre des droites strictement parallèles avec des droites confondues.
Erreurs de calcul lors de la résolution du système d'équations pour trouver le point d'intersection.
Oublier de considérer les cas de droites verticales ou horizontales lors de la comparaison des coefficients directeurs.

3. Équations de cercles

Un cercle est l'ensemble des points équidistants d'un point fixe appelé centre. La distance constante est le rayon du cercle.

3.1. Équation canonique : Le cercle de centre $C(a, b)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

3.2. Équation développée : En développant l'équation canonique, on obtient une forme $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$. Réciproquement, une équation de cette forme représente un cercle, un point ou l'ensemble vide, selon la valeur du rayon obtenu après complétion du carré.

Méthode
Déterminer l'équation d'un cercle connaissant son centre $C(a, b)$ et son rayon $R$ :
1. Appliquer directement la formule : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Déterminer l'équation d'un cercle connaissant son diamètre $[AB]$ avec $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :
1. Le centre $C$ du cercle est le milieu du segment $[AB]$. Calculer ses coordonnées : $C\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.
2. Le rayon $R$ est la moitié de la longueur du segment $[AB]$. Calculer la distance $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, puis $R = \frac{AB}{2}$.
3. Utiliser le centre $C$ et le rayon $R$ pour écrire l'équation canonique du cercle.
Reconnaître un cercle à partir de son équation développée $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$ :
1. Regrouper les termes en $x$ et les termes en $y$ : $(x^2 + dx) + (y^2 + ey) + f = 0$.
2. Effectuer une complétion du carré pour les termes en $x$ et en $y$ : $x^2 + dx = \left(x + \frac{d}{2}\right)^2 - \left(\frac{d}{2} ight)^2$ et $y^2 + ey = \left(y + \frac{e}{2}\right)^2 - \left(\frac{e}{2} ight)^2$.
3. L'équation devient $\left(x + \frac{d}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{e}{2}\right)^2 = \left(\frac{d}{2} ight)^2 + \left(\frac{e}{2} ight)^2 - f$.
4. Le centre du cercle est $C\left(-\frac{d}{2}, -\frac{e}{2}\right)$. Le rayon au carré est $R^2 = \left(\frac{d}{2} ight)^2 + \left(\frac{e}{2} ight)^2 - f$.
5. Si $R^2 > 0$, c'est un cercle de rayon $R = \sqrt{R^2}$. Si $R^2 = 0$, c'est un point (le centre). Si $R^2 < 0$, c'est l'ensemble vide (pas de cercle réel).

Exemple
Déterminer l'équation du cercle $\mathcal{C}$ de centre $C(2, -1)$ et de rayon $R=3$. Donner ensuite son équation développée.

Corrigé pas à pas
1. Équation canonique :
Le centre est $C(a, b) = C(2, -1)$ et le rayon est $R=3$. En utilisant la formule $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ :
$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 3^2$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$.
C'est l'équation canonique du cercle $\mathcal{C}$.

2. Équation développée :
Développons l'équation canonique :
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 9$
$x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 + 1 - 9 = 0$
$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$.
C'est l'équation développée du cercle $\mathcal{C}$.

Erreurs fréquentes
Erreurs de signe dans l'équation canonique, par exemple écrire $(x+a)^2$ au lieu de $(x-a)^2$.
Oublier de mettre le rayon au carré dans l'équation $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.
Erreurs de calcul lors de la complétion du carré pour passer de l'équation développée à l'équation canonique.
Confondre le rayon $R$ avec $R^2$ lors de l'identification du centre et du rayon à partir de l'équation développée.

Déterminer l'équation cartésienne d'une droite à partir de deux points

1. 1. Calculer les coordonnées du vecteur directeur $\vec{AB}$ de la droite. Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, alors $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$.
2. 2. Soit $M(x, y)$ un point quelconque de la droite. Le vecteur $\vec{AM}$ a pour coordonnées $(x - x_A, y - y_A)$.
3. 3. Écrire la condition de colinéarité des vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$: $(x - x_A)(y_B - y_A) - (y - y_A)(x_B - x_A) = 0$.
4. 4. Développer et simplifier l'équation pour obtenir la forme $ax + by + c = 0$.

