Fonction exponentielle (compléments)

Rappels et limites fondamentales de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ égale à sa propre dérivée et telle que $e^0 = 1$. Elle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ et strictement croissante. Ses propriétés algébriques sont $e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^n = e^{na}$ pour $a, b \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$.

Méthode
Pour analyser le comportement asymptotique d'une fonction impliquant l'exponentielle, identifier les limites aux bornes de son ensemble de définition.
Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier les expressions avant de calculer les limites.
Appliquer les limites usuelles de la fonction exponentielle : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

Exemple
Déterminer la limite de la fonction $f(x) = e^{2x+1} - 3$ lorsque $x \to +\infty$ et lorsque $x \to -\infty$.

Corrigé pas à pas
1. Lorsque $x \to +\infty$ :
On a $\lim_{x \to +\infty} (2x+1) = +\infty$.
Par composition avec la fonction exponentielle, $\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty$, donc $\lim_{x \to +\infty} e^{2x+1} = +\infty$.
Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} (e^{2x+1} - 3) = +\infty - 3 = +\infty$.

2. Lorsque $x \to -\infty$ :
On a $\lim_{x \to -\infty} (2x+1) = -\infty$.
Par composition avec la fonction exponentielle, $\lim_{X \to -\infty} e^X = 0$, donc $\lim_{x \to -\infty} e^{2x+1} = 0$.
Ainsi, $\lim_{x \to -\infty} (e^{2x+1} - 3) = 0 - 3 = -3$.

Erreurs fréquentes
Confondre les limites en $+ \infty$ et $- \infty$ de $e^x$.
Oublier les règles de calcul sur les puissances lors de la simplification d'expressions impliquant $e^x$.
Ne pas reconnaître une forme indéterminée qui nécessiterait l'utilisation des croissances comparées (voir notion suivante).

Croissances comparées de l'exponentielle, des puissances et du logarithme

Les croissances comparées décrivent le comportement relatif des fonctions exponentielles, puissances ($x^n$) et logarithmes ($\ln x$) lorsque $x$ tend vers l'infini. En substance, l'exponentielle 'l'emporte' sur toute puissance de $x$ en $+ \infty$, et toute puissance de $x$ 'l'emporte' sur le logarithme en $+ \infty$.

Méthode
Identifier les formes indéterminées de type $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$ impliquant des fonctions exponentielles, puissances et logarithmes.
Rappeler les limites de référence des croissances comparées :
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
$\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
$\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Manipuler l'expression pour la ramener à l'une de ces formes de référence, souvent par factorisation ou changement de variable.

Exemple
Calculer la limite de $h(x) = x^2 e^{-x}$ lorsque $x \to +\infty$.

Corrigé pas à pas
Lorsque $x \to +\infty$, on a $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$. On est face à une forme indéterminée de type $\infty \times 0$.
Pour utiliser une croissance comparée, on peut réécrire l'expression :
$h(x) = \frac{x^2}{e^x}$.
Ceci est de la forme $\frac{x^n}{e^x}$ avec $n=2$.
D'après les croissances comparées, on sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Par conséquent, $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$.
Donc, $\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$.

Erreurs fréquentes
Appliquer les croissances comparées dans le mauvais sens (par exemple, croire que $x^n$ l'emporte sur $e^x$ en $+ \infty$).
Ne pas effectuer un changement de variable approprié pour ramener l'expression à une forme connue (par exemple, pour $\lim_{x \to -\infty} x e^x$, poser $X = -x$).
Oublier que les croissances comparées s'appliquent pour $x \to +\infty$ ou $x \to 0^+$ (pour $\ln x$) et non pour $x \to -\infty$ (sauf pour $x^n e^x$).

Dérivation, primitives de $e^u$ et équations différentielles $y'=ay+b$

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $f(x) = e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est $f'(x) = u'(x)e^{u(x)}$. Réciproquement, une primitive de $u'(x)e^{u(x)}$ est $e^{u(x)}$.
Une équation différentielle de la forme $y' = ay + b$ (où $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$) a pour solutions les fonctions $f(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle.

Méthode
Pour dériver une fonction de la forme $e^{u(x)}$ : identifier la fonction $u(x)$, calculer sa dérivée $u'(x)$, puis appliquer la formule $(e^u)' = u'e^u$.
Pour trouver une primitive de $u'(x)e^{u(x)}$ : identifier $u(x)$ et $u'(x)$, puis la primitive est $e^{u(x)} + K$ (où $K$ est une constante). Si l'expression n'est pas exactement de la forme $u'e^u$, il faut parfois ajuster par un facteur constant.
Pour résoudre une équation différentielle $y' = ay + b$ : identifier les coefficients $a$ et $b$. Appliquer la formule générale des solutions $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$. Si une condition initiale $y(x_0) = y_0$ est donnée, substituer les valeurs pour trouver la constante $C$.

Exemple
1. Dériver la fonction $f(x) = e^{x^2-3x}$.
2. Trouver une primitive de $g(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$.
3. Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y + 4$ avec la condition initiale $y(0) = 1$.

Corrigé pas à pas
1. Dérivation de $f(x) = e^{x^2-3x}$ :
Posons $u(x) = x^2-3x$. Alors $u'(x) = 2x-3$.
En appliquant la formule $(e^u)' = u'e^u$, on obtient $f'(x) = (2x-3)e^{x^2-3x}$.

2. Primitive de $g(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$ :
Posons $u(x) = x^2+x$. Alors $u'(x) = 2x+1$.
On reconnaît la forme $u'(x)e^{u(x)}$. Une primitive de $g(x)$ est donc $G(x) = e^{x^2+x} + K$, où $K$ est une constante réelle.