Exemple
Trouver l'équation cartésienne de la droite passant par $A(1, -1)$ et $B(3, 5)$.

Corrigé pas à pas
1. Calculons le vecteur directeur $\vec{AB}$ :
$\vec{AB}(3 - 1, 5 - (-1)) = \vec{AB}(2, 6)$.

2. Soit $M(x, y)$ un point de la droite. Le vecteur $\vec{AM}$ a pour coordonnées $(x - 1, y - (-1)) = (x - 1, y + 1)$.

3. Appliquons la condition de colinéarité des vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ :
$(x - 1)(6) - (y + 1)(2) = 0$

4. Développons et simplifions :
$6(x - 1) - 2(y + 1) = 0$
$6x - 6 - 2y - 2 = 0$
$6x - 2y - 8 = 0$.
On peut diviser toute l'équation par 2 pour la simplifier :
$3x - y - 4 = 0$.
L'équation cartésienne de la droite est $3x - y - 4 = 0$.

Déterminer l'équation réduite d'une droite à partir d'un point et d'un coefficient directeur

1. 1. Utiliser la forme générale de l'équation réduite : $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur donné.
2. 2. Substituer les coordonnées du point donné $(x_A, y_A)$ dans l'équation pour trouver la valeur de $p$.
3. 3. Écrire l'équation réduite complète avec les valeurs de $m$ et $p$ trouvées.

Exemple
Trouver l'équation réduite de la droite $D$ passant par le point $A(2, 3)$ et ayant un coefficient directeur $m = -\frac{1}{2}$.

Corrigé pas à pas
1. L'équation réduite est de la forme $y = mx + p$. Avec $m = -\frac{1}{2}$, l'équation devient $y = -\frac{1}{2}x + p$.

2. Le point $A(2, 3)$ appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation :
$3 = -\frac{1}{2}(2) + p$
$3 = -1 + p$
$p = 3 + 1 = 4$.

3. L'équation réduite de la droite $D$ est $y = -\frac{1}{2}x + 4$.

Déterminer l'équation d'un cercle à partir de son centre et de son rayon

1. 1. Identifier les coordonnées du centre $C(a, b)$ et la valeur du rayon $R$.
2. 2. Appliquer la formule de l'équation canonique du cercle : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
3. 3. Si demandé, développer l'équation pour obtenir la forme $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$.

Exemple
Déterminer l'équation du cercle de centre $C(-1, 4)$ et de rayon $R = \sqrt{5}$.

Corrigé pas à pas
1. Le centre est $C(a, b) = C(-1, 4)$ et le rayon est $R = \sqrt{5}$.

2. Appliquons la formule de l'équation canonique :
$(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{5})^2$
$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 5$.

3. Si on souhaite l'équation développée :
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) = 5$
$x^2 + y^2 + 2x - 8y + 1 + 16 - 5 = 0$
$x^2 + y^2 + 2x - 8y + 12 = 0$.

Équations de droites

• Équation réduite (non verticale) : $y = mx + p$
• Équation cartésienne : $ax + by + c = 0$
• Vecteur directeur de $ax + by + c = 0$ : $\vec{u}(-b, a)$
• Condition de parallélisme : $m_1 = m_2$ (ou vecteurs directeurs colinéaires)
• Condition de perpendicularité : $m_1 m_2 = -1$ (ou vecteurs directeurs orthogonaux, $\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0$)

Équations de cercles

• Équation canonique (centre $C(a, b)$, rayon $R$) : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
• Équation développée : $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$
• Centre de $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$ : $C\left(-\frac{d}{2}, -\frac{e}{2}\right)$
• Rayon au carré de $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$ : $R^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{e}{2}\right)^2 - f$

Formules utiles

• Distance entre deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
• Coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ : $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$