3. Résolution de l'équation différentielle $y' = 2y + 4$ avec $y(0) = 1$ :
L'équation est de la forme $y' = ay + b$ avec $a=2$ et $b=4$.
La solution générale est $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a} = C e^{2x} - \frac{4}{2} = C e^{2x} - 2$.
Utilisons la condition initiale $y(0) = 1$ :
$y(0) = C e^{2 \times 0} - 2 = C e^0 - 2 = C \times 1 - 2 = C - 2$.
Puisque $y(0) = 1$, on a $C - 2 = 1$, ce qui donne $C = 3$.
La solution particulière est donc $y(x) = 3 e^{2x} - 2$.

Erreurs fréquentes
Oublier de multiplier par $u'(x)$ lors de la dérivation de $e^{u(x)}$.
Ne pas ajuster les coefficients pour reconnaître la forme $u'e^u$ lors de la recherche de primitives (par exemple, pour trouver une primitive de $x e^{x^2}$, il faut écrire $\frac{1}{2} (2x) e^{x^2}$).
Faire des erreurs de signe ou de calcul lors de la détermination de la constante $C$ dans la résolution d'équations différentielles.
Confondre la solution générale et la solution particulière (qui nécessite une condition initiale).

Calculer une limite avec les croissances comparées

1. Identifier la forme indéterminée (souvent $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$) impliquant des fonctions exponentielles, puissances ($x^n$) ou logarithmes ($\ln x$).
2. Réécrire l'expression si nécessaire pour la faire correspondre à l'une des formes de référence des croissances comparées. Cela peut impliquer une factorisation, une division ou un changement de variable.
3. Appliquer la limite de croissance comparée appropriée :
4. $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ (l'exponentielle l'emporte sur les puissances).
5. $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$.
6. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ (les puissances l'emportent sur le logarithme).
7. $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$.
8. $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ (l'exponentielle l'emporte sur les puissances en $- \infty$).
9. Conclure sur la limite de l'expression.

Exemple
Calculer $\lim_{x \to +\infty} (x - e^x)$.

Corrigé pas à pas
1. Identifier la forme indéterminée : Lorsque $x \to +\infty$, $x \to +\infty$ et $e^x \to +\infty$. On a une forme indéterminée de type $\infty - \infty$.
2. Réécrire l'expression : On factorise par le terme dominant, qui est $e^x$ (car l'exponentielle l'emporte sur les puissances en $+ \infty$).
$x - e^x = e^x \left( \frac{x}{e^x} - 1 \right)$.
3. Appliquer les limites de croissance comparée :
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ (car $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$).
Donc, $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{e^x} - 1 \right) = 0 - 1 = -1$.
Et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
4. Conclure : Par produit de limites, $\lim_{x \to +\infty} (x - e^x) = (+ \infty) \times (-1) = -\infty$.

Dériver une fonction de type $e^{u(x)}$

1. Identifier la fonction $u(x)$ qui est l'exposant de $e$.
2. Calculer la dérivée de $u(x)$, notée $u'(x)$.
3. Appliquer la formule de dérivation : la dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$.

Exemple
Dériver la fonction $f(x) = e^{\sin(x)}$.

Corrigé pas à pas
1. Identifier $u(x)$ : Dans $e^{\sin(x)}$, la fonction $u(x)$ est $\sin(x)$.
2. Calculer $u'(x)$ : La dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$, donc $u'(x) = \cos(x)$.
3. Appliquer la formule : La dérivée de $f(x)$ est $f'(x) = u'(x)e^{u(x)} = \cos(x)e^{\sin(x)}$.

Résoudre une équation différentielle de type $y'=ay+b$

1. Identifier les coefficients $a$ et $b$ dans l'équation différentielle $y' = ay + b$. Assurez-vous que $a \neq 0$.
2. Écrire la solution générale de l'équation différentielle : $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle arbitraire.
3. Si une condition initiale $y(x_0) = y_0$ est donnée, substituer $x_0$ et $y_0$ dans la solution générale pour former une équation en $C$.
4. Résoudre cette équation pour trouver la valeur spécifique de $C$.
5. Substituer la valeur de $C$ trouvée dans la solution générale pour obtenir la solution particulière qui satisfait la condition initiale.

Exemple
Résoudre l'équation différentielle $y' = -3y + 6$ avec la condition initiale $y(1) = e^{-3}$.

Corrigé pas à pas
1. Identifier $a$ et $b$ : L'équation est $y' = -3y + 6$. Donc $a=-3$ et $b=6$.
2. Écrire la solution générale : $y(x) = C e^{-3x} - \frac{6}{-3} = C e^{-3x} + 2$.
3. Utiliser la condition initiale $y(1) = e^{-3}$ :
$y(1) = C e^{-3 \times 1} + 2 = C e^{-3} + 2$.
On a $C e^{-3} + 2 = e^{-3}$.
4. Résoudre pour $C$ :
$C e^{-3} = e^{-3} - 2$.
$C = \frac{e^{-3} - 2}{e^{-3}} = 1 - \frac{2}{e^{-3}} = 1 - 2e^3$.
5. Écrire la solution particulière : $y(x) = (1 - 2e^3) e^{-3x} + 2$.

Propriétés fondamentales de $e^x$

• Définition : $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$.
• Propriétés algébriques : $e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^n = e^{na}$.
• Dérivée : $(e^x)' = e^x$.
• Limites : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

Croissances comparées

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
• $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
• $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

Dérivation et primitives de $e^{u(x)}$

• Dérivée : Si $u$ est dérivable, $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.
• Primitive : Une primitive de $u'(x)e^{u(x)}$ est $e^{u(x)} + K$.

Équations différentielles $y'=ay+b$

• La solution générale de $y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$) est $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C \in \mathbb{R}$.